第 11 章：频率响应与滤波 / Frequency Response & Filtering
11.1 从一个工程问题出发
假设你是一名通信工程师，正在设计一个语音传输系统。人声信号的频率主要集中在 300 Hz ~ 3400 Hz，但接收端混入了 50 Hz 工频干扰和高频噪声。如何让系统"放过"语音频段、“挡住"干扰频段？
这就引出了本章的核心问题：一个 LTI 系统对不同频率的信号成分分别做什么？ 答案就是——频率响应 (Frequency Response)。
flowchart LR
A[混合信号 x(t)] --> B[LTI 系统 h(t)]
B --> C[输出信号 y(t)]
D[频率响应 H(jω)] --> B
style A fill:#1565C0,color:#fff
style B fill:#228B22,color:#fff
style C fill:#1565C0,color:#fff
style D fill:#5E35B1,color:#fff
11.2 频率响应的定义
11.2.1 LTI 系统对复指数的响应
考虑一个 LTI 系统，冲激响应为 $h(t)$。当输入为复指数信号 $x(t) = e^{j\omega t}$ 时，输出为卷积积分：
$$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau) , e^{j\omega(t - \tau)} , d\tau = e^{j\omega t} \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau) , e^{-j\omega \tau} , d\tau$$
令：
$$H(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t) , e^{-j\omega t} , dt$$
则输出为：
$$y(t) = H(j\omega) \cdot e^{j\omega t}$$
关键洞察：复指数信号 $e^{j\omega t}$ 是 LTI 系统的特征函数 (Eigenfunction)，而 $H(j\omega)$ 是对应的特征值 (Eigenvalue)。
11.2.2 幅频与相频
$H(j\omega)$ 是一个复值函数，可以分解为幅值与相位：
$$H(j\omega) = |H(j\omega)| \cdot e^{j\angle H(j\omega)}$$
- $|H(j\omega)|$：幅频响应 (Magnitude Response)，描述系统对各频率分量的增益或衰减
- $\angle H(j\omega)$：相频响应 (Phase Response)，描述系统对各频率分量引入的相移
数学背景：复数 $z = a + jb$ 的幅值为 $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$，相位为 $\angle z = \arctan(b/a)$。
11.3 从冲激响应到频率响应
11.3.1 傅里叶变换的桥梁作用
观察 $H(j\omega)$ 的定义式：
$$H(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t) , e^{-j\omega t} , dt$$
这正是 $h(t)$ 的连续时间傅里叶变换 (CTFT)。因此：
频率响应 = 冲激响应的傅里叶变换
$$h(t) \xleftrightarrow{\mathcal{F}} H(j\omega)$$
11.3.2 频域卷积定理
对于任意输入 $x(t)$，系统输出 $y(t) = h(t) * x(t)$，在频域中：
$$Y(j\omega) = H(j\omega) \cdot X(j\omega)$$
系统在频域中的作用就是对输入频谱乘以频率响应。
flowchart TB
subgraph 时域
A1["x(t)"] -->|"卷积 *"| B1["h(t)"] --> C1["y(t)"]
end
subgraph 频域
A2["X(jω)"] -->|"相乘 ×"| B2["H(jω)"] --> C2["Y(jω)"]
end
A1 -.->|FT| A2
C2 -.->|IFT| C1
style A1 fill:#1565C0,color:#fff
style A2 fill:#1565C0,color:#fff
style B1 fill:#228B22,color:#fff
style B2 fill:#228B22,color:#fff
style C1 fill:#C62828,color:#fff
style C2 fill:#C62828,color:#fff
11.4 Bode 图 (Bode Plot)
11.4.1 为什么用对数坐标？
在实际工程中，频率范围可能跨越多个数量级（如 1 Hz ~ 1 GHz），增益范围可能从 1 到 $10^6$。线性坐标无法同时清晰展示如此大的动态范围，因此引入对数坐标。
幅频 Bode 图的纵轴使用分贝 (decibel, dB)：
$$\text{Magnitude (dB)} = 20\log_{10}|H(j\omega)|$$
数学背景：dB 的定义源于功率比的对数。若功率比为 $P_1/P_2$，则 dB 值为 $10\log_{10}(P_1/P_2)$。由于功率正比于幅值的平方，幅值比的 dB 值为 $20\log_{10}|H|$。常见的对应关系：$|H| = 1$ → 0 dB；$|H| = \sqrt{2}/2 \approx 0.707$ → −3 dB；$|H| = 2$ → +6 dB。
相频 Bode 图的纵轴仍用度 (°)，但横轴同样采用对数刻度 $\log_{10}\omega$。
11.4.2 Bode 图的工程解读
| Bode 图特征 | 工程含义 |
|---|---|
| 幅频曲线水平段 | 该频段增益恒定，信号无损通过 |
| 幅频曲线下降段 | 该频段信号被衰减（滤波） |
| 幅频曲线上升段 | 该频段信号被放大 |
| 相频曲线斜率 | 系统对该频段引入的时间延迟 |
11.5 理想滤波器
11.5.1 四种理想滤波器
滤波器 (Filter) 的核心功能是选择性地通过或阻止特定频率范围的信号。
理想低通滤波器 (Ideal Low-Pass Filter)：
$$H_{LP}(j\omega) = \begin{cases} 1, & |\omega| \leq \omega_c \ 0, & |\omega| > \omega_c \end{cases}$$
其中 $\omega_c$ 为截止频率 (Cutoff Frequency)。
理想高通、带通、带阻滤波器类似定义，仅改变通带与阻带的位置。
flowchart TB
A[输入信号频谱 X(jω)] --> B{滤波器类型?}
B -->|低通| C1["H_LP: 保留 \|ω\| ≤ ω_c"]
B -->|高通| C2["H_HP: 保留 \|ω\| ≥ ω_c"]
B -->|带通| C3["H_BP: 保留 ω_1 ≤ \|ω\| ≤ ω_2"]
B -->|带阻| C4["H_BS: 去除 ω_1 ≤ \|ω\| ≤ ω_2"]
style A fill:#1565C0,color:#fff
style B fill:#E65100,color:#fff
style C1 fill:#228B22,color:#fff
style C2 fill:#228B22,color:#fff
style C3 fill:#228B22,color:#fff
style C4 fill:#228B22,color:#fff
11.5.2 为什么理想滤波器不可实现？
理想低通滤波器的冲激响应为：
$$h_{LP}(t) = \frac{\omega_c}{\pi} \cdot \text{sinc}!\left(\frac{\omega_c t}{\pi}\right) = \frac{\sin(\omega_c t)}{\pi t}$$
两个致命问题：
- 非因果性 (Non-causal)：$h_{LP}(t)$ 在 $t < 0$ 时不为零
- 不可逼近性（Gibbs 现象）：任何有限长度的近似都会在截止频率附近产生约 9% 的过冲
工程启示：理想滤波器是理论参考，实际设计必须在过渡带宽度、通带波纹、阻带衰减之间做折中。
11.6 实际滤波器的工程指标
| 指标 | 定义 | 典型值 |
|---|---|---|
| 通带波纹 $\delta_p$ (Passband Ripple) | 通带内 $ | H |
| 阻带衰减 $A_s$ (Stopband Attenuation) | 阻带内信号的最小衰减量 | ≥ 40 dB |
| 过渡带宽度 (Transition Band) | $\omega_s - \omega_p$ | 越窄越接近理想 |
| -3dB 截止频率 $\omega_c$ (Cutoff Frequency) | $ | H(j\omega_c) |
为什么是 -3 dB？ 因为 $20\log_{10}(1/\sqrt{2}) \approx -3.01$ dB，对应功率减半。这是"半功率点"的工程约定。
11.7 群延迟与相延迟
设系统的相频响应为 $\phi(\omega) = \angle H(j\omega)$。
相延迟 (Phase Delay)：$\tau_p(\omega) = -\frac{\phi(\omega)}{\omega}$，表示单一频率分量的时间延迟。
群延迟 (Group Delay)：$\tau_g(\omega) = -\frac{d\phi(\omega)}{d\omega}$，表示窄带信号包络的时间延迟。
线性相位的重要性：如果 $\phi(\omega) = -\omega t_0$，则所有频率延迟相同，波形不失真。
11.8 无失真传输条件
无失真传输要求输出仅是输入的缩放与延迟：
$$y(t) = K \cdot x(t - t_0)$$
对应的频率响应：
$$H(j\omega) = K , e^{-j\omega t_0}$$
两个条件同时满足：
- 常数幅频：$|H(j\omega)| = K$
- 线性相频：$\angle H(j\omega) = -\omega t_0$
flowchart LR
A["|H(jω)| = K"] --> C["无失真传输"]
B["∠H(jω) = -ωt₀"] --> C
C --> D["y(t) = K·x(t - t₀)"]
style A fill:#1565C0,color:#fff
style B fill:#1565C0,color:#fff
style C fill:#228B22,color:#fff
style D fill:#5E35B1,color:#fff
11.9 工程应用
11.9.1 均衡器设计
通信信道的频率响应 $H_c(j\omega)$ 通常不平坦。均衡器 $H_e(j\omega)$ 使整体接近无失真：
$$H_c(j\omega) \cdot H_e(j\omega) \approx K , e^{-j\omega t_0}$$
11.9.2 通信信道建模
- 平坦衰落 (Flat Fading)：$H(j\omega)$ 在信号带宽内近似恒定
- 频率选择性衰落：$H(j\omega)$ 在信号带宽内变化显著，需要均衡
11.9.3 音频处理
- 均衡器 (EQ)：独立调节各子带增益
- 去噪：高通/低通滤波器去除特定频段噪声
- 分频网络：将音频分为低频和高频，分别驱动不同扬声器单元
11.10 Python 验证
| |
11.11 本章小结
| 概念 | 核心公式 | 工程意义 |
|---|---|---|
| 频率响应 | $H(j\omega) = \mathcal{F}{h(t)}$ | 系统对频率的选择性描述 |
| Bode 图 | $20\log_{10} | H |
| 理想滤波器 | 矩形频率响应 | 理论参考，不可实现 |
| -3 dB 截止频率 | $ | H |
| 群延迟 | $\tau_g = -d\phi/d\omega$ | 信号包络的延迟 |
| 无失真传输 | $H = Ke^{-j\omega t_0}$ | 信号保真传输的充要条件 |