第 6 章：连续时间傅里叶变换 / Continuous-Time Fourier Transform

6.1 从傅里叶级数到傅里叶变换

第 5 章中，我们将周期信号 (Periodic Signal) 分解为离散频率分量的叠加——傅里叶级数 (Fourier Series)。但工程中绝大多数信号并非周期的：一个语音脉冲、一次雷达回波、一段数字比特……它们都是有限时长、非周期的。

核心问题：非周期信号的频域表示是什么？

思路极其优美：将非周期信号视为"周期无穷大"的周期信号。设周期信号 $x_{T_0}(t)$ 的周期为 $T_0$，基波频率 $\omega_0 = 2\pi / T_0$。当 $T_0 \to \infty$ 时：

  • $\omega_0 \to 0$，离散谱线间距趋于零 → 离散频谱变为连续频谱
  • 傅里叶级数系数 $a_k = \frac{1}{T_0}\int_{-T_0/2}^{T_0/2} x(t) e^{-jk\omega_0 t} dt$ 中的积分区间趋于无穷

对 $T_0 \cdot a_k$ 取极限，便得到傅里叶变换 (Fourier Transform)。

graph LR
    A["FS: 周期信号
离散频谱"] -->|"T₀ → ∞"| B["FT: 非周期信号
连续频谱"]
    B -->|"频谱采样"| C["DTFT: 离散时间
连续频谱"]
    C -->|"频域离散化"| D["DFT: 全离散
数值计算"]
    style A fill:#1a1a2e,color:#fff
    style B fill:#16213e,color:#fff
    style C fill:#0f3460,color:#fff
    style D fill:#533483,color:#fff

6.2 傅里叶变换的定义

正变换 (Analysis Equation)

$$X(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t), e^{-j\omega t}, dt$$

$X(j\omega)$ 称为 $x(t)$ 的傅里叶变换或频谱密度函数 (Spectral Density Function)。

反变换 (Synthesis Equation)

$$x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(j\omega), e^{j\omega t}, d\omega$$

两者构成傅里叶变换对 (Fourier Transform Pair)，记为 $x(t) \leftrightarrow X(j\omega)$。

数学背景：上述积分均为广义积分 (Improper Integral)，要求 $\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)| dt < \infty$（绝对可积），或利用广义函数 (Distribution) 理论（如 Dirac δ）将范围扩展到更广泛的信号类。工程中常借助复变函数 (Complex Analysis) 的留数定理 (Residue Theorem) 计算此类积分。

6.3 频谱 — 幅度谱与相位谱

$X(j\omega)$ 一般为复函数，可表示为：

$$X(j\omega) = |X(j\omega)|, e^{j\angle X(j\omega)}$$

  • 幅度谱 (Magnitude Spectrum)：$|X(j\omega)|$ — 各频率分量的相对强度
  • 相位谱 (Phase Spectrum)：$\angle X(j\omega)$ — 各频率分量的相位偏移

频谱是理解信号频率构成的基石。例如，人声的幅度谱在 300 Hz–3.4 kHz 之间集中了绝大部分能量，这正是电话系统带宽设计的依据。

6.4 常见信号的傅里叶变换

掌握几个典型变换对，其余可通过性质推导。

信号 $x(t)$变换 $X(j\omega)$说明
$\delta(t)$$1$冲激的频谱无限宽、均匀
$1$$2\pi\delta(\omega)$常数只含直流分量
$e^{j\omega_0 t}$$2\pi\delta(\omega - \omega_0)$复指数只在 $\omega_0$ 处有谱线
$\text{rect}(t/T)$$T,\text{sinc}(\omega T / 2\pi)$矩形脉冲 ↔ sinc 函数
$\text{sinc}(Wt)$$(1/W),\text{rect}(\omega / 2\pi W)$sinc ↔ 矩形（对偶性）
$e^{-at}u(t),\ a>0$$\frac{1}{a + j\omega}$单边指数衰减

其中 $\text{sinc}(x) = \sin(\pi x)/(\pi x)$。

矩形脉冲的频谱 — 直观理解

宽度为 $T$ 的矩形脉冲，频谱为 $T,\text{sinc}(\omega T/2\pi)$。脉冲越窄（$T$ 小），sinc 主瓣越宽——这就是时间-频率不确定性原理 (Time-Frequency Uncertainty) 的直观体现。

6.5 傅里叶变换的基本性质

性质是简化计算、揭示物理含义的工具。

6.5.1 线性性 (Linearity)

$$a,x_1(t) + b,x_2(t) \leftrightarrow a,X_1(j\omega) + b,X_2(j\omega)$$

6.5.2 时移特性 (Time Shifting)

$$x(t - t_0) \leftrightarrow X(j\omega),e^{-j\omega t_0}$$

时移不改变幅度谱，只附加线性相移——这正是"延迟不影响频率成分大小"的数学表述。

6.5.3 频移特性 (Frequency Shifting) — 调制的基础

$$x(t),e^{j\omega_0 t} \leftrightarrow X\big(j(\omega - \omega_0)\big)$$

乘以复指数相当于频谱搬移。工程中的幅度调制 (AM) 本质就是利用此特性：用低频信号调制高频载波，将基带信号搬移到射频频段以便传输。

6.5.4 时间缩放 (Time Scaling)

$$x(at) \leftrightarrow \frac{1}{|a|},X!\left(\frac{j\omega}{a}\right)$$

  • $|a| > 1$：信号在时域压缩 → 频域展宽（快变信号含更多高频分量）
  • $|a| < 1$：信号在时域展宽 → 频域压缩

6.5.5 对偶性 (Duality)

若 $x(t) \leftrightarrow X(j\omega)$，则：

$$X(jt) \leftrightarrow 2\pi,x(-\omega)$$

这解释了矩形脉冲与 sinc 函数互为变换对的现象。

6.6 卷积定理 — LTI 系统频域分析的基石

时域卷积定理：

$$x(t) * h(t) \leftrightarrow X(j\omega) \cdot H(j\omega)$$

频域卷积定理：

$$x(t) \cdot h(t) \leftrightarrow \frac{1}{2\pi}X(j\omega) * H(j\omega)$$

其中 $*$ 在第一个等式中表示时域卷积，在第二个等式中表示频域卷积。

为什么卷积定理如此重要？

LTI 系统的输出 $y(t) = x(t) * h(t)$。变换到频域后：

$$Y(j\omega) = X(j\omega) \cdot H(j\omega)$$

系统对信号的作用变成了简单的乘法——$H(j\omega)$ 就是系统的频率响应 (Frequency Response)，它直接告诉我们系统对每个频率分量是放大、衰减还是移相。

graph LR
    X["x(t)"] --> CONV["卷积 *h(t)"]
    CONV --> Y["y(t)"]
    XF["X(jω)"] --> MUL["乘法 ×H(jω)"]
    MUL --> YF["Y(jω)"]
    FT1["FT"] --> XFT
    FT2["IFT"] --> YFT
    style X fill:#1a1a2e,color:#fff
    style Y fill:#1a1a2e,color:#fff
    style XF fill:#16213e,color:#fff
    style YF fill:#16213e,color:#fff
    style CONV fill:#533483,color:#fff
    style MUL fill:#0f3460,color:#fff

6.7 帕塞瓦尔定理 — 时域能量 = 频域能量

$$\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2, dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} |X(j\omega)|^2, d\omega$$

$|X(j\omega)|^2$ 称为能量谱密度 (Energy Spectral Density, ESD)。帕塞瓦尔定理保证了信号总能量在时域和频域两种表示下完全等价——这是能量守恒在信号处理中的体现。

6.8 工程应用

6.8.1 滤波器的频率响应

理想低通滤波器 (Ideal Low-Pass Filter) 的频率响应：

$$H_{LP}(j\omega) = \begin{cases} 1, & |\omega| \leq \omega_c \ 0, & |\omega| > \omega_c \end{cases}$$

对应的冲激响应为 $h(t) = \frac{\omega_c}{\pi},\text{sinc}(\omega_c t / \pi)$，这是一个非因果信号——理想滤波器物理不可实现，但为实际滤波器设计提供了理论基准。

实际滤波器设计（Butterworth、Chebyshev、Elliptic 等）的目标就是逼近理想频率响应，同时保持因果性和稳定性。

6.8.2 通信中的频谱搬移

幅度调制 (AM) 的核心流程：

  1. 基带信号 $m(t)$，频谱 $M(j\omega)$ 集中在低频
  2. 调制：$s(t) = m(t)\cos(\omega_c t)$
  3. 由频移特性：$S(j\omega) = \frac{1}{2}M(j(\omega - \omega_c)) + \frac{1}{2}M(j(\omega + \omega_c))$

基带频谱被搬移到 $\pm\omega_c$ 附近，可通过天线辐射出去。接收端再用同步检波或包络检波恢复原信号。

6.8.3 用 Python 验证傅里叶变换

numpy.fft.fft() 实现的是离散傅里叶变换 (DFT)，但足够验证连续傅里叶变换的结论：

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 矩形脉冲的傅里叶变换验证
T = 1.0          # 脉冲宽度
N = 1024         # 采样点数
dt = 0.01        # 采样间隔
t = (np.arange(N) - N//2) * dt

# 生成矩形脉冲
x = np.where(np.abs(t) <= T/2, 1.0, 0.0)

# DFT 并做频移使零频居中
X = np.fft.fftshift(np.fft.fft(x)) * dt
freq = np.fft.fftshift(np.fft.fftfreq(N, dt)) * 2 * np.pi  # 角频率

# 理论值：T * sinc(ωT / 2π)
X_theory = T * np.sinc(freq * T / (2 * np.pi))

plt.plot(freq, np.abs(X), label='DFT')
plt.plot(freq, np.abs(X_theory), '--', label='理论值')
plt.xlim(-30, 30)
plt.legend()
plt.xlabel('ω (rad/s)')
plt.ylabel('|X(jω)|')
plt.title('矩形脉冲的幅度谱')
plt.show()

注意：DFT 是 FT 的数值近似。采样率须满足 Nyquist 准则，时间窗口须足够长以逼近 $(-\infty, +\infty)$ 积分。

6.9 本章小结

概念核心公式工程意义
傅里叶变换$X(j\omega) = \int x(t)e^{-j\omega t}dt$信号的频域表示
频移特性$x(t)e^{j\omega_0 t} \leftrightarrow X(j(\omega-\omega_0))$调制/解调基础
卷积定理$x*h \leftrightarrow X \cdot H$LTI 系统频域分析
帕塞瓦尔定理$\int|x|^2 dt = \frac{1}{2\pi}\int|X|^2 d\omega$能量守恒

傅里叶变换将信号从时域映射到频域，使我们能够以"频率"的视角审视信号与系统。它不仅是通信工程中调制、滤波、频分复用的理论基础，也是后续拉普拉斯变换、z 变换以及现代谱分析方法的起点。