第 9 章：Z 变换 / Z-Transform

9.1 为什么需要 Z 变换？

在连续时间世界中，拉普拉斯变换（Laplace Transform）将微分方程转化为代数方程，极大地简化了系统分析。然而，当我们面对离散时间系统（Discrete-Time Systems）——例如数字滤波器、采样数据控制系统——微分方程被**差分方程（Difference Equations）**取代，拉普拉斯变换的工具箱不再直接适用。

核心问题： 如何为离散时间信号建立一套与拉普拉斯变换等价的频域分析工具？

答案就是 Z 变换（Z-Transform）。它将时域的差分方程映射为 z 域的代数方程，使得系统分析、设计和实现都变得更加清晰。

从拉普拉斯到 Z 变换的桥梁

考虑连续信号 $x(t)$ 以采样周期 $T$ 进行理想采样，得到离散序列 $x[n] = x(nT)$。对采样信号取拉普拉斯变换：

$$x_s(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n],\delta(t - nT)$$

$$X_s(s) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n],e^{-snT}$$

令 $z = e^{sT}$，则 $e^{-snT} = z^{-n}$，于是：

$$\boxed{X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n],z^{-n}}$$

这就是**双边 Z 变换（Bilateral Z-Transform）**的定义。变量 $z$ 是一个复变量，$z = e^{sT}$ 建立了 s 平面到 z 平面的映射关系。

数学背景： Z 变换本质上是复平面上的 Laurent 级数（洛朗级数）。其收敛性由复变函数中的幂级数收敛理论保证。可以用 sympy 的 Laurent 级数功能进行符号验证。

9.2 收敛域（Region of Convergence, ROC）

Z 变换的级数并非对所有 $z$ 都收敛。使级数收敛的 $z$ 值集合称为收敛域（ROC）。ROC 是 Z 变换定义中不可分割的一部分——同一个 $X(z)$ 表达式，不同的 ROC 对应不同的时域序列。

ROC 的三种典型情形

序列类型	时域特征	ROC 形状
因果序列（右侧序列）	$x[n] = 0,; n < 0$	$
反因果序列（左侧序列）	$x[n] = 0,; n > 0$	$
双边序列	$n \in (-\infty, +\infty)$ 均非零	$R_1 <

示例： $X(z) = \frac{z}{z - a}$

ROC 为 $|z| > |a|$ 时，对应因果序列 $x[n] = a^n u[n]$
ROC 为 $|z| < |a|$ 时，对应反因果序列 $x[n] = -a^n u[-n-1]$

关键原则： Z 变换必须连同 ROC 一起给出，否则逆变换不唯一。

flowchart TD
    A[已知 X_z 表达式] --> B{ROC 类型?}
    B -->|圆外 R1 小于 z| C[因果序列
x_n = 0, n 小于 0]
    B -->|圆内 z 小于 R2| D[反因果序列
x_n = 0, n 大于 0]
    B -->|环状 R1 小于 z 小于 R2| E[双边序列]

9.3 常用 Z 变换对

掌握以下基本变换对，是灵活运用 Z 变换的基础：

时域 $x[n]$	z 域 $X(z)$	ROC
$\delta[n]$	$1$	全部 $z$
$\delta[n - n_0]$	$z^{-n_0}$	$z \neq 0$（$n_0 > 0$）
$u[n]$	$\dfrac{z}{z - 1}$	$
$a^n u[n]$	$\dfrac{z}{z - a}$	$
$-a^n u[-n-1]$	$\dfrac{z}{z - a}$	$
$n,a^n u[n]$	$\dfrac{az}{(z - a)^2}$	$
$a^n \cos(\omega_0 n),u[n]$	$\dfrac{z(z - a\cos\omega_0)}{z^2 - 2a\cos\omega_0,z + a^2}$	$
$a^n \sin(\omega_0 n),u[n]$	$\dfrac{a\sin\omega_0,z}{z^2 - 2a\cos\omega_0,z + a^2}$	$

推导提示： $a^n \cos(\omega_0 n),u[n]$ 可利用欧拉公式分解为 $\frac{1}{2}(a^n e^{j\omega_0 n} + a^n e^{-j\omega_0 n}),u[n]$，再对每一项应用 $a^n u[n]$ 的变换对（令 $a \to ae^{\pm j\omega_0}$）即可。使用 sympy 可符号验证。

9.4 Z 变换的基本性质

9.4.1 线性（Linearity）

$$a,x_1[n] + b,x_2[n] \xleftrightarrow{\mathcal{Z}} a,X_1(z) + b,X_2(z)$$

ROC 至少为两者 ROC 的交集。

9.4.2 时移性质（Time Shifting）

$$x[n - n_0] \xleftrightarrow{\mathcal{Z}} z^{-n_0},X(z)$$

这是差分方程转化为代数方程的关键。每一项延迟对应乘以 $z^{-1}$（即一个延迟单元）。

9.4.3 z 域缩放（Scaling in z-Domain）

$$a^n,x[n] \xleftrightarrow{\mathcal{Z}} X!\left(\frac{z}{a}\right), \quad \text{ROC: } |a|\cdot R_x$$

9.4.4 时间反转（Time Reversal）

$$x[-n] \xleftrightarrow{\mathcal{Z}} X!\left(\frac{1}{z}\right), \quad \text{ROC: } \frac{1}{R_x}$$

9.4.5 卷积定理（Convolution Theorem）

$$\boxed{x_1[n] * x_2[n] \xleftrightarrow{\mathcal{Z}} X_1(z) \cdot X_2(z)}$$

这是 Z 变换最重要的性质之一。 时域卷积等于 z 域乘积——这意味着 LTI 系统的输出可以通过系统函数与输入 Z 变换的乘积来计算。ROC 至少为两者 ROC 的交集。

9.4.6 初值定理（Initial Value Theorem）

对于因果序列：

$$x[0] = \lim_{z \to \infty} X(z)$$

9.4.7 终值定理（Final Value Theorem）

对于因果序列，若 $X(z)$ 在单位圆上及圆外仅有一个极点 $z = 1$（其余极点在单位圆内）：

$$\lim_{n \to \infty} x[n] = \lim_{z \to 1} (z - 1),X(z)$$

工程直觉： 终值定理在数字控制系统中用于判断稳态误差，类似于连续系统中的拉普拉斯终值定理。

9.5 逆 Z 变换（Inverse Z-Transform）

已知 $X(z)$ 和 ROC，求 $x[n]$ 的过程称为逆 Z 变换：

$$x[n] = \mathcal{Z}^{-1}{X(z)} = \frac{1}{2\pi j} \oint_C X(z),z^{n-1},dz$$

其中 $C$ 是 ROC 内一条逆时针闭合围线。直接计算复积分通常使用留数定理（Residue Theorem），但工程中更常用以下两种方法：

9.5.1 幂级数展开法（长除法）

将 $X(z)$ 展开为 $z$ 的幂级数，系数即为 $x[n]$。

伪代码：

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# 长除法求逆 Z 变换（因果序列）
X_z = 分子多项式 / 分母多项式
for n = 0, 1, 2, ..., N:
    # 长除法每一步得到 z^(-n) 的系数
    x[n] = 当前步的商系数
    余项 = 余项 * z  # 降幂

示例： $X(z) = \frac{1}{1 - 0.5z^{-1}},; |z| > 0.5$

长除法：$1 \div (1 - 0.5z^{-1}) = 1 + 0.5z^{-1} + 0.25z^{-2} + \cdots$

故 $x[n] = (0.5)^n u[n]$，与变换对一致。

9.5.2 部分分式展开法

当 $X(z)$ 为有理函数时，先展开为部分分式，再查表求各项逆变换。

步骤：

令 $X(z)/z$ 进行部分分式展开（先除以 $z$ 可简化计算）
查表得到每项的逆变换
根据 ROC 确定因果性，组合结果

伪代码：

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# 部分分式展开法
X_z = 有理函数（分子/分母）
X_z_over_z = X_z / z
对 X_z_over_z 做部分分式展开:
    X_z_over_z = A/(z - p1) + B/(z - p2) + ...
X_z = A*z/(z - p1) + B*z/(z - p2) + ...
对每一项:
    if ROC 包含 |z| > |pi|:
        逆变换 += A * (pi)^n * u[n]
    elif ROC 包含 |z| < |pi|:
        逆变换 += -A * (pi)^n * u[-n-1]

数学工具验证： Python 中 scipy.signal.residuez 可直接计算部分分式展开的留数和极点。numpy.polydiv 可做多项式除法。对于留数法逆变换，可借助 sympy.residue 进行符号计算。

9.6 系统函数 $H(z)$

9.6.1 定义

对于线性时不变（LTI）离散系统，设输入为 $x[n]$，输出为 $y[n]$，单位冲激响应为 $h[n]$，则：

$$Y(z) = H(z) \cdot X(z)$$

$$\boxed{H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} h[n],z^{-n}}$$

$H(z)$ 称为系统函数（System Function）或传递函数（Transfer Function）。

9.6.2 差分方程与系统函数

N 阶线性常系数差分方程的一般形式：

$$\sum_{k=0}^{N} a_k,y[n-k] = \sum_{k=0}^{M} b_k,x[n-k]$$

两边取 Z 变换（利用时移性质）：

$$\sum_{k=0}^{N} a_k,z^{-k},Y(z) = \sum_{k=0}^{M} b_k,z^{-k},X(z)$$

$$\boxed{H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\sum_{k=0}^{M} b_k,z^{-k}}{\sum_{k=0}^{N} a_k,z^{-k}} = \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + \cdots + b_M z^{-M}}{a_0 + a_1 z^{-1} + \cdots + a_N z^{-N}}}$$

数字滤波器实现： $H(z)$ 的这种有理分式形式直接对应 FIR（$N=0$）或 IIR 滤波器的结构。分子系数 $b_k$ 为前馈路径，分母系数 $a_k$ 为反馈路径。

9.6.3 极零点图（Pole-Zero Plot）

将 $H(z)$ 表示为零极点形式：

$$H(z) = G \cdot \frac{\prod_{i=1}^{M}(z - z_i)}{\prod_{j=1}^{N}(z - p_j)}$$

其中 $z_i$ 为零点（Zeros），$p_j$ 为极点（Poles），$G$ 为增益因子。

在 z 平面上标出极点（×）和零点（○）的图称为极零点图，它直观地反映了系统的频率响应特性：

极点靠近单位圆 → 对应频率处增益大（共振峰）
零点靠近单位圆 → 对应频率处增益小（陷波）

flowchart LR
    A[差分方程] -->|Z 变换| B[系统函数 H_z]
    B -->|因式分解| C[极零点图]
    C -->|单位圆上求值| D[频率响应 H_e_jω]
    B -->|z = e^{jω}| D

9.6.4 稳定性判据

对于因果 LTI 系统：

$$\boxed{\text{因果系统稳定} \iff H(z) \text{ 的所有极点位于单位圆内} \iff |p_j| < 1,;\forall j}$$

这与连续系统中"所有极点在左半平面"的判据完全对应。

证明思路： 因果系统的 $h[n]$ 为因果序列，ROC 为 $|z| > \max|p_j|$。稳定性要求 $\sum|h[n]| < \infty$，等价于 $H(z)$ 的 ROC 包含单位圆（$|z| = 1$）。因此 $\max|p_j| < 1$。

Python 验证： 使用 scipy.signal.freqz(b, a) 计算频率响应，scipy.signal.zpk2tf / tf2zpk 在零极点和传递函数系数之间转换，matplotlib 绘制极零点图。

9.7 s 平面到 z 平面的映射

由 $z = e^{sT}$（$T$ 为采样周期），s 平面与 z 平面之间存在如下映射：

s 平面区域	z 平面区域	物理含义
左半平面（$\mathrm{Re}(s) < 0$）	单位圆内（$	z
虚轴（$s = j\omega$）	单位圆上（$	z
右半平面（$\mathrm{Re}(s) > 0$）	单位圆外（$	z

映射特性：

s 平面的虚轴 $s = j\omega$ 映射为 z 平面的单位圆 $z = e^{j\omega T}$
s 平面每增加 $\frac{2\pi}{T}$ 的频率跨度，z 平面上绕单位圆一周（这就是频率混叠的几何解释）
左半平面中的等阻尼线映射为 z 平面上的螺旋线

$$\text{令 } s = \sigma + j\omega,\quad z = e^{sT} = e^{\sigma T} \cdot e^{j\omega T}$$

$$|z| = e^{\sigma T}, \quad \angle z = \omega T$$

工程意义： 这一映射是数字滤波器设计中**双线性变换法（Bilinear Transform）和脉冲响应不变法（Impulse Invariance）**的理论基础。

9.8 工程应用

9.8.1 数字滤波器设计

设计一个数字低通滤波器的典型流程：

flowchart TD
    A[设计指标
通带/阻带频率、纹波] --> B[选择设计方法]
    B --> C[双线性变换法
s → z 映射]
    B --> D[脉冲响应不变法]
    B --> E[窗函数法 FIR]
    C --> F[得到 H_z]
    D --> F
    E --> F
    F --> G[极零点分析
验证稳定性]
    G --> H[频率响应验证
freqz]
    H --> I[差分方程实现
y_n = Sigma b_k x_n-k - Sigma a_k y_n-k]

9.8.2 从差分方程到频率响应

完整示例： 一阶 IIR 低通滤波器

差分方程：$y[n] = 0.1,x[n] + 0.9,y[n-1]$

取 Z 变换：

$$Y(z) = 0.1,X(z) + 0.9,z^{-1},Y(z)$$

$$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{0.1}{1 - 0.9,z^{-1}} = \frac{0.1,z}{z - 0.9}$$

极点 $p = 0.9$（在单位圆内，系统稳定）。频率响应：

$$H(e^{j\omega}) = \frac{0.1}{1 - 0.9,e^{-j\omega}}$$

Python 验证：

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import numpy as np
from scipy.signal import freqz
import matplotlib.pyplot as plt

b = [0.1]       # 分子系数
a = [1, -0.9]   # 分母系数

w, h = freqz(b, a, worN=1024)

plt.figure(figsize=(10, 4))
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(w / np.pi, 20 * np.log10(np.abs(h)))
plt.title('幅频响应 (Magnitude Response)')
plt.xlabel('归一化频率 (×π rad/sample)')
plt.ylabel('幅度 (dB)')

plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(w / np.pi, np.angle(h))
plt.title('相频响应 (Phase Response)')
plt.xlabel('归一化频率 (×π rad/sample)')
plt.ylabel('相位 (rad)')
plt.tight_layout()
plt.show()

9.8.3 极零点分析伪代码

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# 绘制极零点图
H_z = 分子/分母 多项式
zeros = 分子根
poles = 分母根

在 z 平面上画单位圆
标注 zeros 为 ○，poles 为 ×

# 判断稳定性
if all(|p| < 1 for p in poles) and 系统因果:
    print("系统稳定")
else:
    print("系统不稳定")

9.9 本章小结

概念	要点
Z 变换	离散时间信号的频域分析工具，$z = e^{sT}$
ROC	变换对的一部分，决定逆变换的唯一性
系统函数 $H(z)$	差分方程 → 代数方程的桥梁
稳定性	因果系统：所有极点在单位圆内
卷积定理	时域卷积 = z 域乘积

flowchart TB
    subgraph 连续时间
        L[拉普拉斯变换] --> LS[s 平面分析]
        LS --> LH[左半平面 = 稳定]
    end
    subgraph 离散时间
        Z[Z 变换] --> ZP[z 平面分析]
        ZP --> ZC[单位圆内 = 稳定]
    end
    L -.->|z = e^{sT}| Z
    LS -.->|映射| ZP
    LH -.->|对应| ZC

下一步： 在第 10 章中，我们将利用 Z 变换的工具，深入讨论数字滤波器设计方法，包括 FIR 和 IIR 滤波器的系统设计流程。

参考工具：

Python：scipy.signal.freqz、scipy.signal.tf2zpk、scipy.signal.residuez
MATLAB：freqz、zplane、residuez
符号计算：sympy 的 Z 变换模块 sympy.discrete.transforms.ztransform

第 9 章：Z 变换 / Z-Transform#

9.1 为什么需要 Z 变换？#

从拉普拉斯到 Z 变换的桥梁#

9.2 收敛域（Region of Convergence, ROC）#

ROC 的三种典型情形#

9.3 常用 Z 变换对#

9.4 Z 变换的基本性质#

9.4.1 线性（Linearity）#

9.4.2 时移性质（Time Shifting）#

9.4.3 z 域缩放（Scaling in z-Domain）#

9.4.4 时间反转（Time Reversal）#

9.4.5 卷积定理（Convolution Theorem）#

9.4.6 初值定理（Initial Value Theorem）#

9.4.7 终值定理（Final Value Theorem）#

9.5 逆 Z 变换（Inverse Z-Transform）#

9.5.1 幂级数展开法（长除法）#

9.5.2 部分分式展开法#

9.6 系统函数 $H(z)$#

9.6.1 定义#

9.6.2 差分方程与系统函数#

9.6.3 极零点图（Pole-Zero Plot）#

9.6.4 稳定性判据#

9.7 s 平面到 z 平面的映射#

9.8 工程应用#

9.8.1 数字滤波器设计#

9.8.2 从差分方程到频率响应#

9.8.3 极零点分析伪代码#

9.9 本章小结#