第 7 章数字通带调制 / Digital Passband Modulation

7.1 概述

数字基带信号（Digital Baseband Signal）含有丰富的低频分量，无法直接在无线信道或带通信道中传输。数字通带调制的核心任务是：将基带比特流映射到高频载波上，使之适配实际信道的频带特性。

通带调制的基本模型为：

$$s(t) = A(t)\cos!\bigl(2\pi f_c t + \varphi(t)\bigr)$$

其中 $A(t)$ 携带幅度信息（ASK / MASK），$f_c$ 附近的瞬时频率偏移携带频率信息（FSK / MFSK），$\varphi(t)$ 携带相位信息（PSK / MPSK）。工程中更常用的正交表示（Quadrature Representation）为：

$$s(t) = I(t)\cos(2\pi f_c t) - Q(t)\sin(2\pi f_c t)$$

$I(t)$、$Q(t)$ 分别为同相（In-phase）和正交（Quadrature）基带分量，这一形式是所有现代调制的统一框架。

flowchart TB
    A["比特流 {b_k}"] --> B["符号映射
Symbol Mapping"]
    B --> C["基带成型
Pulse Shaping"]
    C --> D["IQ 调制
Quadrature Modulator"]
    D --> E["通带信号 s(t)"]
    E --> F["信道"]
    F --> G["IQ 解调
Quadrature Demodulator"]
    G --> H["判决 / 解码"]
    H --> I["恢复比特流"]

7.2 幅移键控 ASK

7.2.1 二进制 OOK

开关键控（On-Off Keying, OOK）是最简单的 ASK 形式：

$$s(t) = \begin{cases} A\cos(2\pi f_c t), & b_k = 1 \ 0, & b_k = 0 \end{cases}$$

OOK 的功率谱密度以载波 $f_c$ 为中心，主瓣带宽为 $2R_s$（$R_s$ 为符号速率）。频谱效率较低，且对信道衰落敏感——“0"符号期间发射机关闭，接收端需精确的门限判决。

7.2.2 MASK 与频谱效率

将比特流每 $\log_2 M$ 位编为一组，映射到 $M$ 个幅度电平，即得 $M$-ASK：

$$s_k(t) = A_k,p(t)\cos(2\pi f_c t), \quad A_k \in {-(M-1),\ldots,-1,+1,\ldots,+(M-1)}\Delta$$

$\Delta$ 为相邻电平间距（Constellation Spacing）。$M$ 越大，每符号携带 $\log_2 M$ 比特，频谱效率提升，但星座点间距缩小，误码率（BER）恶化。

MASK 在 AWGN 信道下的误符号率近似为：

$$P_e \approx \frac{2(M-1)}{M},Q!\left(\sqrt{\frac{6,\gamma_{avg}}{M^2-1}}\right)$$

其中 $\gamma_{avg} = E_{avg}/N_0$ 为平均符号信噪比。

7.3 频移键控 FSK

7.3.1 BFSK

二进制频移键控用两个不同频率代表 “0” 和 “1”：

$$s(t) = \begin{cases} A\cos(2\pi f_1 t), & b_k = 1 \ A\cos(2\pi f_0 t), & b_k = 0 \end{cases}$$

两频率的最小间隔为 $\Delta f = f_1 - f_0$。当调频指数（Modulation Index）$h = \Delta f \cdot T_s = 0.5$ 时，得到最小频移键控 MSK（Minimum Shift Keying），此时两信号正交且带宽最窄。

7.3.2 GMSK — GSM 的选择

在 MSK 基础上对基带信号进行高斯低通滤波（Gaussian Filter），得到高斯最小频移键控（GMSK）。其优点：

恒包络（Constant Envelope）：功放可用 C 类（非线性但高效），效率达 60–70%
带外辐射低：相邻信道干扰（ACI）小
相干检测：支持相干/非相干解调

这正是 GSM 系统选择 GMSK 的工程原因——在 1990 年代的功放线性度条件下，恒包络调制是最佳折中。

7.3.3 FSK vs ASK：工程选择

思考题： FSK 和 ASK 哪个更适合实际系统？

答案指向 FSK，原因有三：

恒包络特性：FSK 不依赖幅度信息，对信道幅度衰落和功放非线性鲁棒
判决门限简单：非相干 FSK 只需能量比较，无需精确 AGC
抗干扰能力：窄带干扰通常只影响一个频点，FSK 的频率分集提供天然保护

ASK/OOK 虽然实现最简单，但仅用于光通信（如 IrDA）和低成本 RFID 等幅度信道较稳定的场景。

7.4 相移键控 PSK

7.4.1 BPSK 与 QPSK

BPSK（Binary PSK）将比特直接映射到载波相位：

$$s(t) = A\cos(2\pi f_c t + \pi \cdot b_k), \quad b_k \in {0, 1}$$

星座图上仅有两个点：$+1$ 和 $-1$（归一化后），间距最大，抗噪性能最优。

QPSK（Quadrature PSK）每次传输 2 比特，映射到 4 个相位：

$$s(t) = \frac{A}{\sqrt{2}}\bigl[\cos\varphi_k\cos(2\pi f_c t) - \sin\varphi_k\sin(2\pi f_c t)\bigr]$$

$$\varphi_k \in \left{\frac{\pi}{4},;\frac{3\pi}{4},;\frac{5\pi}{4},;\frac{7\pi}{4}\right}$$

QPSK 的频谱效率是 BPSK 的 2 倍（2 bit/s/Hz），而误码率相同——因为在相同 $E_b/N_0$ 下，星座点的欧氏距离不变：

$$d_{\min}^2 = 4E_b$$

这是 QPSK 成为通信系统"默认调制"的根本原因。

7.4.2 π/4-DQPSK

为避免 QPSK 中 $\pm\pi$ 的大相位跳变（导致功放谱再生），工程上采用 π/4-DQPSK：

$$\Delta\varphi_k \in \left{\frac{\pi}{4},;\frac{3\pi}{4},;\frac{5\pi}{4},;\frac{7\pi}{4}\right}$$

每次相位跳变不超过 $\pm 3\pi/4$，包络波动减小。该方案被用于 TETRA（欧洲数字集群）、PDC（日本移动通信）等系统。

7.4.3 8-PSK 与更高阶 PSK

8-PSK 每符号携带 3 比特，频谱效率进一步提升。但星座点间距缩小为：

$$d_{\min} = 2\sqrt{E_s},\sin\frac{\pi}{8} \approx 0.765\sqrt{E_s}$$

相比 QPSK 的 $d_{\min} = \sqrt{2E_s}$，距离损失约 3.6 dB。EDGE（Enhanced Data rates for GSM Evolution）使用 8-PSK 将 GSM 数据率提升至 384 kbps。

7.5 正交幅度调制 QAM

7.5.1 QAM 星座图

QAM 同时利用幅度和相位携带信息，是 PSK 的自然推广。16-QAM 星座图的归一化坐标为：

$$\mathcal{C} = \bigl{(I,Q) \mid I, Q \in {-3,-1,+1,+3}\bigr}$$

共 16 个点，每符号 4 比特，频谱效率 4 bit/s/Hz。

graph LR
    A["QAM 调制器"] --> B["比特分组
4 bit/symbol"]
    B --> C["I/Q 映射
Constellation Mapping"]
    C --> D["脉冲成型
Root Raised Cosine"]
    D --> E["上变频
Upconversion"]

16-QAM 在 AWGN 下的误符号率近似为：

$$P_e \approx 3,Q!\left(\sqrt{\frac{\gamma_s}{5}}\right)$$

7.5.2 64-QAM 与 256-QAM

更高阶 QAM 进一步提升频谱效率：

调制方式	比特/符号	频谱效率	典型应用
QPSK	2	2 bit/s/Hz	控制信道、远距离
16-QAM	4	4 bit/s/Hz	Wi-Fi 802.11a/g
64-QAM	6	6 bit/s/Hz	LTE、Wi-Fi 5
256-QAM	8	8 bit/s/Hz	LTE-A Pro、Wi-Fi 6
1024-QAM	10	10 bit/s/Hz	Wi-Fi 7、5G NR

高阶 QAM 要求更高的 SNR——256-QAM 约需 30 dB 以上，1024-QAM 更需 37 dB 以上。这就是为什么高阶调制只在信道条件良好（短距离、视距、低干扰）时使用。

7.5.3 星座映射与 Gray 编码

实际系统中星座点采用 Gray 编码（Gray Coding）：相邻星座点仅相差 1 比特。这样当噪声导致判决到相邻点时，只产生 1 bit 错误，最小化误比特率。

Gray 映射规则：对于 $M = 2^m$-QAM，将 $m$ 位二进制码分配到 $I$ 轴和 $Q$ 轴，使每轴上相邻电平仅差 1 位。

7.5.4 APSK — 卫星通信的选择

振幅相移键控（Amplitude Phase Shift Keying, APSK）将星座点分布在同心圆上。例如 16-APSK：

内环：4 个点，半径 $R_1$
外环：12 个点，半径 $R_2$

环半径比 $\gamma = R_2/R_1$ 是关键设计参数。APSK 的优势在于对非线性功放（如卫星行波管放大器 TWTA）的鲁棒性——相比矩形 QAM，APSK 的包络波动更小，经过非线性放大后星座畸变更小。DVB-S2 标准采用 16-APSK 和 32-APSK。

7.6 调制方式比较与选择

flowchart TD
    A["调制方式选择"] --> B{"信道质量 SNR"}
    B -->|"低 SNR
< 10 dB"| C["BPSK / QPSK"]
    B -->|"中 SNR
10-20 dB"| D["16-QAM / 64-QAM"]
    B -->|"高 SNR
> 20 dB"| E["256-QAM / 1024-QAM"]
    A --> F{"功放线性度"}
    F -->|"非线性
C类功放"| G["恒包络
GMSK / π/4-DQPSK"]
    F -->|"线性
A/AB类"| H["任意 QAM"]
    A --> I{"移动性"}
    I -->|"高速移动"| J["抗衰落
DPSK / OFDM"]
    I -->|"静止/慢速"| K["高阶 QAM"]

链路预算（Link Budget）是选择调制方式的工程依据：

$$P_{rx} = P_{tx} + G_{tx} + G_{rx} - L_{path} - L_{misc} \quad \text{[dB]}$$

接收端所需的 $E_b/N_0$ 由目标 BER 和调制方式决定。将 $P_{rx}$ 转换为 $E_b/N_0$：

$$\frac{E_b}{N_0} = \frac{P_{rx}}{N_0 \cdot R_b} = \frac{P_{rx}}{kT \cdot B \cdot R_b}$$

其中 $k$ 为玻尔兹曼常数（$1.38\times10^{-23}$ J/K），$T$ 为等效噪声温度，$R_b$ 为比特率。

7.7 正交频分复用 OFDM

7.7.1 基本原理

OFDM（Orthogonal Frequency Division Multiplexing）将高速串行数据流分成 $N$ 路低速并行数据流，分别调制在 $N$ 个正交子载波上：

$$s(t) = \sum_{k=0}^{N-1} X_k , e^{j2\pi f_k t}, \quad f_k = f_0 + k\Delta f$$

子载波间隔 $\Delta f = 1/T_s$（$T_s$ 为 OFDM 符号周期），此时子载波间严格正交：

$$\int_0^{T_s} e^{j2\pi f_k t} \cdot e^{-j2\pi f_l t},dt = \delta[k-l]$$

7.7.2 IFFT/FFT 实现

OFDM 的关键工程创新是用 IFFT/FFT 替代 $N$ 个振荡器：

$$s[n] = \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{k=0}^{N-1} X_k , e^{j2\pi kn/N}, \quad n = 0,1,\ldots,N-1$$

这恰好是 $X_k$ 的 IDFT。发射端用 IFFT 生成时域采样，接收端用 FFT 恢复频域符号。计算复杂度从 $O(N^2)$ 降至 $O(N\log N)$。

flowchart LR
    A["比特流"] --> B["QAM 映射"]
    B --> C["串并转换
S/P"]
    C --> D["IFFT"]
    D --> E["加 CP
Cyclic Prefix"]
    E --> F["并串转换
P/S"]
    F --> G["DAC + 上变频"]
    G --> H["信道"]
    H --> I["ADC + 下变频"]
    I --> J["S/P"]
    J --> K["去 CP"]
    K --> L["FFT"]
    L --> M["信道均衡
1-tap FEQ"]
    M --> N["QAM 判决"]
    N --> O["恢复比特流"]

7.7.3 循环前缀与抗多径

循环前缀（Cyclic Prefix, CP）是将 OFDM 符号末尾的 $L_{CP}$ 个采样复制到头部，总符号周期变为 $T_{sym} = T_s + T_{CP}$。CP 的作用：

消除符号间干扰（ISI）：只要 $T_{CP} > \tau_{\max}$（信道最大时延扩展）
保持正交性：将信道线性卷积转化为循环卷积
简化均衡：频域仅需单抽头（1-tap）均衡器 $Y_k = H_k X_k + W_k$

7.7.4 资源映射

OFDM 系统中，时间和频率被离散化为 资源单元（Resource Element, RE）：

时域：OFDM 符号索引 $n$
频域：子载波索引 $k$

多个 RE 组成资源块（Resource Block, RB）。系统通过资源映射（Resource Mapping）将数据、导频（Pilot）、控制信息分配到不同的 RE 上：

$$X[k, n] = \begin{cases} \text{Data}, & (k,n) \in \mathcal{D} \ \text{Pilot}, & (k,n) \in \mathcal{P} \ \text{Null}, & (k,n) \in \mathcal{N} \end{cases}$$

导频用于信道估计（Channel Estimation），零子载波（Null Subcarrier）用于带外抑制和直流消除。

7.7.5 OFDM 的广泛应用

OFDM 已成为现代通信的基石技术：

标准	子载波数	CP 长度	典型带宽	调制方式
Wi-Fi (802.11a/g)	64	16 samples	20 MHz	BPSK~64-QAM
LTE	2048 (max)	4.7/16.7 μs	1.4~20 MHz	QPSK~256-QAM
5G NR	4096 (max)	Flexible	5~400 MHz	QPSK~1024-QAM
DVB-T2	32768	多种	8 MHz	QPSK~256-QAM

5G NR 还引入了可变参数集（Numerology），支持不同子载波间隔（15/30/60/120/240 kHz），以灵活适配不同部署场景。

7.8 自适应调制与编码 AMC

实际无线信道随时间变化，固定调制方式无法同时兼顾效率和可靠性。自适应调制与编码（Adaptive Modulation and Coding, AMC）根据信道状态信息（CSI）动态选择调制阶数和编码速率：

flowchart TD
    A["UE 测量信道"] --> B["上报 CQI"]
    B --> C["eNB 选择 MCS"]
    C --> D["调度与资源分配"]
    D --> E["下行传输"]
    E --> A

CQI（Channel Quality Indicator）将宽带 SNR 量化为有限等级，eNB 据此选择调制编码方案（MCS Index）。例如 LTE 定义了 29 个 MCS 等级，从 QPSK + 1/3 码率到 64-QAM + 0.93 码率。

7.9 本章小结

调制	维度	比特/符号	恒包络	典型应用
BPSK	相位	1	✓	深空通信、GPS
QPSK	相位	2	✓	卫星、LTE 控制信道
π/4-DQPSK	差分相位	2	≈✓	TETRA、PDC
8-PSK	相位	3	✓	EDGE
16-QAM	幅度+相位	4	✗	Wi-Fi、LTE
64-QAM	幅度+相位	6	✗	LTE、Wi-Fi 5
256-QAM	幅度+相位	8	✗	Wi-Fi 6、5G NR
GMSK	频率	1	✓	GSM
OFDM	多载波	可变	✗	Wi-Fi/LTE/5G

核心原则：调制方式的选择是 频谱效率 vs 功率效率 vs 实现复杂度 的三维折中。没有"最优"调制——只有"最适合"的调制。

思考题

为什么卫星通信倾向使用 QPSK/8-PSK 而非高阶 QAM？
OFDM 系统中，CP 长度如何影响系统容量？如果 CP 过长或过短各有什么后果？
如果没有统一的调制方案，不同厂商的设备如何实现互操作？标准组织（3GPP、IEEE）在其中扮演什么角色？
5G NR 为什么引入多种子载波间隔？这对 OFDM 系统设计有什么影响？
从 Link Budget 角度分析：在相同发射功率下，QPSK 与 16-QAM 的覆盖范围差异有多大？

第 7 章 数字通带调制 / Digital Passband Modulation#

7.1 概述#

7.2 幅移键控 ASK#

7.2.1 二进制 OOK#

7.2.2 MASK 与频谱效率#

7.3 频移键控 FSK#

7.3.1 BFSK#

7.3.2 GMSK — GSM 的选择#

7.3.3 FSK vs ASK：工程选择#

7.4 相移键控 PSK#

7.4.1 BPSK 与 QPSK#

7.4.2 π/4-DQPSK#

7.4.3 8-PSK 与更高阶 PSK#

7.5 正交幅度调制 QAM#

7.5.1 QAM 星座图#

7.5.2 64-QAM 与 256-QAM#

7.5.3 星座映射与 Gray 编码#

7.5.4 APSK — 卫星通信的选择#

7.6 调制方式比较与选择#

7.7 正交频分复用 OFDM#

7.7.1 基本原理#

7.7.2 IFFT/FFT 实现#

7.7.3 循环前缀与抗多径#

7.7.4 资源映射#

7.7.5 OFDM 的广泛应用#

7.8 自适应调制与编码 AMC#

7.9 本章小结#

思考题#