第 2 章连续时间信号 / Continuous-Time Signals

2.1 什么是连续时间信号

工程世界中，传感器采集的电压、天线接收的电磁波、心电仪输出的波形——这些物理量随时间连续变化，在任意时刻 $t$ 都有确定的取值。我们用函数 $x(t)$ 描述这样的信号，其中自变量 $t \in \mathbb{R}$ 连续取值，$x(t)$ 可以是实数或复数。

与之相对的是离散时间信号 $x[n]$（第 3 章讨论），它仅在整数时刻有定义。本章聚焦连续情形。

工程视角：连续时间信号是真实物理世界的数学模型。我们研究它，是为了在设计滤波器、通信系统、控制系统时，拥有精确的分析工具。

2.2 基本信号 / Elementary Signals

基本信号是构建复杂信号的"积木"。理解它们的性质，是分析任意信号的基础。

2.2.1 单位阶跃函数 $u(t)$

$$u(t) = \begin{cases} 1, & t \geq 0 \ 0, & t < 0 \end{cases}$$

工程意义：$u(t)$ 模拟一个在 $t=0$ 时刻瞬间接通的开关。将任意信号 $x(t)$ 乘以 $u(t)$，就实现了信号的"因果截断"——只保留 $t \geq 0$ 的部分。

与阶跃相关的实用信号：矩形脉冲可以用两个阶跃之差表示：

$$\text{rect}\left(\frac{t}{\tau}\right) = u\left(t+\frac{\tau}{2}\right) - u\left(t-\frac{\tau}{2}\right)$$

2.2.2 单位冲激函数 $\delta(t)$

单位冲激函数（Dirac Delta Function）是信号分析中最重要的数学工具之一。它不是普通意义上的函数，而是一种分布（Distribution）——我们通过它的"作用效果"来定义它：

$$\delta(t) = 0, \quad t \neq 0$$

$$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t),dt = 1$$

更本质的定义方式是通过采样性质（Sifting Property）：

$$\int_{-\infty}^{\infty} x(t),\delta(t - t_0),dt = x(t_0)$$

直观理解：$\delta(t)$ 是一个宽度趋近于零、面积等于 1 的极窄脉冲。可以把它看作矩形脉冲 $\frac{1}{\varepsilon},\text{rect}(t/\varepsilon)$ 在 $\varepsilon \to 0$ 时的极限。

$\delta(t)$ 与 $u(t)$ 的关系：

$$u(t) = \int_{-\infty}^{t} \delta(\tau),d\tau, \qquad \delta(t) = \frac{du(t)}{dt}$$

⚠️ 数学注记：$\delta(t)$ 的严格理论基础是分布理论（Theory of Distributions），由数学家 Laurent Schwartz 于 1950 年代建立。在工程应用中，我们主要使用其采样性质和与阶跃函数的微积分关系。

2.2.3 实指数信号 $e^{at}$

$$x(t) = e^{at}, \quad a \in \mathbb{R}$$

$a < 0$：信号随时间衰减（如 RC 电路的放电过程）
$a = 0$：常数信号
$a > 0$：信号随时间增长（不稳定系统）

配合 $u(t)$ 可构造因果指数信号 $x(t) = e^{at},u(t)$，这在系统分析中极为常见。

2.2.4 复指数信号 — 频域分析的基石

$$x(t) = e^{st}, \quad s = \sigma + j\omega$$

展开为：

$$e^{(\sigma + j\omega)t} = e^{\sigma t}\left(\cos\omega t + j\sin\omega t\right)$$

为什么复指数信号如此重要？ 因为它是线性时不变系统（LTI）的特征函数——输入 $e^{st}$，输出仍是 $e^{st}$，仅幅度变化 $H(s) \cdot e^{st}$。这一性质是整个频域分析（傅里叶变换、拉普拉斯变换）的数学基础。

借助欧拉公式（Euler’s Formula）：

$$e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta$$

正弦和余弦可以用复指数线性表示：

$$\cos\omega t = \frac{e^{j\omega t} + e^{-j\omega t}}{2}, \qquad \sin\omega t = \frac{e^{j\omega t} - e^{-j\omega t}}{2j}$$

验证工具：用 Python 的 numpy.exp(1j * omega * t) 生成复指数信号，取实部即为余弦。

2.2.5 正弦信号

$$x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$$

其中 $A$ 为振幅（Amplitude），$\omega$ 为角频率（Angular Frequency, rad/s），$\phi$ 为初相（Initial Phase）。周期 $T = 2\pi/\omega$，频率 $f = \omega/(2\pi)$ Hz。

正弦信号是通信系统中**载波（Carrier）**的基本形式，也是交流电路分析的核心。

2.2.6 sinc 函数

$$\text{sinc}(t) = \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}, \quad \text{sinc}(0) = 1$$

sinc 函数在理想低通滤波器的冲激响应和**采样定理（Sampling Theorem）**中扮演核心角色。它在 $t = 0$ 处取最大值 1，零点位于 $t = \pm 1, \pm 2, \ldots$。

2.3 信号的基本运算

信号运算是信号处理的核心操作——调制、滤波、延迟都建立在这些基本变换之上。

2.3.1 时间平移 / Time Shifting

$x(t) \to x(t - t_0)$

$t_0 > 0$：信号右移（延迟），波形在时间轴上整体向右移动 $t_0$
$t_0 < 0$：信号左移（超前）

工程场景：声波到达两个麦克风的时间差，雷达回波相对发射信号的延迟，都对应时间平移。

2.3.2 时间缩放 / Time Scaling

$x(t) \to x(at)$

$|a| > 1$：信号被压缩（时间轴压缩，波形变窄变快）
$0 < |a| < 1$：信号被扩展（时间轴拉伸，波形变宽变慢）

工程场景：音频快放/慢放、雷达信号的拉伸处理。

2.3.3 时间反转 / Time Reversal

$x(t) \to x(-t)$

信号关于 $t = 0$ 翻转。这是时间缩放在 $a = -1$ 时的特例。

2.3.4 信号相加与相乘

相加：$z(t) = x(t) + y(t)$，对应波的叠加（Superposition）
相乘：$z(t) = x(t) \cdot y(t)$，对应调制（Modulation）——通信系统中用载波乘以基带信号实现频谱搬移

2.3.5 复合变换示例

对信号 $x(t)$ 先平移 $t_0$，再缩放 $a$（$a > 0$），得到 $x(a(t - t_0)) = x(at - at_0)$。注意：缩放和平移不可随意交换顺序。变换的一般规则为：

1
2
3
4
原始信号:  x(t)
平移 t0:   x(t - t0)
缩放 a:    x(at - t0)     ← 先平移后缩放（对 t 操作）
等价于:    x(a(t - t0/a)) ← 先缩放后平移（平移量被缩放）

2.4 信号的对称性

偶信号与奇信号

偶信号（Even Signal）：$x(t) = x(-t)$，波形关于纵轴对称。例：$\cos\omega t$
奇信号（Odd Signal）：$x(t) = -x(-t)$，波形关于原点对称。例：$\sin\omega t$

奇偶分解

任意信号都可以唯一分解为偶部与奇部之和：

$$x(t) = x_e(t) + x_o(t)$$

其中：

$$x_e(t) = \frac{x(t) + x(-t)}{2}, \qquad x_o(t) = \frac{x(t) - x(-t)}{2}$$

为什么重要？ 偶/奇信号在傅里叶变换中有简洁的性质：实偶信号的傅里叶变换是实的、偶的；实奇信号的傅里叶变换是虚的、奇的。利用对称性可以大幅简化计算。

伪代码——验证奇偶分解：

1
2
3
4
5
6
7
t = linspace(-T, T, N)
x = signal(t)

x_even = (x + x_reversed) / 2
x_odd  = (x - x_reversed) / 2

assert x ≈ x_even + x_odd

2.5 周期性分析

2.5.1 周期信号的定义

若存在 $T > 0$ 使得对所有 $t$ 都有：

$$x(t) = x(t + T)$$

则 $x(t)$ 是周期信号（Periodic Signal）。满足条件的最小正数 $T_0$ 称为基波周期（Fundamental Period），对应的频率 $f_0 = 1/T_0$ 称为基波频率。

2.5.2 常见周期信号

信号	基波周期
$\cos(\omega t + \phi)$	$T = 2\pi/\omega$
$e^{j\omega t}$	$T = 2\pi/\omega$
$	\cos\omega t

2.5.3 多个周期信号之和

设 $x(t) = x_1(t) + x_2(t)$，其中 $x_1$ 的周期为 $T_1$，$x_2$ 的周期为 $T_2$。

判定规则：和信号 $x(t)$ 为周期信号的充要条件是 $T_1/T_2$ 为有理数。此时，基波周期为 $T_1$ 和 $T_2$ 的最小公倍数：

$$T_0 = \text{lcm}(T_1, T_2) = \frac{p \cdot q}{\gcd(p, q)} \cdot T_{\text{unit}}$$

其中 $T_1 = p \cdot T_{\text{unit}}$，$T_2 = q \cdot T_{\text{unit}}$，$p, q$ 为正整数。

示例：$x(t) = \cos(2\pi t) + \sin(5\pi t)$

$T_1 = 1$（$\omega_1 = 2\pi$），$T_2 = 2/5$（$\omega_2 = 5\pi$）
$T_1/T_2 = 5/2$ 为有理数 → 周期信号
$T_0 = \text{lcm}(1, 0.4) = 2$

flowchart TD
    A["x(t) = x₁(t) + x₂(t)"] --> B{"T₁/T₂ ∈ ℚ?"}
    B -- "是" --> C["x(t) 周期信号
T₀ = lcm(T₁, T₂)"]
    B -- "否" --> D["x(t) 非周期信号"]
    style A fill:#1565C0,color:#fff
    style B fill:#1565C0,color:#fff
    style C fill:#2E7D32,color:#fff
    style D fill:#C62828,color:#fff

2.6 能量与功率

2.6.1 问题的来源

在通信工程中，我们经常需要量化一个信号的"大小"。直接取 $|x(t)|$ 的平均值在 $x(t)$ 有正有负时会互相抵消，因此我们使用能量和功率这两个物理量。

2.6.2 能量信号

信号 $x(t)$ 的总能量定义为：

$$E = \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2,dt$$

工程意义：若 $x(t)$ 是加在 $1,\Omega$ 电阻上的电压（或通过的电流），则 $E$ 就是电阻上耗散的总能量（焦耳）。

若 $E < \infty$，则称 $x(t)$ 为能量信号。典型的能量信号：单脉冲、衰减指数 $e^{-at},u(t)$（$a > 0$）。

2.6.3 功率信号

当 $E \to \infty$ 时（如周期信号），我们转而定义平均功率：

$$P = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} |x(t)|^2,dt$$

若 $0 < P < \infty$，则称 $x(t)$ 为功率信号。

对于周期为 $T_0$ 的周期信号，功率简化为一个周期内的平均：

$$P = \frac{1}{T_0}\int_{0}^{T_0} |x(t)|^2,dt$$

关键结论：一个信号不可能同时是能量信号和功率信号。周期信号一定是功率信号（但功率信号不一定是周期信号）。

2.6.4 能量/功率判定流程

flowchart TD
    A["计算 E = ∫|x(t)|² dt"] --> B{"E < ∞?"}
    B -- "是" --> C["能量信号
P = 0"]
    B -- "否" --> D["计算 P = lim(1/2T)∫|x(t)|² dt"]
    D --> E{"0 < P < ∞?"}
    E -- "是" --> F["功率信号"]
    E -- "否" --> G["既非能量也非功率
例：x(t) = t"]
    style A fill:#1565C0,color:#fff
    style C fill:#2E7D32,color:#fff
    style F fill:#2E7D32,color:#fff
    style G fill:#C62828,color:#fff

常见信号分类举例：

信号	能量 $E$	功率 $P$	类型
$e^{-t},u(t)$	$\frac{1}{2}$	$0$	能量信号
$\cos\omega t$	$\infty$	$\frac{1}{2}$	功率信号
$t,u(t)$	$\infty$	$\infty$	两者皆非
$\delta(t)$	$1$	$0$	能量信号

数学注记：能量和功率的定义依赖于黎曼积分（对常规函数）或勒贝格积分（对更一般的函数）。Dirac delta 的能量计算需要用到分布理论中的积分定义。

2.7 深入理解 Dirac Delta 函数

$\delta(t)$ 值得单独深入讨论，因为它是连接时域与频域的核心桥梁。

2.7.1 三种理解层次

第一层（直觉）：一个无限高、无限窄、面积为 1 的脉冲。

第二层（极限）：可以由多种普通函数序列的极限来"逼近"：

$$\delta(t) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{\varepsilon},\text{rect}!\left(\frac{t}{\varepsilon}\right) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{\varepsilon\sqrt{\pi}},e^{-t^2/\varepsilon^2}$$

第三层（严格）：$\delta(t)$ 是一个分布（Distribution），它不是通过"在每一点的值"来定义的，而是通过与测试函数 $\varphi(t)$ 的配对来定义的：

$$\langle \delta, \varphi \rangle = \varphi(0)$$

2.7.2 核心性质

性质	表达式
采样性质	$\int_{-\infty}^{\infty} x(t),\delta(t - t_0),dt = x(t_0)$
缩放性质	$\delta(at) = \frac{1}{
与阶跃的关系	$\int_{-\infty}^{t}\delta(\tau),d\tau = u(t)$
卷积恒等	$x(t) * \delta(t) = x(t)$
筛选积分	$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t),dt = 1$

2.7.3 工程意义

理想采样：$x(t)\cdot\sum_{n}\delta(t - nT_s)$ 实现对连续信号的理想采样，采样值恰好是 $x(nT_s)$
系统冲激响应：LTI 系统对 $\delta(t)$ 的响应 $h(t)$ 完全刻画了系统特性——任意输入的响应等于 $x(t) * h(t)$
点源模型：在电磁学中，点电荷可视为 delta 函数分布

验证建议：用 numpy 构造一个窄高斯脉冲近似 $\delta(t)$，验证其采样性质——对任意信号在脉冲位置取值，结果应趋近于该点的信号值。

本章小结

本章建立了连续时间信号的数学描述框架：

基本信号（$u(t)$、$\delta(t)$、复指数、正弦、sinc）是分析复杂信号的基石
信号运算（平移、缩放、反转、相加、相乘）是信号处理的操作语言
对称性和周期性是信号的重要结构特征，可简化后续的频域分析
能量与功率为信号提供了量化度量
$\delta(t)$ 是连接时域分析与频域分析的核心工具

下一章我们将转向离散时间信号，建立对应的数学框架。

进一步阅读：
A. V. Oppenheim, Signals and Systems, 2nd ed., Chapter 1
S. Haykin, Signals and Systems, Chapter 1–2
L. Schwartz, Théorie des distributions（分布理论原始文献）

第 2 章 连续时间信号 / Continuous-Time Signals#

2.1 什么是连续时间信号#

2.2 基本信号 / Elementary Signals#

2.2.1 单位阶跃函数 $u(t)$#

2.2.2 单位冲激函数 $\delta(t)$#

2.2.3 实指数信号 $e^{at}$#

2.2.4 复指数信号 — 频域分析的基石#

2.2.5 正弦信号#

2.2.6 sinc 函数#

2.3 信号的基本运算#

2.3.1 时间平移 / Time Shifting#

2.3.2 时间缩放 / Time Scaling#

2.3.3 时间反转 / Time Reversal#

2.3.4 信号相加与相乘#

2.3.5 复合变换示例#

2.4 信号的对称性#

偶信号与奇信号#

奇偶分解#

2.5 周期性分析#

2.5.1 周期信号的定义#

2.5.2 常见周期信号#

2.5.3 多个周期信号之和#

2.6 能量与功率#

2.6.1 问题的来源#

2.6.2 能量信号#

2.6.3 功率信号#

2.6.4 能量/功率判定流程#

2.7 深入理解 Dirac Delta 函数#

2.7.1 三种理解层次#

2.7.2 核心性质#

2.7.3 工程意义#

本章小结#