第 6 章数字基带传输 / Digital Baseband Transmission

6.1 概述

数字基带传输（Digital Baseband Transmission）是指将数字信号不经载波调制，直接在信道中传输的方式。虽然实际工程中大多数长途通信采用调制（Modulation）技术，但基带传输是理解一切数字通信系统的基石——无论后续如何调制，最终在接收端都要回归基带处理。

典型应用场景：

局域网（Ethernet 100BASE-T、1000BASE-T）
数字用户线（DSL/xDSL）
光纤直连短距通信
芯片间高速串行链路（SerDes）

6.2 数字基带信号波形与码型

6.2.1 基本波形

数字基带信号的核心问题：如何用物理波形表示离散的 0 和 1。

码型	说明	带宽效率	直流分量	工程适用
NRZ-L（Non-Return-to-Zero Level）	高电平=1，低电平=0	高	有	短距、时钟独立
NRZ-M（NRZ Mark）	电平跳变=1，不变=0	高	有	磁带记录
RZ（Return-to-Zero）	1 为半周期高电平后归零	中	有	便于时钟提取
AMI（Alternate Mark Inversion）	1 交替取 +A/-A，0 为零	中	无	T1/E1 数字中继
Manchester（曼彻斯特）	1→高到低跳变，0→低到高跳变	低（2×NRZ）	无	Ethernet 10BASE-T
HDB3（High Density Bipolar 3）	AMI 改进，连零≤3	中	无	E1 一次群

6.2.2 码型选择原则

从工程视角，码型选择需平衡以下要素：

$$ R_b = \frac{1}{T_b} $$

其中 $R_b$ 为比特速率（Bit Rate），$T_b$ 为比特周期。

功率谱密度（PSD）分析： 不同码型的功率谱形状直接决定带宽需求。NRZ 的主瓣宽度为 $R_b$，Manchester 则为 $2R_b$，以带宽换直流平衡和自同步能力。

6.3 码间串扰（ISI）与奈奎斯特准则

6.3.1 ISI 的成因

实际信道带宽有限，发送的脉冲经过信道后必然展宽。当脉冲展宽超出一个码元周期 $T_s$ 时，相邻码元互相叠加——这就是码间串扰（Inter-Symbol Interference, ISI）。

数学描述：接收端第 $n$ 个码元时刻的采样值为

$$ y(nT_s) = a_n h(0) + \sum_{k \neq n} a_k h\big((n-k)T_s\big) + w(nT_s) $$

其中：

$a_n$ — 第 $n$ 个发送符号
$h(t)$ — 系统冲激响应
$w(nT_s)$ — 加性噪声

第二项即为 ISI 分量。当 $h(kT_s) = 0;(k \neq 0)$ 时，ISI 为零。

6.3.2 奈奎斯特第一准则（零 ISI 条件）

无 ISI 的充要条件——奈奎斯特第一准则（Nyquist First Criterion）：

$$ \sum_{k=-\infty}^{+\infty} H!\left(f - \frac{k}{T_s}\right) = T_s, \quad |f| \leq \frac{1}{2T_s} $$

物理含义：系统等效传递函数在频率轴上以 $1/T_s$ 为周期搬移叠加后，在 $|f| \leq 1/(2T_s)$ 范围内应为常数 $T_s$。

升余弦滚降滤波器（Raised Cosine Filter） 是最常用的满足该准则的工程实现：

$$ H(f) = \begin{cases} T_s, & |f| \leq \frac{1-\alpha}{2T_s} \[6pt] \dfrac{T_s}{2}\left[1 + \cos!\left(\dfrac{\pi T_s}{\alpha}\Big(|f| - \dfrac{1-\alpha}{2T_s}\Big)\right)\right], & \dfrac{1-\alpha}{2T_s} < |f| \leq \dfrac{1+\alpha}{2T_s} \[6pt] 0, & |f| > \dfrac{1+\alpha}{2T_s} \end{cases} $$

其中 $\alpha$ 为滚降因子（Roll-off Factor），取值 $0 \leq \alpha \leq 1$。

$\alpha = 0$：理想低通，带宽最窄 = $R_s/2$，但不可实现（冲激响应衰减慢）
$\alpha = 1$：最平滑，带宽 = $R_s$，时域衰减最快
工程常用 $\alpha = 0.35 \sim 0.5$

flowchart TD
    A["发送符号 a_n"] --> B["成型滤波
Tx Shaping Filter"]
    B --> C["信道 Channel
H_ch(f)"]
    C --> D["匹配滤波
Rx Matched Filter"]
    D --> E["采样器
Sampler @ T_s"]
    E --> F{"h(kT_s)=0
k≠0?"}
    F -- "Yes" --> G["无 ISI 判决"]
    F -- "No" --> H["ISI 存在
→ 均衡器"]
    H --> I["时域均衡
FFE / DFE"]
    I --> G

6.4 部分响应系统

完全消除 ISI 需要理想滤波器，物理不可实现。部分响应（Partial Response / Correlative Coding） 技术有意引入可控的 ISI，以换取可实现性和带宽效率。

6.4.1 第 I 类部分响应（双二进制，Duobinary）

编码规则：

$$ b_n = a_n + a_{n-1} $$

发送端的预编码（Precoding）避免错误传播：

$$ d_n = a_n \oplus d_{n-1} $$

优势： 以 $R_s/2$ 的最小带宽传输，$\alpha = 0$ 时可实现，代价是接收端需处理三电平（-2, 0, +2）判决。

6.4.2 第 IV 类部分响应（Modified Duobinary）

$$ b_n = a_n - a_{n-2} $$

无直流分量，适合交流耦合信道。

6.5 PCM 脉冲编码调制

PCM（Pulse Code Modulation）是模拟信号数字化最基本的方法，也是数字基带传输的前端核心模块。国际电信联盟 G.711 标准即基于 PCM。

6.5.1 PCM 三步流程

flowchart LR
    A["模拟信号
s(t)"] -->|采样| B["PAM 信号
s(nTs)"]
    B -->|量化| C["量化样值
sq(nTs)"]
    C -->|编码| D["PCM 码流
{b_n}"]

1. 采样（Sampling）

依据奈奎斯特采样定理：

$$ f_s \geq 2 f_{\max} $$

电话语音信号带宽约 3.4 kHz，标准采样率 $f_s = 8000$ Hz，略高于 $2 \times 3400 = 6800$ Hz。

2. 量化（Quantization）

将连续幅值映射到有限离散级别。均匀量化的量化台阶：

$$ \Delta = \frac{V_{pp}}{L} $$

其中 $V_{pp}$ 为信号峰峰值，$L = 2^n$ 为量化级数（$n$ 为每样值比特数）。

量化噪声功率：

$$ \sigma_q^2 = \frac{\Delta^2}{12} $$

量化信噪比（SQNR）：

$$ \text{SQNR}_{\text{uniform}} = 6.02n + 1.76 ;\text{dB} $$

每增加 1 bit 编码精度，SQNR 提升约 6 dB。

6.5.2 非均匀量化 — A 律与 μ 律

语音信号小幅度概率高，均匀量化在大信号时信噪比过高而小信号时不足。工程上采用压缩扩张（Companding） 技术：

μ 律（北美/日本）： G.711 μ = 255
A 律（欧洲/中国）： G.711 A = 87.6

A 律压缩特性：

$$ y = \begin{cases} \dfrac{Ax}{1 + \ln A}, & 0 \leq x \leq \dfrac{1}{A} \[8pt] \dfrac{1 + \ln(Ax)}{1 + \ln A}, & \dfrac{1}{A} < x \leq 1 \end{cases} $$

A 律 13 折线近似将 8 bit PCM 划分为：1 bit 极性 + 3 bit 段落 + 4 bit 段内电平。

工程意义： A 律/μ 律 PCM 可在 40 dB 动态范围内保持约 38 dB 的 SQNR，远优于 8 bit 线性 PCM 对小信号的 1.76 dB。

6.5.3 PCM 比特率计算

$$ R_b = f_s \times n = 8000 \times 8 = 64 ;\text{kbit/s} $$

G.711 PCM 每话路 64 kbit/s，是数字交换的基本单位（DS0）。

6.6 基带传输系统建模

6.6.1 等效离散模型

将发送滤波器、信道、接收滤波器等效为一个离散时间线性系统：

$$ y[n] = \sum_{k=0}^{N-1} h[k] , x[n-k] + w[n] $$

用矩阵表示（观测窗口 $M$ 个符号，信道记忆 $L$ 阶）：

$$ \mathbf{y} = \mathbf{H} \mathbf{x} + \mathbf{w} $$

其中 $\mathbf{H}$ 为 $M \times (M+L)$ 的 Toeplitz 卷积矩阵：

$$ \mathbf{H} = \begin{bmatrix} h[0] & h[1] & \cdots & h[L] & 0 & \cdots & 0 \ 0 & h[0] & h[1] & \cdots & h[L] & \cdots & 0 \ \vdots & & \ddots & & & \ddots & \vdots \ 0 & \cdots & 0 & h[0] & h[1] & \cdots & h[L] \end{bmatrix} $$

频域表示：

$$ Y(e^{j\omega}) = H(e^{j\omega}) \cdot X(e^{j\omega}) + W(e^{j\omega}) $$

6.6.2 眼图（Eye Diagram）

工程调试中，眼图是评估基带信号质量最直观的工具：将接收信号以 $T_s$ 为周期叠加在示波器上。

眼睛张开度 → 反映噪声容限和 ISI 程度
交叉点抖动 → 反映定时灵敏度
斜率 → 反映对采样时刻偏差的敏感度

6.7 时域均衡

当信道特性不理想导致 ISI 时，需在接收端加入均衡器（Equalizer） 消除或减轻 ISI。

6.7.1 线性横向均衡器（FFE）

最基本的结构为前馈横向滤波器（Feed-Forward Equalizer, FFE），抽头系数 ${c_k}$：

$$ \hat{x}[n] = \sum_{k=-K}^{K} c_k , y[n-k] $$

均衡后系统等效冲激响应应尽量接近单位脉冲：

$$ h_{eq}[k] = \sum_{m} c_m , h[k-m] \approx \begin{cases} 1, & k = 0 \ 0, & k \neq 0 \end{cases} $$

迫零准则（Zero-Forcing, ZF）： 令 ISI 项精确为零，求解线性方程组。缺点是可能放大噪声。

MMSE 准则（Minimum Mean Square Error）： 最小化：

$$ J = E\left[\big|\hat{x}[n] - x[n]\big|^2\right] $$

最优抽头系数由正则方程（Wiener-Hopf）给出：

$$ \mathbf{c}_{\text{opt}} = \mathbf{R}^{-1} \mathbf{p} $$

其中 $\mathbf{R} = E[\mathbf{y}\mathbf{y}^H]$ 为接收信号自相关矩阵，$\mathbf{p} = E[\mathbf{y}x^*]$ 为互相关向量。

6.7.2 判决反馈均衡器（DFE）

利用已判决的符号消除后向 ISI：

$$ \hat{x}[n] = \underbrace{\sum_{k=-K_1}^{0} c_k , y[n-k]}{\text{前馈（FFE）}} - \underbrace{\sum{k=1}^{K_2} b_k , \hat{x}[n-k]}_{\text{反馈（FBE）}} $$

flowchart LR
    Y["y(n)
接收信号"] --> FFE["FFE 前馈
滤波器"]
    FFE --> SUM(("⊕"))
    SUM --> DEC["判决器
Slicer"]
    DEC --> XHAT["x̂(n)
输出"]
    DEC -->|"反馈"| FBE["FBE 反馈
滤波器"]
    FBE -->|"-"| SUM

DFE 不放大前向噪声（因为后向 ISI 已被减去），但存在错误传播（Error Propagation） 风险——一次判决错误会影响后续多个符号。

6.7.3 自适应均衡

实际信道时变，需自适应更新抽头系数。最经典的算法：

LMS（Least Mean Square）：

$$ \mathbf{c}[n+1] = \mathbf{c}[n] + \mu , e[n] , \mathbf{y}^*[n] $$

其中 $e[n] = x[n] - \hat{x}[n]$ 为误差，$\mu$ 为步长因子。

对比项	LMS	RLS
收敛速度	慢（与特征值扩展有关）	快（约 2N 次迭代）
计算复杂度	$O(N)$	$O(N^2)$
稳态误差	较高	较低
数值稳定性	好	需注意
工程应用	大多数场景	快时变信道

6.8 误码率分析

6.8.1 AWGN 信道下的误码率

对于双极性 NRZ（+A/-A），在 AWGN 信道下的误比特率（BER）：

$$ P_b = Q!\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right) $$

对于单极性 NRZ（0/+A）：

$$ P_b = Q!\left(\sqrt{\frac{E_b}{N_0}}\right) $$

双极性比单极性有 3 dB 优势。其中 $Q(x)$ 函数：

$$ Q(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_x^{+\infty} e^{-t^2/2} , dt $$

6.8.2 典型信噪比参考值

目标 BER	所需 $E_b/N_0$（双极性）	应用场景
$10^{-3}$	~6.8 dB	语音通信
$10^{-4}$	~8.4 dB	数据传输（一般）
$10^{-5}$	~9.6 dB	数据传输（可靠）
$10^{-6}$	~10.5 dB	工业级链路
$10^{-9}$	~12.0 dB	光纤/高可靠链路

6.8.3 ISI 对误码率的影响

存在 ISI 时，等效信噪比恶化（Degradation）：

$$ \text{SNR}{\text{eff}} = \frac{|h[0]|^2 E_s}{\displaystyle\sum{k \neq 0} |h[k]|^2 E_s + N_0} $$

若 ISI 功率与噪声功率可比拟，误码率将显著恶化。这正是均衡器存在的工程意义。

6.9 扰码与同步

6.9.1 扰码器（Scrambler）

长连 0 或长连 1 会导致：

定时提取困难（无电平跳变）
发射功率谱出现离散谱线（EMI 问题）

采用扰码器将数据随机化。最常用的为线性反馈移位寄存器（LFSR）扰码：

$$ y[n] = x[n] \oplus y[n-3] \oplus y[n-5] $$

（本原多项式 $x^5 + x^3 + 1$ 的示例）

6.9.2 符号同步（Symbol Timing Recovery）

接收端需确定最佳采样时刻。常用方法：

早迟门同步器（Early-Late Gate）
Gardner 算法（每符号仅需 2 个采样点，无需判决反馈）
Mueller-Müller 算法（需要判决反馈，但仅需 1 采样/符号）

6.10 本章小结

知识点	核心公式/概念	工程要点
码型选择	NRZ / AMI / HDB3 / Manchester	带宽 vs 直流 vs 自同步三者权衡
无 ISI 条件	奈奎斯特第一准则	升余弦滤波器，滚降因子 α 的工程折中
部分响应	双二进制 $b_n = a_n + a_{n-1}$	可控 ISI 换取带宽效率
PCM	SQNR = 6.02n + 1.76 dB	A 律/μ 律压缩，64 kbit/s/路
时域均衡	ZF / MMSE / DFE / LMS	实际系统必配，自适应跟踪时变信道
误码率	$P_b = Q(\sqrt{2E_b/N_0})$	ISI 使等效 SNR 恶化，均衡可补偿

关键工程认知： 基带传输不是一个孤立的理论问题——码型选择影响均衡复杂度，滚降因子决定带宽效率与实现难度的平衡，PCM 量化精度与压缩律决定语音质量。优秀的通信工程师在系统设计时需要同时考虑这五个维度的交互影响。

下一章预告： 第 7 章将讨论数字频带传输（Digital Bandpass Modulation），包括 ASK、FSK、PSK、QAM 等调制方式及其在带通信道中的性能分析。

第 6 章 数字基带传输 / Digital Baseband Transmission#

6.1 概述#

6.2 数字基带信号波形与码型#

6.2.1 基本波形#

6.2.2 码型选择原则#

6.3 码间串扰（ISI）与奈奎斯特准则#

6.3.1 ISI 的成因#

6.3.2 奈奎斯特第一准则（零 ISI 条件）#

6.4 部分响应系统#

6.4.1 第 I 类部分响应（双二进制，Duobinary）#

6.4.2 第 IV 类部分响应（Modified Duobinary）#

6.5 PCM 脉冲编码调制#

6.5.1 PCM 三步流程#

6.5.2 非均匀量化 — A 律与 μ 律#

6.5.3 PCM 比特率计算#

6.6 基带传输系统建模#

6.6.1 等效离散模型#

6.6.2 眼图（Eye Diagram）#

6.7 时域均衡#

6.7.1 线性横向均衡器（FFE）#

6.7.2 判决反馈均衡器（DFE）#

6.7.3 自适应均衡#

6.8 误码率分析#

6.8.1 AWGN 信道下的误码率#

6.8.2 典型信噪比参考值#

6.8.3 ISI 对误码率的影响#

6.9 扰码与同步#

6.9.1 扰码器（Scrambler）#

6.9.2 符号同步（Symbol Timing Recovery）#

6.10 本章小结#