第 8 章：拉普拉斯变换 / Laplace Transform

8.1 为什么需要拉普拉斯变换

在第 7 章中，我们学习了傅里叶变换 (Fourier Transform)，它能将时域信号分解为频率分量。但傅里叶变换有一个根本限制——要求信号满足狄利克雷条件 (Dirichlet Conditions)，特别是绝对可积性：

$$\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)| , dt < \infty$$

然而，工程中许多重要信号并不满足这一条件：

信号表达式是否绝对可积
单位阶跃$u(t)$❌
斜坡信号$t \cdot u(t)$❌
增长指数$e^{2t}u(t)$❌
冲激信号$\delta(t)$✅（广义函数）

核心思想：如果我们给信号 $x(t)$ 乘上一个收敛因子 (Convergence Factor) $e^{-\sigma t}$，选择合适的 $\sigma$，就可以让 $x(t)e^{-\sigma t}$ 绝对可积，从而对其做傅里叶变换。

$$\mathcal{F}{x(t)e^{-\sigma t}} = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-\sigma t} e^{-j\omega t} , dt = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-(\sigma + j\omega)t} , dt$$

令 $s = \sigma + j\omega$（复频率 / Complex Frequency），这就是拉普拉斯变换的出发点。

数学背景：$s = \sigma + j\omega$ 是复变量，拉普拉斯变换本质上是复变函数论中的积分变换。理解其收敛性需要用到复平面 (Complex Plane) 上的区域分析概念。

8.2 拉普拉斯变换的定义

8.2.1 双边拉普拉斯变换 (Bilateral Laplace Transform)

$$X(s) = \mathcal{L}{x(t)} = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) , e^{-st} , dt$$

8.2.2 单边拉普拉斯变换 (Unilateral Laplace Transform)

$$X(s) = \mathcal{L}{x(t)} = \int_{0^{-}}^{\infty} x(t) , e^{-st} , dt$$

为什么工程中主要用单边？ 实际系统都有因果性 (Causality)——输出只取决于当前和过去的输入，即 $t < 0$ 时 $x(t) = 0$。此外，单边变换能自动处理初始条件，这对求解微分方程至关重要。下限取 $0^{-}$ 而非 $0^{+}$，是为了包含 $t=0$ 处的冲激。

8.2.3 逆变换 (Inverse Laplace Transform)

$$x(t) = \mathcal{L}^{-1}{X(s)} = \frac{1}{2\pi j} \int_{\sigma - j\infty}^{\sigma + j\infty} X(s) , e^{st} , ds$$

数学背景：逆变换积分沿复平面上一条平行于虚轴的直线进行，是留数定理 (Residue Theorem) 的直接应用。实际工程中，我们几乎总是用部分分式展开查表求逆，很少直接计算这个复积分。

8.3 收敛域 ROC (Region of Convergence)

拉普拉斯变换积分并非对所有 $s$ 都收敛。使积分收敛的 $s$ 值范围称为收敛域。

$$\text{ROC} = {s : |X(s)| < \infty}$$

关键规则：

  1. ROC 是复平面上的一个带状区域（或半平面）
  2. ROC 内不能有极点
  3. 对于因果信号（右边信号），ROC 是某个垂直线以右的半平面：$\text{Re}(s) > \sigma_0$
  4. 对于反因果信号（左边信号），ROC 是某个垂直线以左的半平面：$\text{Re}(s) < \sigma_0$
  5. 不同的信号可以有相同的 $X(s)$ 表达式，但 ROC 不同——因此 ROC 是拉普拉斯变换不可或缺的一部分

例：$X(s) = \frac{1}{s-a}$

对应信号ROC
$e^{at}u(t)$（因果）$\text{Re}(s) > a$
$-e^{at}u(-t)$（反因果）$\text{Re}(s) < a$

8.4 常用变换对

掌握以下变换对，是进行拉普拉斯分析的基础：

时域 $x(t)$$s$ 域 $X(s)$ROC
$\delta(t)$$1$全 $s$ 平面
$u(t)$$\frac{1}{s}$$\text{Re}(s) > 0$
$t^n u(t)$$\frac{n!}{s^{n+1}}$$\text{Re}(s) > 0$
$e^{at}u(t)$$\frac{1}{s-a}$$\text{Re}(s) > a$
$\cos(\omega t) \cdot u(t)$$\frac{s}{s^2 + \omega^2}$$\text{Re}(s) > 0$
$\sin(\omega t) \cdot u(t)$$\frac{\omega}{s^2 + \omega^2}$$\text{Re}(s) > 0$
$e^{at}\cos(\omega t) \cdot u(t)$$\frac{s-a}{(s-a)^2 + \omega^2}$$\text{Re}(s) > a$

推导提示：$e^{at}u(t)$ 的变换是所有其他变换对的"母公式"。例如，利用 $\cos(\omega t) = \frac{e^{j\omega t} + e^{-j\omega t}}{2}$，可以直接用线性性质和指数变换对得出 $\cos$ 的变换。

8.5 拉普拉斯变换的性质

8.5.1 基本性质一览

性质时域$s$ 域
线性$ax_1(t) + bx_2(t)$$aX_1(s) + bX_2(s)$
时移$x(t-t_0)u(t-t_0)$$X(s) \cdot e^{-st_0}$
频移$e^{s_0 t}x(t)$$X(s - s_0)$
尺度变换$x(at), ; a>0$$\frac{1}{a}X!\left(\frac{s}{a}\right)$
时域微分$\frac{dx(t)}{dt}$$sX(s) - x(0^{-})$
二阶微分$\frac{d^2x(t)}{dt^2}$$s^2X(s) - sx(0^{-}) - x’(0^{-})$
时域积分$\int_{0}^{t} x(\tau)d\tau$$\frac{X(s)}{s}$
卷积$x_1(t) * x_2(t)$$X_1(s) \cdot X_2(s)$
初值定理$x(0^{+})$$\lim_{s \to \infty} sX(s)$
终值定理$\lim_{t \to \infty} x(t)$$\lim_{s \to 0} sX(s)$

8.5.2 时域微分性质的推导与意义

时域微分性质是拉普拉斯变换最重要的性质之一。利用分部积分：

$$\mathcal{L}\left{\frac{dx(t)}{dt}\right} = \int_{0^{-}}^{\infty} \frac{dx(t)}{dt} e^{-st} dt = \left[x(t)e^{-st}\right]{0^{-}}^{\infty} + s\int{0^{-}}^{\infty} x(t)e^{-st}dt$$

当 $\text{Re}(s)$ 足够大时，上界项为零，故：

$$\mathcal{L}\left{\frac{dx(t)}{dt}\right} = sX(s) - x(0^{-})$$

工程意义：微分方程中的 $\frac{d}{dt}$ 变成 $s$ 代数运算，初始条件 $x(0^{-})$ 自动出现——这就是用拉普拉斯变换求解微分方程的理论基础。

8.5.3 卷积定理

$$x_1(t) * x_2(t) \longleftrightarrow X_1(s) \cdot X_2(s)$$

这意味着：时域卷积 = $s$ 域乘积。对于 LTI 系统，输出 $y(t) = x(t) * h(t)$ 变为 $Y(s) = X(s) \cdot H(s)$。

8.6 部分分式展开求逆变换

工程中最常用的逆变换方法是部分分式展开 (Partial Fraction Expansion)。核心思路：将 $X(s)$ 分解为简单分式之和，再查表求逆。

一般步骤

flowchart TD
    A["写出 X(s) = N(s) / D(s)"] --> B{"deg N ≥ deg D?"}
    B -- "是" --> C["多项式长除法
得到多项式 + 真分式"]
    B -- "否" --> D["分解 D(s) 为因式"]
    C --> D
    D --> E{"极点类型?"}
    E -- "单极点" --> F["A₁/(s-p₁) + A₂/(s-p₂) + ..."]
    E -- "重极点" --> G["A₁/(s-p) + A₂/(s-p)² + ..."]
    E -- "共轭复极点" --> H["合并为 (As+B)/((s-α)²+β²)"]
    F --> I["逐项查表求逆变换"]
    G --> I
    H --> I
    I --> J["得到 x(t)"]
    style A fill:#1565C0,color:#fff
    style B fill:#1565C0,color:#fff
    style C fill:#E65100,color:#fff
    style D fill:#1565C0,color:#fff
    style E fill:#1565C0,color:#fff
    style F fill:#228B22,color:#fff
    style G fill:#228B22,color:#fff
    style H fill:#228B22,color:#fff
    style I fill:#5E35B1,color:#fff
    style J fill:#228B22,color:#fff

例题

求 $X(s) = \frac{2s + 3}{s^2 + 3s + 2}$ 的逆变换，ROC：$\text{Re}(s) > -1$。

解：分母分解为 $(s+1)(s+2)$：

$$X(s) = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+2}$$

用留数法（Heaviside 覆盖法）：

$$A = \left.\frac{2s+3}{s+2}\right|{s=-1} = \frac{1}{1} = 1, \quad B = \left.\frac{2s+3}{s+1}\right|{s=-2} = \frac{-1}{-1} = 1$$

$$X(s) = \frac{1}{s+1} + \frac{1}{s+2}$$

由于 ROC 在最右边极点 $s=-1$ 的右侧，所有项对应因果信号：

$$x(t) = e^{-t}u(t) + e^{-2t}u(t) = (e^{-t} + e^{-2t})u(t)$$

Python 验证：

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import sympy as sp
s, t = sp.symbols('s t')
X = (2*s + 3) / (s**2 + 3*s + 2)
x = sp.inverse_laplace_transform(X, s, t)
print(x)  # (exp(-t) + exp(-2*t))*Heaviside(t)

8.7 系统函数 (Transfer Function)

8.7.1 定义

对于 LTI 系统，设输入 $x(t)$ 的拉普拉斯变换为 $X(s)$，输出 $y(t)$ 的变换为 $Y(s)$，则系统函数定义为：

$$H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}$$

当系统为零初始条件时，$H(s)$ 就是冲激响应 (Impulse Response) $h(t)$ 的拉普拉斯变换：

$$H(s) = \mathcal{L}{h(t)}$$

8.7.2 从微分方程到系统函数

设 LTI 系统由以下常系数线性微分方程描述：

$$a_2 \frac{d^2y}{dt^2} + a_1 \frac{dy}{dt} + a_0 y = b_1 \frac{dx}{dt} + b_0 x$$

零初始条件下，利用时域微分性质：

$$a_2 s^2 Y(s) + a_1 s Y(s) + a_0 Y(s) = b_1 s X(s) + b_0 X(s)$$

$$H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{b_1 s + b_0}{a_2 s^2 + a_1 s + a_0}$$

数学背景：系统函数是两个多项式之比，属于复变函数论中的有理函数 (Rational Function)。有理函数的性质完全由其零点和极点决定。

8.8 极点、零点与系统分析

8.8.1 零点与极点

对于有理系统函数：

$$H(s) = \frac{N(s)}{D(s)} = K \cdot \frac{(s - z_1)(s - z_2) \cdots (s - z_m)}{(s - p_1)(s - p_2) \cdots (s - p_n)}$$

  • 零点 (Zeros)：$z_i$，使 $H(s) = 0$ 的 $s$ 值
  • 极点 (Poles)：$p_i$，使 $H(s) \to \infty$ 的 $s$ 值

8.8.2 极点位置与时域响应的关系

极点在 $s$ 平面上的位置直接决定系统的时域行为：

flowchart LR
    subgraph sg0["s 平面 (复频率平面)"]
        direction TB
        L["左半平面
Re(s) < 0"]
        J["虚轴
Re(s) = 0"]
        R["右半平面
Re(s) > 0"]
    end
    L --> L1["衰减振荡 / 指数衰减
✅ 稳定"]
    J --> J1["等幅振荡 / 常数
⚠️ 临界稳定"]
    R --> R1["增长振荡 / 指数增长
❌ 不稳定"]
    style L fill:#228B22,color:#fff
    style J fill:#E65100,color:#fff
    style R fill:#C62828,color:#fff
    style L1 fill:#228B22,color:#fff
    style J1 fill:#E65100,color:#fff
    style R1 fill:#C62828,color:#fff
极点位置时域响应特征稳定性
负实轴（如 $s = -a$）$e^{-at}$，单调衰减稳定
左半平面共轭对（如 $s = -a \pm j\omega$）$e^{-at}\cos(\omega t)$，衰减振荡稳定
原点（$s = 0$）常数 $u(t)$临界稳定
虚轴共轭对（$s = \pm j\omega$）$\cos(\omega t)$，等幅振荡临界稳定
正实轴（$s = a$）$e^{at}$，指数增长不稳定
右半平面共轭对增长振荡不稳定

8.8.3 稳定性判据

BIBO 稳定性：

$$\text{因果 LTI 系统稳定} \iff H(s) \text{ 的所有极点都在 } s \text{ 左半平面}$$

即：所有极点满足 $\text{Re}(p_i) < 0$。

8.8.4 用系统函数确定系统特性

flowchart TD
    A["给定 H(s)"] --> B["求极点和零点"]
    B --> C["画出零极点图"]
    C --> D{"极点全在左半平面?"}
    D -- "是" --> E["系统稳定"]
    D -- "否" --> F["系统不稳定"]
    C --> G{"零极点关系"}
    G --> H["分析频率响应"]
    style A fill:#1565C0,color:#fff
    style B fill:#1565C0,color:#fff
    style C fill:#1565C0,color:#fff
    style D fill:#1565C0,color:#fff
    style E fill:#228B22,color:#fff
    style F fill:#C62828,color:#fff
    style G fill:#5E35B1,color:#fff
    style H fill:#5E35B1,color:#fff

8.9 工程应用

8.9.1 电路分析：$s$ 域等效模型

拉普拉斯变换将电路元件的微分方程变为代数方程：

元件时域伏安关系$s$ 域阻抗
电阻 $R$$v = Ri$$Z_R = R$
电容 $C$$i = C\frac{dv}{dt}$$Z_C = \frac{1}{sC}$，串联电压源 $\frac{v(0^{-})}{s}$
电感 $L$$v = L\frac{di}{dt}$$Z_L = sL$，串联电压源 $Li(0^{-})$

例：RLC 串联电路，输入电压 $v_{in}(t)$，求输出 $v_C(t)$（电容电压）。

$s$ 域 KVL：

$$V_{in}(s) = (R + sL + \frac{1}{sC})I(s)$$

系统函数：

$$H(s) = \frac{V_C(s)}{V_{in}(s)} = \frac{1/sC}{R + sL + 1/sC} = \frac{1}{LCs^2 + RCs + 1}$$

令 $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$，$\zeta = R/(2)\sqrt{C/L}$（阻尼比）：

$$H(s) = \frac{\omega_0^2}{s^2 + 2\zeta\omega_0 s + \omega_0^2}$$

极点 $s = -\zeta\omega_0 \pm \omega_0\sqrt{\zeta^2 - 1}$，立即看出：

  • $\zeta > 1$：过阻尼（两个实极点）
  • $\zeta = 1$：临界阻尼（重极点）
  • $\zeta < 1$：欠阻尼（共轭复极点，衰减振荡）

8.9.2 控制系统：稳定性与根轨迹

在经典控制理论中，拉普拉斯变换是核心工具：

1. 方框图化简

负反馈系统的闭环系统函数：

$$H_{cl}(s) = \frac{G(s)}{1 + G(s)F(s)}$$

其中 $G(s)$ 为前向通路系统函数，$F(s)$ 为反馈通路系统函数。

2. 稳定性分析

闭环极点是 $1 + G(s)F(s) = 0$ 的根。稳定性要求所有闭环极点在左半平面。

3. 根轨迹法 (Root Locus)

当某个参数（通常是增益 $K$）从 $0$ 变化到 $\infty$ 时，闭环极点在 $s$ 平面上移动的轨迹。

Python 工具：

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import scipy.signal as sig
sys = sig.lti([1, 2], [1, 3, 2])
print("极点:", sys.poles)
print("零点:", sys.zeros)
t, y = sys.step()

8.9.3 求解微分方程的完整流程

flowchart TD
    A["列出微分方程
+ 初始条件"] --> B["两端取拉普拉斯变换
利用微分性质"]
    B --> C["代数方程求解 Y(s)"]
    C --> D["部分分式展开"]
    D --> E["查表逆变换得 y(t)"]
    style A fill:#1565C0,color:#fff
    style B fill:#1565C0,color:#fff
    style C fill:#E65100,color:#fff
    style D fill:#5E35B1,color:#fff
    style E fill:#228B22,color:#fff

例：求解 $\frac{d^2y}{dt^2} + 3\frac{dy}{dt} + 2y = 0$，初始条件 $y(0^{-})=1$，$y’(0^{-})=0$。

Step 1——取拉普拉斯变换：

$$s^2Y(s) - s \cdot 1 - 0 + 3sY(s) - 3 \cdot 1 + 2Y(s) = 0$$

Step 2——代数求解：

$$(s^2 + 3s + 2)Y(s) = s + 3$$

$$Y(s) = \frac{s + 3}{(s+1)(s+2)} = \frac{2}{s+1} - \frac{1}{s+2}$$

Step 3——逆变换：

$$y(t) = (2e^{-t} - e^{-2t})u(t)$$

8.10 本章小结

概念核心要点
拉普拉斯变换傅里叶变换的推广，引入收敛因子 $e^{-\sigma t}$ 扩大适用范围
单边变换工程首选，自动处理初始条件
ROC变换存在的 $s$ 值范围，是变换的一部分
性质微分→乘以 $s$，卷积→乘积，将微积分问题变为代数问题
部分分式逆变换的实用方法
系统函数 $H(s)$极点决定稳定性：左半平面=稳定
$s$ 域电路分析RLC→代数阻抗，直接列写系统函数

8.11 数学工具与验证

Sympy 符号计算：

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import sympy as sp

s, t = sp.symbols('s t')

# 正变换
x = sp.exp(-2*t) * sp.Heaviside(t)
X = sp.laplace_transform(x, t, s)
print(X)  # (1/(s+2), 0, True)

# 逆变换
X_s = (s + 3) / ((s + 1) * (s + 2))
x_t = sp.inverse_laplace_transform(X_s, s, t)
print(sp.simplify(x_t))  # (2*exp(-t) - exp(-2*t))*Heaviside(t)

验证方法：用 sympy 做符号推导验证公式，用 scipy.signal 做数值仿真验证系统响应。

下一章预告：第 9 章将学习 $z$ 变换 / Z-Transform——拉普拉斯变换在离散时间域的对应物，是数字信号处理和离散系统分析的基础工具。