第 5 章：连续时间傅里叶级数 / Continuous-Time Fourier Series (CTFS)

5.1 从时域到频域——为什么要分解频率？

在前面几章中，我们一直在时域 (Time Domain) 中分析信号——观察信号幅值随时间的变化。但工程中大量问题本质上与频率相关：

音频工程师需要知道一段声音中哪些频率分量最强，才能做均衡（EQ）处理；
通信系统必须把多路信号搬到不同频段，互不干扰；
电源设计者要抑制 50 Hz 工频及其谐波干扰。

这些问题的共同点是：仅看时域波形很难直接回答，而把信号拆成不同频率的正弦/余弦分量后，答案一目了然。 这就是从时域到频域 (Frequency Domain) 的核心动机。

核心思想：任意一个满足一定条件的周期信号，都可以表示为一系列不同频率的正弦和余弦函数（或等价地，复指数函数）的加权和。

flowchart LR
    A["周期信号 x(t)
时域波形"] -->|傅里叶级数分解| B["系数 {c_k}
频域表示"]
    B -->|综合公式| A
    B --> C["幅度谱 |c_k|"]
    B --> D["相位谱 ∠c_k"]
    style A fill:#1565C0,color:#fff
    style B fill:#2E7D32,color:#fff
    style C fill:#C62828,color:#fff
    style D fill:#C62828,color:#fff

5.2 周期信号的傅里叶级数表示

5.2.1 基本定义

设 $x(t)$ 是周期为 $T_0$ 的信号，其基波角频率 (Fundamental Angular Frequency) 为：

$$\omega_0 = \frac{2\pi}{T_0}$$

则 $x(t)$ 可以展开为复指数形式的傅里叶级数 (Complex Exponential Fourier Series)：

$$x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k , e^{jk\omega_0 t}$$

其中系数 $c_k$ 由分析公式 (Analysis Equation) 给出：

$$c_k = \frac{1}{T_0} \int_{T_0} x(t) , e^{-jk\omega_0 t} , dt$$

这里 $\int_{T_0}$ 表示在任意一个周期内的积分，通常取 $[0, T_0)$ 或 $[-T_0/2, T_0/2)$。

5.2.2 系数 $c_k$ 的物理意义

$c_k$ 称为第 $k$ 次谐波 (Harmonic) 的复振幅 (Complex Amplitude)：

$|c_k|$：第 $k$ 次谐波的振幅，表示频率为 $k\omega_0$ 的分量的强度；
$\angle c_k$：第 $k$ 次谐波的初相位，表示该分量相对于时间原点的相位偏移；
$k = 0$ 时，$c_0 = \frac{1}{T_0}\int_{T_0} x(t),dt$ 就是信号的直流分量 (DC Component)，即信号在一个周期内的平均值。

5.2.3 数学背景：正交性

复指数形式的傅里叶级数之所以成立，根本原因在于复指数函数集 ${e^{jk\omega_0 t}}$ 的正交性 (Orthogonality)：

$$\frac{1}{T_0} \int_{T_0} e^{jk\omega_0 t} \cdot e^{-jm\omega_0 t} , dt = \begin{cases} 1, & k = m \ 0, & k \neq m \end{cases}$$

验证工具：正交性可直接通过定积分和欧拉公式 $e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta$ 手算验证，也可用符号计算工具如 SymPy 的 integrate() 函数验证。

5.2.4 推导分析公式的直觉

在综合公式两边同乘 $e^{-jm\omega_0 t}$，再对一个周期积分：

$$\int_{T_0} x(t) e^{-jm\omega_0 t} dt = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k \int_{T_0} e^{j(k-m)\omega_0 t} dt$$

由正交性，右边只有 $k=m$ 的项非零，结果为 $c_m \cdot T_0$，因此：

$$c_m = \frac{1}{T_0} \int_{T_0} x(t) e^{-jm\omega_0 t} dt$$

5.3 三角形式的傅里叶级数

5.3.1 展开形式

三角傅里叶级数 (Trigonometric Fourier Series) 将周期信号表示为：

$$x(t) = a_0 + \sum_{k=1}^{\infty} \left[ a_k \cos(k\omega_0 t) + b_k \sin(k\omega_0 t) \right]$$

其中：

$$a_0 = \frac{1}{T_0} \int_{T_0} x(t) , dt$$

$$a_k = \frac{2}{T_0} \int_{T_0} x(t) \cos(k\omega_0 t) , dt, \quad k \geq 1$$

$$b_k = \frac{2}{T_0} \int_{T_0} x(t) \sin(k\omega_0 t) , dt, \quad k \geq 1$$

5.3.2 两种形式的关系

利用欧拉公式，可以建立三角系数与复指数系数之间的对应关系：

三角形式	复指数形式
$a_0$	$c_0$
$a_k ;(k \geq 1)$	$c_k + c_{-k}$
$b_k ;(k \geq 1)$	$j(c_k - c_{-k})$

反过来：

$$c_k = \frac{a_k - jb_k}{2}, \quad c_{-k} = \frac{a_k + jb_k}{2}, \quad k \geq 1$$

工程经验：复指数形式在数学推导中更简洁（尤其涉及微分、时移等性质时），而三角形式在直观理解上更自然。实际工程计算中，复指数形式是标准选择。

5.4 收敛条件（Dirichlet 条件）

并非所有周期信号都能展开为傅里叶级数。Dirichlet 条件 (Dirichlet Conditions) 给出了充分条件：

绝对可积 (Absolutely Integrable)：

$$\int_{T_0} |x(t)| , dt < \infty$$

有限个极值点 (Finite Number of Maxima and Minima)：在一个周期内，信号的极值点个数有限。
有限个不连续点 (Finite Number of Discontinuities)：在一个周期内，信号的不连续点个数有限，且每个不连续点处左极限和右极限均存在。

重要结论：满足 Dirichlet 条件的信号，其傅里叶级数在不连续点处收敛于左极限和右极限的平均值： $$x(t) \xrightarrow{\text{收敛}} \frac{x(t^-) + x(t^+)}{2}$$

工程意义：实际物理信号（电压、电流、声压等）几乎总是满足 Dirichlet 条件。典型的"理论反例"（如处处不可微的 Weierstrass 函数）在工程中不会出现。

5.5 傅里叶级数的性质

傅里叶级数有几个极为重要的性质，它们是频域分析的基础工具。

5.5.1 线性性 (Linearity)

若 $x(t) \xleftrightarrow{\text{CTFS}} c_k$，$y(t) \xleftrightarrow{\text{CTFS}} d_k$，则：

$$\alpha , x(t) + \beta , y(t) \xleftrightarrow{\text{CTFS}} \alpha , c_k + \beta , d_k$$

这直接来源于积分运算的线性性。

5.5.2 时移性质 (Time-Shifting Property)

若 $x(t) \xleftrightarrow{\text{CTFS}} c_k$，则：

$$x(t - t_0) \xleftrightarrow{\text{CTFS}} c_k , e^{-jk\omega_0 t_0}$$

物理解释：时间平移只改变各谐波分量的相位（乘以 $e^{-jk\omega_0 t_0}$），而幅度谱 $|c_k|$ 保持不变。这就是为什么时移操作在通信中被称为"线性相移"。

5.5.3 微分性质 (Differentiation Property)

若 $x(t) \xleftrightarrow{\text{CTFS}} c_k$，则：

$$\frac{d}{dt}x(t) \xleftrightarrow{\text{CTFS}} jk\omega_0 \cdot c_k$$

这是傅里叶级数最有用的性质之一：时域中的微分运算，在频域中变成了简单的乘法运算（乘以 $jk\omega_0$）。这意味着：

高频分量在微分后被放大（因为 $|jk\omega_0|$ 随 $k$ 增大）；
直流分量（$k=0$）在微分后消失——与"常数的导数为零"一致。

5.5.4 性质汇总伪代码

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function CTFS_Property(x_t, property, params):
    c_k = CTFS_Analysis(x_t)   // 计算傅里叶系数
    
    if property == "LINEAR":
        d_k = CTFS_Analysis(params.y_t)
        return params.alpha * c_k + params.beta * d_k
    
    if property == "TIME_SHIFT":
        return c_k * exp(-1j * k * omega0 * params.t0)
    
    if property == "DIFFERENTIATE":
        return 1j * k * omega0 * c_k

5.6 LTI 系统对周期输入的响应

5.6.1 特征函数性质

LTI（线性时不变）系统有一个核心性质：复指数函数是其特征函数 (Eigenfunction)。

设 LTI 系统的单位冲激响应为 $h(t)$，频率响应为 $H(j\omega)$，则：

$$e^{j\omega_0 t} \longrightarrow H(j\omega_0) \cdot e^{j\omega_0 t}$$

即输入一个复指数信号，输出是同一个复指数信号乘以一个复数增益 $H(j\omega_0)$。

5.6.2 周期输入的稳态响应

当周期信号 $x(t) = \sum_{k} c_k e^{jk\omega_0 t}$ 作用于 LTI 系统时，由线性性和特征函数性质，输出为：

$$y(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k , H(jk\omega_0) , e^{jk\omega_0 t}$$

物理解释：系统对每个频率分量的作用是将其乘以该频率处的频率响应值 $H(jk\omega_0)$。输出仍然是同频率的谐波叠加，但每个谐波的幅度和相位被系统"修饰"了。

flowchart TD
    X["x(t) = Sigma cₖ e^{jkω₀t}"] --> SYS["LTI 系统
H(jω)"]
    SYS --> Y["y(t) = Sigma cₖ H(jkω₀) e^{jkω₀t}"]
    subgraph 频域视角
        C["输入系数 cₖ"] --> MUL["× H(jkω₀)"]
        MUL --> D["输出系数 dₖ = cₖ·H(jkω₀)"]
    end
    style X fill:#1565C0,color:#fff
    style SYS fill:#228B22,color:#fff
    style Y fill:#C62828,color:#fff
    style C fill:#1565C0,color:#fff
    style MUL fill:#228B22,color:#fff
    style D fill:#C62828,color:#fff

5.6.3 频率响应的概念

频率响应 (Frequency Response) $H(j\omega)$ 定义为：

$$H(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau) , e^{-j\omega\tau} , d\tau$$

即系统冲激响应 $h(t)$ 的傅里叶变换（将在下一章详细讨论）。$H(j\omega)$ 完整描述了 LTI 系统对不同频率输入的响应特性：

$|H(j\omega)|$：幅频特性，决定各频率分量的增益/衰减；
$\angle H(j\omega)$：相频特性，决定各频率分量的相位偏移。

5.7 频谱的概念

5.7.1 幅度谱与相位谱

傅里叶系数 $c_k$ 是关于离散频率 $k\omega_0$ 的复函数。将其分解为幅度和相位：

幅度谱 (Magnitude Spectrum)：$|c_k|$ 随 $k\omega_0$ 的变化
相位谱 (Phase Spectrum)：$\angle c_k$ 随 $k\omega_0$ 的变化

5.7.2 频谱的离散性

由于周期信号的傅里叶级数仅在离散谐波频率 ${0, \pm\omega_0, \pm 2\omega_0, \ldots}$ 处有值，因此其频谱是离散谱 (Line Spectrum)——只在特定频率处出现谱线。

关键区别（预告）：非周期信号的频谱是连续的（傅里叶变换，第 6 章内容）。周期性 → 离散谱，这是信号与系统中最基本的对偶关系之一。

5.7.3 对称性

对于实信号 $x(t)$，其傅里叶系数具有共轭对称性 (Conjugate Symmetry)：

$$c_{-k} = c_k^*$$

这意味着：

$|c_{-k}| = |c_k|$：幅度谱关于 $k=0$ 偶对称；
$\angle c_{-k} = -\angle c_k$：相位谱关于 $k=0$ 奇对称。

因此，实信号的频谱信息完全包含在 $k \geq 0$ 的部分中。

5.8 经典示例：方波的傅里叶级数

方波 (Square Wave) 是最经典的 CTFS 应用示例。设周期为 $T_0$、占空比 50% 的方波：

$$x(t) = \begin{cases} 1, & 0 \leq t < T_0/2 \ -1, & T_0/2 \leq t < T_0 \end{cases}$$

利用分析公式计算系数：

$$c_k = \frac{1}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2} x(t) e^{-jk\omega_0 t} dt = \begin{cases} 0, & k \text{ 为偶数} \ \frac{2}{jk\pi}, & k \text{ 为奇数} \end{cases}$$

因此方波只包含奇次谐波，且幅度按 $1/k$ 衰减。写成三角形式：

$$x(t) = \frac{4}{\pi}\left[\sin(\omega_0 t) + \frac{1}{3}\sin(3\omega_0 t) + \frac{1}{5}\sin(5\omega_0 t) + \cdots\right]$$

Gibbs 现象：用有限项傅里叶级数逼近方波时，在不连续点附近会出现约 9% 的过冲 (Overshoot)，且不随项数增加而消除——这就是著名的 Gibbs 现象 (Gibbs Phenomenon)。这是傅里叶级数在不连续点处收敛行为的固有特征。

5.9 工程应用：频谱分析仪的原理

频谱分析仪 (Spectrum Analyzer) 是将时域信号转换为频域显示的仪器，其核心原理与傅里叶级数/变换一脉相承。

flowchart LR
    A["输入信号
x(t)"] --> B["混频器
(Mixer)"]
    B --> C["带通滤波器
(BPF)"]
    C --> D["检波器
(Detector)"]
    D --> E["显示器
频谱图"]
    F["本振扫描
f_LO"] --> B
    style A fill:#1565C0,color:#fff
    style B fill:#228B22,color:#fff
    style C fill:#228B22,color:#fff
    style D fill:#228B22,color:#fff
    style E fill:#C62828,color:#fff
    style F fill:#E65100,color:#fff

模拟扫频式频谱仪的工作流程：

混频 (Mixing)：输入信号与本振 (Local Oscillator, LO) 信号相乘，将不同频率分量搬移到中频 (IF)；
滤波 (Filtering)：窄带带通滤波器逐个选择目标频率分量；
检波 (Detection)：测量通过滤波器的信号功率；
扫描 (Sweeping)：本振频率从低到高扫描，依次测量各频率点的功率。

现代 FFT 频谱分析仪采用 FFT 直接计算信号的离散频谱：

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// FFT 频谱分析仪伪代码
function spectrum_analyzer(x_analog, fs, N):
    x[n] = ADC_sample(x_analog, fs)       // 采样，采样率 fs
    x_window[n] = x[n] * window[n]        // 加窗（如汉宁窗）
    X[k] = FFT(x_window, N)              // N 点 FFT
    magnitude[k] = 2 * |X[k]| / N         // 幅度谱（双边→单边）
    return magnitude[0 : N/2]              // 返回正频率部分

应用场景

应用领域	具体用途
通信系统	检测发射信号的带外辐射、邻道功率比 (ACLR)
音频工程	分析音频信号的频率成分，设计均衡器
电磁兼容 (EMC)	检测设备的电磁辐射是否超标
雷达	分析回波信号的频移（多普勒效应）
振动分析	旋转机械故障诊断——故障特征频率

5.10 本章小结

CTFS 的核心公式：综合公式将信号从频域（系数 $c_k$）还原到时域；分析公式从时域信号提取频域系数。
正交性是傅里叶级数成立的数学基础；Dirichlet 条件是工程中几乎总能满足的收敛保证。
关键性质——线性性、时移性质、微分性质——将复杂的时域运算转化为频域中的简单代数运算。
LTI 系统的特征函数性质是频域分析的基石：复指数信号通过 LTI 系统只改变幅度和相位。
频谱（幅度谱 + 相位谱）提供了观察信号的全新视角，是频谱分析仪等工程工具的理论基础。

展望：下一章将把傅里叶分析推广到非周期信号，引入连续时间傅里叶变换 (CTFT)——将离散的频谱扩展为连续的频谱密度函数，从而覆盖更广泛的工程应用场景。

第 5 章：连续时间傅里叶级数 / Continuous-Time Fourier Series (CTFS)#

5.1 从时域到频域——为什么要分解频率？#

5.2 周期信号的傅里叶级数表示#

5.2.1 基本定义#

5.2.2 系数 $c_k$ 的物理意义#

5.2.3 数学背景：正交性#

5.2.4 推导分析公式的直觉#

5.3 三角形式的傅里叶级数#

5.3.1 展开形式#

5.3.2 两种形式的关系#

5.4 收敛条件（Dirichlet 条件）#

5.5 傅里叶级数的性质#

5.5.1 线性性 (Linearity)#

5.5.2 时移性质 (Time-Shifting Property)#

5.5.3 微分性质 (Differentiation Property)#

5.5.4 性质汇总伪代码#

5.6 LTI 系统对周期输入的响应#

5.6.1 特征函数性质#

5.6.2 周期输入的稳态响应#

5.6.3 频率响应的概念#

5.7 频谱的概念#

5.7.1 幅度谱与相位谱#

5.7.2 频谱的离散性#

5.7.3 对称性#

5.8 经典示例：方波的傅里叶级数#

5.9 工程应用：频谱分析仪的原理#

应用场景#

5.10 本章小结#