第 3 章离散时间信号 / Discrete-Time Signals

3.1 为什么要研究离散时间信号？

现实世界中，语音、温度、电压这些物理量都是连续变化的——它们是连续时间信号 (Continuous-Time Signals)。然而，当今几乎所有的信号处理都在数字设备上完成：手机里的语音编码、雷达里的目标检测、医学影像的重建，无一不是在对离散序列进行运算。

一个自然的问题由此产生：我们如何从连续世界中"取出"一串离散的数，又如何保证这串数能忠实代表原始信号？

这就是离散时间信号 (Discrete-Time Signals) 的研究起点。本章将从定义出发，逐步建立离散信号的基本概念体系，为后续的离散时间傅里叶变换 (DTFT) 和数字滤波器设计奠定基础。

3.2 离散时间信号的定义

离散时间信号是一个序列 (Sequence)，记作 $x[n]$，其中自变量 $n$ 仅取整数值：

$$x[n], \quad n \in \mathbb{Z}$$

每个 $x[n]$ 称为一个样本 (Sample)。与连续信号 $x(t)$ 不同，$x[n]$ 在非整数 $n$ 处没有定义——不是等于零，而是根本不存在。

关键区分：离散时间信号 ≠ 数字信号 (Digital Signal)。离散时间信号只要求自变量离散，幅度可以取任意实数值；数字信号则进一步要求幅度也被量化 (Quantized) 为有限个离散电平。

3.2.1 采样——从连续到离散的桥梁

设连续信号为 $x_c(t)$，以等间隔 $T_s$ 对其进行采样 (Sampling)，得到的离散序列为：

$$x[n] = x_c(nT_s)$$

其中 $T_s$ 称为采样周期 (Sampling Period)，其倒数 $f_s = 1/T_s$ 称为采样率 (Sampling Rate) 或采样频率 (Sampling Frequency)。

graph LR
    A["连续信号 x(t)"] -->|"采样 (T_s)"| B["离散序列 x[n]"]
    B -->|"量化"| C["数字信号"]
    style A fill:#1565C0,color:#fff
    style B fill:#228B22,color:#fff
    style C fill:#5E35B1,color:#fff

采样的核心问题是：采样率选多高才不会丢失信息？ 这将由第 5 章的奈奎斯特采样定理 (Nyquist Sampling Theorem) 给出严格回答。此处先给出工程直觉：采样率越高，离散序列越接近原始连续信号，但数据量也随之增大。

3.2.2 数学背景：序列与级数

离散时间信号的理论基础是序列与级数 (Sequences and Series)。在高等数学中，级数的收敛性是一个核心课题；在信号处理中，我们更关注的是序列的运算性质和变换方法。

验证工具提示：Python 的 numpy 库天然适合处理离散序列——一个序列就是一个数组 (Array)，几乎所有序列运算都可用数组操作实现。

3.3 基本序列 / Elementary Sequences

正如连续信号中有单位冲激 $\delta(t)$ 和单位阶跃 $u(t)$，离散时间信号也有对应的基本序列 (Elementary Sequences)。它们是构建复杂信号的"积木"，也是理解系统响应的基础。

3.3.1 单位样本序列 / Unit Sample Sequence

$$\delta[n] = \begin{cases} 1, & n = 0 \ 0, & n \neq 0 \end{cases}$$

单位样本序列 $\delta[n]$ 又称为克罗内克 delta (Kronecker Delta)。它在 $n=0$ 处取值为 1，其余位置为零。

与连续冲激 $\delta(t)$ 相比，$\delta[n]$ 不需要引入广义函数——它的定义简单而明确，没有任何数学上的奇异性。

重要性质——筛选性 (Sifting Property)：

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \delta[n - n_0] = x[n_0]$$

这意味着任意序列都可以用 $\delta[n]$ 的加权时移之和来表示：

$$x[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] \delta[n-k]$$

3.3.2 单位阶跃序列 / Unit Step Sequence

$$u[n] = \begin{cases} 1, & n \geq 0 \ 0, & n < 0 \end{cases}$$

$\delta[n]$ 与 $u[n]$ 的关系：

$$u[n] = \sum_{k=0}^{\infty} \delta[n-k] = \sum_{k=-\infty}^{n} \delta[k]$$

$$\delta[n] = u[n] - u[n-1]$$

即单位阶跃是单位样本的累积和，而单位样本是单位阶跃的一阶差分。

3.3.3 实指数序列 / Real Exponential Sequence

$$x[n] = a^n, \quad a \in \mathbb{R}$$

其行为取决于 $|a|$ 与 1 的关系：

| $|a|$ 的范围 | $a > 0$ | $a < 0$ | |:—:|:—:|:—:| | $|a| < 1$ | 单调衰减 | 交替衰减 | | $|a| = 1$ | 恒为 1 | 交替取 ±1 | | $|a| > 1$ | 单调增长 | 交替增长 |

工程中，$|a| < 1$ 的衰减指数最为常见，例如一阶数字滤波器的脉冲响应。

3.3.4 复指数序列 / Complex Exponential Sequence

$$x[n] = e^{j\omega_0 n}, \quad j = \sqrt{-1}$$

由欧拉公式 (Euler’s Formula)，可将其分解为实部和虚部：

$$e^{j\omega_0 n} = \cos(\omega_0 n) + j\sin(\omega_0 n)$$

此处 $\omega_0$ 称为数字角频率 (Digital Angular Frequency)，单位为弧度/样本 (rad/sample)。需要注意它与连续角频率 $\Omega$（单位 rad/s）的区别——$\omega_0 = \Omega T_s$。

数学背景：复指数是线性时不变系统 (LTI System) 的特征函数 (Eigenfunction)，即 LTI 系统对复指数输入的响应仍是同频率的复指数，仅幅度和相位发生变化。这一性质是整个频域分析的基石。

3.3.5 正弦序列 / Sinusoidal Sequence

$$x[n] = A\cos(\omega_0 n + \phi)$$

正弦序列可由复指数序列的实部直接得到。与连续正弦信号相比，离散正弦序列有一个极其重要的区别——离散正弦序列不一定是周期的（详见 3.5 节）。

3.4 序列运算 / Operations on Sequences

3.4.1 时间平移 / Time Shifting

$$y[n] = x[n - n_0]$$

$n_0 > 0$：序列向右平移（延迟 / Delay）
$n_0 < 0$：序列向左平移（超前 / Advance）

在数字系统中，延迟操作对应于移位寄存器 (Shift Register)——这在 FIR 滤波器中随处可见。

3.4.2 时间反转 / Time Reversal

$$y[n] = x[-n]$$

将序列关于 $n=0$ 进行镜像翻转。在信号处理中，相关 (Correlation) 运算和匹配滤波 (Matched Filtering) 都涉及时间反转。

3.4.3 下采样 / Decimation (Downsampling)

$$y[n] = x[Mn], \quad M \in \mathbb{Z}^+$$

每隔 $M-1$ 个样本保留一个，丢弃其余。$M$ 称为抽取因子 (Decimation Factor)。下采样会改变信号的频谱结构，可能导致混叠 (Aliasing)，通常需先经抗混叠滤波器 (Anti-Aliasing Filter)。

3.4.4 上采样 / Upsampling (Zero-Interpolation)

$$y[n] = \begin{cases} x[n/L], & n = 0, \pm L, \pm 2L, \ldots \ 0, & \text{其他} \end{cases}$$

在相邻样本之间插入 $L-1$ 个零。上采样本身引入了频谱镜像 (Spectral Images)，通常后续紧跟一个低通滤波器来"填满"零值位置——这称为插值 (Interpolation)。

3.4.5 基本算术运算

相加：$y[n] = x_1[n] + x_2[n]$（逐样本相加）
相乘：$y[n] = x_1[n] \cdot x_2[n]$（逐样本相乘，又称调制 / Modulation）
缩放：$y[n] = a \cdot x[n]$（幅度缩放）

伪代码示例——序列相加与时间反转：

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// 序列相加: z[n] = x[n] + y[n]
for n from n_min to n_max:
    z[n] = x[n] + y[n]

// 时间反转: y[n] = x[-n]
for n from n_min to n_max:
    y[n] = x[-n]

伪代码示例——下采样与上采样：

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// 下采样 (M=2): y[n] = x[2n]
k = 0
for n from 0 to floor(N/2):
    y[n] = x[k]
    k = k + 2

// 上采样 (L=2): y[2n] = x[n], 其余为零
for n from 0 to N-1:
    y[L * n] = x[n]
    // 其余位置 y[m] = 0 (m 不是 L 的倍数)

3.5 周期性分析 / Periodicity of Discrete Signals

3.5.1 周期序列的定义

若存在正整数 $N$，使得对所有 $n$ 都有：

$$x[n] = x[n + N]$$

则称 $x[n]$ 为周期序列 (Periodic Sequence)，满足上式的最小 $N$ 称为基本周期 (Fundamental Period)。

3.5.2 离散正弦序列的周期性——一个关键陷阱

连续时间中，$x(t) = \cos(\Omega_0 t)$ 对任意 $\Omega_0 \neq 0$ 都是周期的，周期为 $T = 2\pi/\Omega_0$。

然而，在离散时间中，$x[n] = \cos(\omega_0 n)$ 仅当 $\omega_0 / (2\pi)$ 为有理数时才是周期的。

推导过程：若 $\cos(\omega_0 n)$ 为周期的，则存在整数 $N > 0$ 使得：

$$\omega_0 N = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

因此：

$$\frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{k}{N}$$

即 $\omega_0 / (2\pi)$ 必须是有理数。若该比值化为最简分数 $k/N$，则基本周期为 $N$。

举例：

序列	$\omega_0 / (2\pi)$	有理数？	周期？	基本周期
$\cos(2\pi n / 10)$	$1/10$	✓	✓	$N = 10$
$\cos(0.1n)$	$0.1/(2\pi)$	✗	✗	—
$\cos(3\pi n / 7)$	$3/14$	✓	✓	$N = 14$

工程启示：在数字系统中，频率不是任意的——它受限于采样率的离散化效应。这也解释了为什么数字振荡器 (Numerically Controlled Oscillator, NCO) 只能产生特定的离散频率点。

3.5.3 复指数序列的周期性

同理，$e^{j\omega_0 n}$ 的周期性条件与正弦序列相同：$\omega_0 / (2\pi) = k/N$（有理数）。

一个额外的关键性质：复指数序列 $e^{j\omega_0 n}$ 关于 $\omega_0$ 具有周期性，周期为 $2\pi$：

$$e^{j(\omega_0 + 2\pi)n} = e^{j\omega_0 n} \cdot e^{j2\pi n} = e^{j\omega_0 n}$$

这意味着数字频率 $\omega_0$ 只需在 $[0, 2\pi)$ 或 $[-\pi, \pi)$ 范围内讨论，与连续频率 $\Omega$ 可以取遍 $(-\infty, +\infty)$ 形成鲜明对比。

3.6 能量与功率 / Energy and Power

3.6.1 序列的能量

离散序列 $x[n]$ 的能量 (Energy) 定义为：

$$E = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^2$$

数学背景：这是无穷级数的求和问题。当序列绝对可和时，该级数收敛于有限值。能量有限的信号称为能量信号 (Energy Signal)，典型的例子是有限长序列和衰减指数序列。

3.6.2 序列的平均功率

$$P = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{n=-N}^{N} |x[n]|^2$$

功率有限但能量无限的信号称为功率信号 (Power Signal)。周期信号是典型的功率信号。

能量与功率的关系：若 $E < \infty$，则 $P = 0$；若 $P > 0$，则 $E = \infty$。一个信号可以既不是能量信号也不是功率信号（例如 $x[n] = n$）。

伪代码——计算有限长序列的能量：

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E = 0
for n from n_min to n_max:
    E = E + |x[n]|^2
return E

验证工具：numpy 中，E = np.sum(np.abs(x)**2) 即可计算序列能量。

3.7 信号的向量视角 / Signals as Vectors

3.7.1 序列即向量

一个长度为 $N$ 的有限序列可以自然地表示为 $\mathbb{C}^N$ 中的一个向量：

$$\mathbf{x} = [x[0], x[1], \ldots, x[N-1]]^T$$

即使是无限长序列，也可以视为一个无穷维向量 (Infinite-Dimensional Vector)。这一视角的好处在于，我们可以将线性代数中的内积、正交性、投影等概念直接移植到信号空间。

3.7.2 内积与正交性

两个序列 $x[n]$ 和 $y[n]$ 的内积 (Inner Product) 定义为：

$$\langle x, y \rangle = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] y^*[n]$$

其中 $y^*[n]$ 表示 $y[n]$ 的复共轭 (Complex Conjugate)。

若 $\langle x, y \rangle = 0$，则称 $x[n]$ 与 $y[n]$ 正交 (Orthogonal)。

为什么要引入正交性？ 因为离散傅里叶变换 (DFT) 的本质，就是将序列投影到一组正交的复指数基函数上。正交性保证了各频率分量之间不互相干扰，使得频域分析成为可能。这一概念将在第 6 章中详细展开。

3.7.3 为傅里叶分析铺路

利用 3.3.1 节中的筛选性质，任意序列可表示为：

$$x[n] = \sum_{k} x[k] \delta[n-k]$$

这可以理解为将 $x[n]$ 分解为 $\delta[n-k]$ 的线性组合——类似于将向量表示为基向量的线性组合。傅里叶分析的思想则是：换一组基——用复指数 $e^{j\omega n}$ 代替 $\delta[n-k]$，将信号分解为不同频率分量的叠加。

3.8 工程应用视角 / Engineering Perspective

3.8.1 从模拟到数字——ADC 的角色

graph LR
    A["模拟信号 x(t)"] -->|"抗混叠滤波"| B["带限信号"]
    B -->|"采样器 (Sample & Hold)"| C["离散时间信号 x[n]"]
    C -->|"量化器 (Quantizer)"| D["数字信号"]
    D -->|"编码器 (Encoder)"| E["二进制码流"]
    style A fill:#1565C0,color:#fff
    style B fill:#228B22,color:#fff
    style C fill:#5E35B1,color:#fff
    style D fill:#E65100,color:#fff
    style E fill:#C62828,color:#fff

模数转换器 (Analog-to-Digital Converter, ADC) 完成从连续到离散再到量化的全过程。其中：

采样决定了离散序列的时间分辨率
量化决定了每个样本的幅度精度
采样率的选择直接影响信号质量

3.8.2 采样率的选择

采样率 $f_s$ 的选择是数字信号系统设计中最关键的决策之一：

过低：违反奈奎斯特条件，导致混叠失真 (Aliasing Distortion)——不同频率的信号在采样后变得无法区分
过高：数据量大，处理复杂度高，但能更好保留信号细节
工程折中：通常取 $f_s = (2.5 \sim 4) \times f_{\max}$，其中 $f_{\max}$ 为信号最高频率分量

典型应用中的采样率：

应用	采样率
语音通话	8 kHz
音频 CD	44.1 kHz
超声波成像	10–100 MHz
软件定义无线电 (SDR)	数 MHz 至数 GHz

3.8.3 数字信号处理的优势

为什么我们要费尽周折将信号转为离散序列再处理？

精度可控：量化位数决定精度，一旦确定即可复现
灵活性：修改算法只需改软件/固件，无需更换硬件
可编程性：通用 DSP 芯片或 FPGA 可处理任意离散序列
抗干扰：数字信号在传输中更不易受噪声影响

3.9 本章小结

概念	核心公式	要点
离散信号定义	$x[n]$, $n \in \mathbb{Z}$	自变量取整数，非整数处无定义
采样	$x[n] = x_c(nT_s)$	连续到离散的桥梁
单位样本	$\delta[n]$	筛选性：任意序列的分解基础
单位阶跃	$u[n]$	与 $\delta[n]$ 互为累积/差分
周期性	$\omega_0/(2\pi) = k/N$	离散正弦不一定周期
能量	$E = \sum	x[n]
功率	$P = \lim \frac{1}{2N+1}\sum	x[n]
向量视角	$\langle x,y \rangle = \sum x[n]y^*[n]$	为傅里叶分析铺路

下一章预告：有了离散时间信号的基础，第 4 章将引入线性时不变系统 (LTI Systems) 的概念，研究序列经过系统后的变换关系，并重点讨论卷积 (Convolution) 运算。

第 3 章 离散时间信号 / Discrete-Time Signals#

3.1 为什么要研究离散时间信号？#

3.2 离散时间信号的定义#

3.2.1 采样——从连续到离散的桥梁#

3.2.2 数学背景：序列与级数#

3.3 基本序列 / Elementary Sequences#

3.3.1 单位样本序列 / Unit Sample Sequence#

3.3.2 单位阶跃序列 / Unit Step Sequence#

3.3.3 实指数序列 / Real Exponential Sequence#

3.3.4 复指数序列 / Complex Exponential Sequence#

3.3.5 正弦序列 / Sinusoidal Sequence#

3.4 序列运算 / Operations on Sequences#

3.4.1 时间平移 / Time Shifting#

3.4.2 时间反转 / Time Reversal#

3.4.3 下采样 / Decimation (Downsampling)#

3.4.4 上采样 / Upsampling (Zero-Interpolation)#

3.4.5 基本算术运算#

3.5 周期性分析 / Periodicity of Discrete Signals#

3.5.1 周期序列的定义#

3.5.2 离散正弦序列的周期性——一个关键陷阱#

3.5.3 复指数序列的周期性#

3.6 能量与功率 / Energy and Power#

3.6.1 序列的能量#

3.6.2 序列的平均功率#

3.7 信号的向量视角 / Signals as Vectors#

3.7.1 序列即向量#

3.7.2 内积与正交性#

3.7.3 为傅里叶分析铺路#

3.8 工程应用视角 / Engineering Perspective#

3.8.1 从模拟到数字——ADC 的角色#

3.8.2 采样率的选择#

3.8.3 数字信号处理的优势#

3.9 本章小结#