第 3 章：幅度调制 / Amplitude Modulation

3.1 为什么需要调制？

假设你要用语音信号（基带频率 300 Hz ~ 3.4 kHz）直接通过天线发射电磁波。根据天线设计原则，天线长度应约为波长的 $\lambda/4$。对于 $f = 1\text{ kHz}$：

$$\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8}{10^3} = 300\text{ km}$$

这意味着你需要一根 75 km 长的天线——完全不现实。

调制约束了三个核心工程需求：

flowchart LR
    A["基带信号 m(t)
300Hz~3.4kHz"] -->|调制| B["已调信号 s(t)
载频 fc 附近"]
    C["载波 cos 2πfct"] -->|调制| B
    B -->|信道传输| D["接收端"]
    D -->|解调| E["恢复 m(t)"]
    style A fill:#1565C0,color:#fff
    style B fill:#0D47A1,color:#fff
    style C fill:#1976D2,color:#fff
    style D fill:#1565C0,color:#fff
    style E fill:#0D47A1,color:#fff

3.2 频域分析基础

调制的本质是频谱搬移。设基带信号 $m(t)$ 的频谱为 $M(f)$，载波为 $c(t) = A_c \cos(2\pi f_c t)$。

由傅里叶变换的调制性质：

$$\mathcal{F}{m(t) \cos(2\pi f_c t)} = \frac{1}{2}M(f - f_c) + \frac{1}{2}M(f + f_c)$$

基带频谱以 $f_c$ 为中心被复制到正负两侧，形成上边带 (USB) 和下边带 (LSB)。

3.3 常规调幅 (Standard AM)

3.3.1 表达式

$$s(t) = [A_c + m(t)] \cos(2\pi f_c t) = A_c[1 + m_a \cdot m_n(t)] \cos(2\pi f_c t)$$

其中 $m_a$ 为调幅系数 (Modulation Index)，$m_n(t)$ 为归一化基带信号（$|m_n(t)| \leq 1$）。

3.3.2 调幅系数与过调制

• 正常调制：$m_a \leq 1$，包络不反转
• 过调制 (Overmodulation)：$m_a > 1$，$A_c + m(t)$ 出现负值，包络检波时信号严重失真

$$m_a = \frac{\max|m(t)|}{A_c}$$

3.3.3 功率分析

载波功率：

$$P_c = \frac{A_c^2}{2}$$

边带功率（单音调制 $m(t) = A_m \cos(2\pi f_m t)$）：

$$P_{SB} = \frac{A_m^2}{4} = \frac{m_a^2 A_c^2}{4}$$

功率效率 (Power Efficiency)：

$$\eta = \frac{P_{SB}}{P_{total}} = \frac{m_a^2}{2 + m_a^2} \times 100%$$

当 $m_a = 1$（满调制）时，$\eta \approx 33.3%$。超过三分之二的功率浪费在不携带信息的载波上。

3.3.4 伪代码：AM 调制器

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def am_modulate(m_t, Ac, fc, fs, duration):
    """Standard AM 调制"""
    t = np.arange(0, duration, 1/fs)
    ma = np.max(np.abs(m_t)) / Ac  # 调幅系数
    assert ma <= 1.0, f"过调制! ma={ma:.2f}"
    s_t = Ac * (1 + m_t / Ac) * np.cos(2 * np.pi * fc * t)
    return s_t, ma

3.4 双边带抑制载波 (DSB-SC)

3.4.1 去掉载波

既然载波不携带信息，干脆不发：

$$s(t) = m(t) \cdot A_c \cos(2\pi f_c t)$$

频谱与 AM 相同，但没有载波冲激分量（$\pm f_c$ 处的 $\delta$ 函数消失）。

3.4.2 相干解调 (Coherent Demodulation)

DSB-SC 必须使用相干解调：接收端产生一个与载波同频同相的本地振荡信号。

$$s(t) \cdot \cos(2\pi f_c t) = m(t) \cdot A_c \cos^2(2\pi f_c t) = \frac{A_c}{2} m(t)[1 + \cos(4\pi f_c t)]$$

经低通滤波后恢复 $\frac{A_c}{2} m(t)$。

相位误差的影响：若本地振荡为 $\cos(2\pi f_c t + \phi)$，输出幅度衰减为 $\cos\phi$；当 $\phi = 90°$ 时，输出为零。

3.4.3 功率效率

DSB-SC 的功率效率 $\eta = 100%$——所有功率都用于传输有用信息。

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def dsb_sc_modulate(m_t, Ac, fc, fs, duration):
    """DSB-SC 调制"""
    t = np.arange(0, duration, 1/fs)
    s_t = Ac * m_t * np.cos(2 * np.pi * fc * t)
    return s_t

def coherent_demodulate(s_t, fc, fs):
    """相干解调 + 低通滤波"""
    t = np.arange(len(s_t)) / fs
    multiplied = 2 * s_t * np.cos(2 * np.pi * fc * t)
    # 低通滤波：截止频率 < fc，保留基带
    m_recovered = lowpass_filter(multiplied, cutoff=fc*0.5, fs=fs)
    return m_recovered

3.5 单边带调制 (SSB)

DSB-SC 上下边带携带相同信息（互为镜像），只发一个就够了。带宽减半。

3.5.1 表达式

$$s_{\text{USB}}(t) = \frac{A_c}{2}\left[m(t)\cos(2\pi f_c t) - \hat{m}(t)\sin(2\pi f_c t)\right]$$

$$s_{\text{LSB}}(t) = \frac{A_c}{2}\left[m(t)\cos(2\pi f_c t) + \hat{m}(t)\sin(2\pi f_c t)\right]$$

其中 $\hat{m}(t)$ 是 $m(t)$ 的 Hilbert 变换（相移 $-90°$）。

3.5.2 实现方法

flowchart TB
    subgraph sg0["滤波法 (Filter Method)"]
        A1["m(t)"] --> B1["DSB-SC 乘法器"]
        C1["cos 2πfct"] --> B1
        B1 --> D1["边带滤波器
USB: 高通
LSB: 低通"]
        D1 --> E1["SSB 输出"]
    end
    subgraph sg1["相移法 (Phase-Shift Method)"]
        A2["m(t)"] --> B2["×cos 2πfct"]
        A2 --> C2["Hilbert 变换
相移 -90°"]
        C2 --> D2["×sin 2πfct"]
        B2 --> E2["相减(USB)
相加(LSB)"]
        D2 --> E2
        E2 --> F2["SSB 输出"]
    end
    style A1 fill:#1565C0,color:#fff
    style A2 fill:#1565C0,color:#fff
    style E1 fill:#0D47A1,color:#fff
    style F2 fill:#0D47A1,color:#fff

滤波法简单直观，但需要极陡峭的滤波器（当 $f_c$ 很大、边带间隔很小时）。

相移法避免了陡峭滤波器，但需要宽带 $-90°$ 相移网络（对语音信号约 300 Hz ~ 3.4 kHz 全频段精确相移），工程难度也不小。

3.5.3 伪代码

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def ssb_modulate(m_t, Ac, fc, fs, side='USB'):
    """SSB 相移法调制"""
    t = np.arange(len(m_t)) / fs
    m_hat = hilbert_transform(m_t)  # Hilbert 变换
    if side == 'USB':
        s_t = (Ac/2) * (m_t * np.cos(2*np.pi*fc*t)
              - m_hat * np.sin(2*np.pi*fc*t))
    else:  # LSB
        s_t = (Ac/2) * (m_t * np.cos(2*np.pi*fc*t)
              + m_hat * np.sin(2*np.pi*fc*t))
    return s_t

3.6 残留边带调制 (VSB)

3.6.1 工程动机

SSB 的滤波器要求过于苛刻，特别是当基带信号含低频分量和直流分量时（如电视图像信号 0 ~ 6 MHz），完全滤除一个边带几乎不可能。

VSB 是 AM 和 SSB 的折中：发送一个完整边带 + 另一个边带的"残留"部分。

3.6.2 电视信号应用

模拟电视图像信号带宽约 6 MHz。如果用 DSB，需 12 MHz 带宽；用 SSB，低频分量丢失导致图像失真。VSB 方案：

• 传送完整的上边带 (5.5 MHz)
• 保留下边带的 0.75 MHz 残留部分
• 总带宽约 7.25 MHz（含残留过渡带），远小于 DSB 的 12 MHz

VSB 滤波器的过渡带必须满足互补对称条件，确保解调后基带频谱无失真：

$$H_V(f - f_c) + H_V(f + f_c) = \text{常数}, \quad |f| \leq W$$

3.7 解调方式

3.7.1 包络检波 (Envelope Detector)

适用于 Standard AM（$m_a \leq 1$）。电路极简：二极管 + RC 低通。

flowchart LR
    A["AM 信号"] --> B["二极管整流"]
    B --> C["RC 低通滤波"]
    C --> D["包络 = m(t)+直流"]
    D --> E["隔直电容"]
    E --> F["恢复 m(t)"]
    style A fill:#1565C0,color:#fff
    style F fill:#0D47A1,color:#fff

RC 时间常数选择：$\frac{1}{f_m} \ll RC \ll \frac{1}{f_c}$。太大则跟不上包络变化（对角削波失真），太小则残留载波纹波。

3.7.2 相干解调与 Costas 环

DSB-SC 和 SSB 必须使用相干解调，核心难题是载波同步——本地振荡器必须与发送端载波精确同频同相。

Costas 环 (Costas Loop) 是经典的载波恢复电路：

flowchart TB
    A["接收信号 s(t)"] --> B["I 路乘法器
× cos(2πfct+θ)"]
    A --> C["Q 路乘法器
× -sin(2πfct+θ)"]
    B --> D["LPF → I(t)"]
    C --> E["LPF → Q(t)"]
    D --> F["误差鉴相器
I(t) × Q(t)"]
    E --> F
    F --> G["环路滤波器"]
    G --> H["VCO
调整相位 θ"]
    H --> B
    H --> C
    style A fill:#1565C0,color:#fff
    style F fill:#C62828,color:#fff
    style H fill:#0D47A1,color:#fff

工作原理：当相位误差 $\theta \neq 0$ 时，$I(t) \times Q(t)$ 产生非零误差信号，驱动 VCO 调整相位直至 $\theta \to 0$（锁定）。

3.8 各种 AM 体制对比

$W$ 为基带信号带宽。

3.9 小结

幅度调制家族的核心思想是通过乘以载波实现频谱搬移。从 Standard AM 到 DSB-SC，再到 SSB 和 VSB，每一步演进都围绕着同一个工程目标：在传输效率、实现复杂度和信号质量之间找到最佳平衡。

• AM 简单廉价，适合大众广播
• DSB-SC 去掉了载波浪费，但需要相干解调
• SSB 将带宽压缩到极限，是频谱资源紧张场景的首选
• VSB 在电视等宽带信号中找到实用的折中方案

理解幅度调制，是理解所有模拟调制乃至数字调制（ASK、QAM）的基石。

关键术语表：