第 1 章：概述 / Overview

1.1 什么是信号 (Signal)

我们生活的世界充满信号——手机接收的电磁波、麦克风采集的声压变化、摄像头捕获的光强分布、心电图记录的电压波形。它们的物理形态各不相同，但本质上都在做同一件事：承载信息 (carry information)。

从数学角度看，信号是一个自变量到因变量的映射。最常见的情况，自变量是时间 $t$，因变量是某个物理量 $x(t)$。因此我们可以给出一个一般的定义：

信号 (Signal)：一个或多个自变量的函数，用来表示信息随自变量变化的规律。

当自变量为时间时，信号是一维函数 $x(t)$；当自变量为空间坐标 $(x, y)$ 时，信号是二维函数——一幅灰度图像就是 $f(x, y)$，表示坐标 $(x, y)$ 处的亮度值。更一般地，视频信号是时间加空间的函数 $f(x, y, t)$。

在工程中，我们关注的核心问题是：如何表示信号、如何分析信号、如何处理信号。而这三件事的起点，就是建立一个清晰的信号数学模型。

1.2 什么是系统 (System)

信号不会凭空出现，也不会凭空消失。它总是被某个东西产生、传输、变换或接收。这个"某个东西"就是系统。

系统 (System)：对输入信号进行变换并产生输出信号的功能实体。

用数学语言描述，系统是从输入信号 $x$ 到输出信号 $y$ 的映射（算子 / Operator）：

$$y = \mathcal{T}{x}$$

一个简单的例子：理想放大器。输入 $x(t)$，输出 $y(t) = A \cdot x(t)$，其中 $A$ 是增益。系统的变换关系就是简单的比例缩放。

更贴近工程的例子：一个低通滤波器（Low-Pass Filter）。它接收含有高频噪声的信号，输出的则是去除了高频分量的"干净"信号。这里的变换关系涉及微分方程或频域乘法，我们将在后续章节详细讨论。

系统的概念极其宽泛——一个电路是系统，一段数字信号处理（DSP, Digital Signal Processing）代码是系统，一根传输线缆也是系统。它们都可以用"输入→变换→输出"的统一框架来分析。

1.3 为什么要学信号与系统

信号与系统是电气工程、通信工程、自动化、计算机科学等专业的核心基础课。它之所以重要，是因为它提供了一套贯穿物理世界和数字世界的统一分析语言。

典型应用场景

这些场景千差万别，但分析方法是共通的：时域分析、频域分析、变换域分析。这正是本教材要系统讲授的内容。

1.4 信号的基本分类

理解信号的分类，是选择正确分析工具的前提。

1.4.1 连续时间信号 vs 离散时间信号

连续时间信号 (Continuous-Time Signal)：自变量 $t$ 在某个连续区间内取值，信号在每个时刻都有定义。记为 $x(t)$。

离散时间信号 (Discrete-Time Signal)：自变量 $n$ 只在整数点上取值（通常对应均匀采样时刻），信号只在离散时刻有定义。记为 $x[n]$。

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连续时间:  x(t) = sin(2πft)         — t ∈ ℝ
离散时间:  x[n] = sin(2πfn/fs)      — n ∈ ℤ

工程意义：现实世界的物理信号几乎都是连续时间的。但计算机只能处理离散数据。因此，“连续→离散"的采样过程，以及采样后能否无损恢复，是信号与系统理论的基石之一（奈奎斯特采样定理 / Nyquist Sampling Theorem）。

1.4.2 确定性信号 vs 随机信号

确定性信号 (Deterministic Signal)：任意时刻的值都可以由确定的数学公式完全描述。例如 $x(t) = 3\sin(100\pi t)$。

随机信号 (Random Signal)：在任意给定时刻，信号的值不能精确预知，只能用概率分布描述。例如接收机中的热噪声。

注意：本教材主要讨论确定性信号。随机信号的分析需要概率论与随机过程的知识，属于更高级的课程内容。

1.4.3 周期信号 vs 非周期信号

周期信号 (Periodic Signal)：存在一个正数 $T$（称为周期 / Period），使得对所有 $t$ 都有：

$$x(t) = x(t + T)$$

满足条件的最小正数 $T_0$ 称为基本周期 (Fundamental Period)。例如，正弦信号 $\sin(\omega_0 t)$ 的基本周期为 $T_0 = 2\pi/\omega_0$。

非周期信号 (Aperiodic Signal)：不存在这样的 $T$。阶跃信号、单脉冲信号都是非周期的。

数学工具：周期信号自然地与傅里叶级数 (Fourier Series) 关联——任何满足狄利克雷条件 (Dirichlet Conditions) 的周期信号，都可以分解为正弦分量的叠加。这是频域分析的起点。

1.4.4 能量信号 vs 功率信号

信号的总能量定义为：

$$E = \lim_{T \to \infty} \int_{-T}^{T} |x(t)|^2 , dt$$

平均功率定义为：

$$P = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} |x(t)|^2 , dt$$

• 若 $E < \infty$ 且 $P = 0$，则为能量信号 (Energy Signal)。典型例子：单脉冲。
• 若 $E = \infty$ 且 $0 < P < \infty$，则为功率信号 (Power Signal)。典型例子：周期信号。
• 若 $E = \infty$ 且 $P = \infty$，则两者都不是。例如 $x(t) = t$。

数学背景：上述定义依赖微积分中的极限与广义积分 (Improper Integral) 概念。$|x(t)|^2$ 对应瞬时功率（假设信号是电压，加在 1Ω 电阻上），积分即总能量。可用数值积分（梯形法则 / Trapezoidal Rule）在计算机上验证。

对于离散时间信号，定义类比：

$$E = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^2, \quad P = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{n=-N}^{N} |x[n]|^2$$

判断能量/功率信号的伪代码：

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function classify_signal(x):
    // 计算有限窗口内的能量和功率
    E = sum(|x[n]|²) for all n
    P = E / (number of samples)

    if E is finite and P → 0:
        return "Energy Signal"
    else if E → ∞ and P is finite:
        return "Power Signal"
    else:
        return "Neither"

1.5 系统的基本分类

正如信号有不同的分类，系统也有其基本属性。这些属性决定了我们能用什么数学工具来分析系统。

1.5.1 线性 vs 非线性

线性系统 (Linear System) 满足叠加原理 (Superposition Principle)：

若输入 $x_1(t)$ 产生输出 $y_1(t)$，输入 $x_2(t)$ 产生输出 $y_2(t)$，则对任意常数 $a, b$：

$$\mathcal{T}{a \cdot x_1(t) + b \cdot x_2(t)} = a \cdot y_1(t) + b \cdot y_2(t)$$

非线性系统 (Nonlinear System) 不满足叠加原理。

数学根基：线性性对应线性代数中的线性映射 (Linear Mapping) 概念。信号空间可以看作一个向量空间（Vector Space），线性系统就是该空间上的线性算子。这一数学结构使得我们可以使用矩阵、特征值、变换等强大工具。

工程意义：线性系统可以用卷积 (Convolution) 完全刻画，可以用傅里叶变换 转到频域分析。非线性系统则没有这些便利——但在实际中，很多系统可以在工作点附近做线性近似 (Linear Approximation)。

1.5.2 时不变 vs 时变

时不变系统 (Time-Invariant System, TI)：如果输入 $x(t)$ 产生输出 $y(t)$，那么延迟后的输入 $x(t - t_0)$ 产生同样延迟的输出 $y(t - t_0)$。系统的行为不随时间改变。

时变系统 (Time-Varying System)：系统的特性随时间变化。例如，一个参数随温度漂移的滤波器。

线性 + 时不变 = LTI 系统 (Linear Time-Invariant System)。这是信号与系统课程的核心研究对象。LTI 系统可以用冲激响应 (Impulse Response) $h(t)$ 完全描述，输入输出关系就是卷积积分：

$$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) , h(t - \tau) , d\tau = x(t) * h(t)$$

1.5.3 因果 vs 非因果

因果系统 (Causal System)：输出只取决于当前和过去的输入，不依赖未来输入。即当 $t < t_0$ 时若 $x_1(t) = x_2(t)$，则对应的 $y_1(t)$ 和 $y_2(t)$ 在 $t < t_0$ 时也相等。

非因果系统 (Non-Causal System)：输出可以依赖未来输入。

物理直觉：所有实际运行的实时系统都必须是因果的——你不可能用"未来的数据"来计算"现在的输出”。但在离线处理（如图像后处理、录播音频分析）中，非因果系统是允许且有实用价值的。

1.5.4 稳定 vs 不稳定

稳定系统 (Stable System) 常用有界输入有界输出 (BIBO Stability, Bounded-Input Bounded-Output Stability) 来定义：若对所有有界输入 $|x(t)| \leq M_x < \infty$，输出也有界 $|y(t)| \leq M_y < \infty$，则系统是 BIBO 稳定的。

对于 LTI 系统，BIBO 稳定的充要条件是冲激响应绝对可积：

$$\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| , dt < \infty$$

工程意义：稳定性是系统设计的第一道红线。一个不稳定的系统，哪怕输入再小，输出也可能发散到无穷——这在物理世界中意味着器件烧毁或系统崩溃。

系统属性判断伪代码：

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function check_LTI_properties(system):
    // 线性检验
    y1 = system.response(x1)
    y2 = system.response(x2)
    y_combined = system.response(a*x1 + b*x2)
    is_linear = (y_combined == a*y1 + b*y2)

    // 时不变检验
    y_delayed = system.response(delay(x, t0))
    is_time_invariant = (y_delayed == delay(y, t0))

    // 因果性检验
    is_causal = (h(t) == 0 for all t < 0)

    // BIBO 稳定性检验
    is_stable = (integral(|h(t)|) < ∞)

    return {linear, time_invariant, causal, stable}

1.6 工程视角的典型信号流

一个典型的现代信号处理链路，从物理世界的信号到最终的数字处理结果，大致经历以下阶段：

flowchart LR
    A["🔊 物理信号\n(Physical Signal)"] -->|"传感器\n(Transducer)"| B["📡 模拟电信号\n(Analog Electrical)"]
    B -->|"抗混叠滤波\n(Anti-Aliasing Filter)"| C["🔬 采样保持\n(Sample & Hold)"]
    C -->|"ADC\n(模数转换)"| D["💾 数字信号\n(Digital Signal x[n])"]
    D -->|"DSP / 算法\n(Processing)"| E["⚙️ 处理结果\n(Processed y[n])"]
    E -->|"DAC\n(数模转换)"| F["📻 重建模拟信号\n(Reconstructed)"]
    F -->|"执行器\n(Actuator)"| G["📢 物理输出\n(Physical Output)"]
    style A fill:#1565C0,color:#fff
    style B fill:#2E7D32,color:#fff
    style C fill:#E65100,color:#fff
    style D fill:#6A1B9A,color:#fff
    style E fill:#C62828,color:#fff
    style F fill:#2E7D32,color:#fff
    style G fill:#1565C0,color:#fff

各环节解读：

1. 传感器 (Transducer)：将物理量（声压、光强、温度等）转换为电信号。例如麦克风将声压转换为电压。
2. 抗混叠滤波 (Anti-Aliasing Filter)：在采样前滤除高于奈奎斯特频率的分量，防止频谱混叠（Aliasing）。
3. 模数转换 (ADC, Analog-to-Digital Converter)：将连续信号采样、量化、编码为数字序列。
4. 数字信号处理 (DSP)：在数字域完成滤波、变换、特征提取等操作。这是本教材后半部分的重点。
5. 数模转换 (DAC, Digital-to-Analog Converter)：将处理后的数字信号还原为模拟信号。
6. 执行器 (Actuator)：将电信号转换回物理量（如扬声器将电压转换为声压）。

思考题：在这个链路中，哪些环节是因果的？哪些环节可以用线性系统建模？这些问题将在后续章节中逐步回答。

1.7 本教材的整体架构

以下流程图展示了本教材各章节的逻辑关系与学习路径：

flowchart TD
    CH1["📘 第1章：概述\n(Overview)"] --> CH2
    CH1 --> CH3
    subgraph "时域分析 (Time Domain)"
        CH2["第2章：连续时间信号与系统\n(CT Signals & Systems)"]
        CH3["第3章：离散时间信号与系统\n(DT Signals & Systems)"]
    end
    CH2 --> CH4
    CH3 --> CH5
    subgraph "频域分析 (Frequency Domain)"
        CH4["第4章：连续时间傅里叶变换\n(CT Fourier Transform)"]
        CH5["第5章：离散时间傅里叶变换\n(DT Fourier Transform)"]
    end
    CH4 --> CH6
    CH5 --> CH6
    subgraph "变换域分析 (Transform Domain)"
        CH6["第6章：拉普拉斯变换\n(Laplace Transform)"]
        CH7["第7章：z 变换\n(z-Transform)"]
    end
    CH6 --> CH8
    CH7 --> CH8
    subgraph "综合与应用 (Synthesis & Applications)"
        CH8["第8章：采样定理与数字处理\n(Sampling & DSP)"]
        CH9["第9章：状态空间分析\n(State-Space Analysis)"]
    end
    style CH1 fill:#1565C0,color:#fff
    style CH2 fill:#2E7D32,color:#fff
    style CH3 fill:#2E7D32,color:#fff
    style CH4 fill:#E65100,color:#fff
    style CH5 fill:#E65100,color:#fff
    style CH6 fill:#6A1B9A,color:#fff
    style CH7 fill:#6A1B9A,color:#fff
    style CH8 fill:#C62828,color:#fff
    style CH9 fill:#C62828,color:#fff

学习路径说明：

• 第 2–3 章建立时域分析的基础：信号的运算、系统的冲激响应、卷积。
• 第 4–5 章进入频域：傅里叶级数与傅里叶变换，从另一个维度理解信号与系统。
• 第 6–7 章引入更一般的变换工具：拉普拉斯变换处理连续系统，z 变换处理离散系统，统一系统函数与稳定性分析。
• 第 8 章将连续与离散桥接起来：采样定理是模拟世界与数字世界的理论接口。
• 第 9 章引入状态空间方法，为多输入多输出系统和控制理论打下基础。

1.8 本章小结

本章作为信号与系统的开篇，建立了以下核心概念框架：

1. 信号是信息的数学表示（时间的函数），系统是对信号的变换（算子）。
2. 信号可按连续/离散、确定性/随机、周期/非周期、能量/功率等维度分类。
3. 系统的核心属性包括线性性、时不变性、因果性、稳定性——其中 LTI（线性时不变）系统是本课程的主角。
4. 一个完整的工程信号处理链路，从物理信号到数字处理再回到物理世界，涉及传感、滤波、采样、处理、重建等环节。
5. 本教材按照"时域→频域→变换域→应用“的递进逻辑展开。

数学工具提示：学好本课程需要的基本数学工具包括——微积分（极限、积分、微分方程）、线性代数（向量空间、矩阵运算）、复变函数（欧拉公式、复指数）。如果这些基础需要回顾，建议在学习第 2 章之前先做适当复习。