第 4 章 角度调制 / Angle Modulation (FM & PM)

4.1 角度调制的基本概念

在幅度调制（AM, Amplitude Modulation）中，载波的幅度随消息信号变化；而在角度调制（Angle Modulation）中，载波幅度保持恒定，频率或相位随消息信号变化。角度调制分为两类：

  • 频率调制（FM, Frequency Modulation）：瞬时频率偏移与消息信号 $m(t)$ 成正比
  • 相位调制（PM, Phase Modulation）：瞬时相位偏移与消息信号 $m(t)$ 成正比

角度调制是一种非线性调制，其已调信号的频谱不再是消息信号频谱的简单平移，会产生新的频率分量，因此分析难度高于 AM，但换来了更优的抗噪声性能。

graph TD
    A["角度调制
Angle Modulation"] --> B["频率调制 FM
Frequency Modulation"]
    A --> C["相位调制 PM
Phase Modulation"]
    B --> D["瞬时频率偏移 ∝ m(t)"]
    C --> E["瞬时相位偏移 ∝ m(t)"]
    style A fill:#1a1a2e,color:#fff
    style B fill:#16213e,color:#fff
    style C fill:#16213e,color:#fff
    style D fill:#0f3460,color:#fff
    style E fill:#0f3460,color:#fff

4.1.1 一般表达式

一个恒定幅度的载波可写为：

$$ s(t) = A_c \cos!\bigl[\theta(t)\bigr] $$

其中 $\theta(t)$ 为瞬时总相位（Instantaneous Total Phase）。定义瞬时频率（Instantaneous Frequency）为：

$$ f_i(t) = \frac{1}{2\pi},\frac{d\theta(t)}{dt} $$

4.2 FM 信号分析

4.2.1 FM 信号表达式

对于频率调制，瞬时频率偏移与消息信号成正比：

$$ f_i(t) = f_c + k_f , m(t) $$

其中 $k_f$ 为频偏常数（Frequency Deviation Constant），单位为 Hz/V。对瞬时频率积分得到瞬时相位：

$$ \theta(t) = 2\pi f_c t + 2\pi k_f \int_0^t m(\tau),d\tau $$

因此 FM 信号表达式为：

$$ \boxed{s(t) = A_c \cos!\left(2\pi f_c t + 2\pi k_f \int_0^t m(\tau),d\tau\right)} $$

4.2.2 单音调制

设消息信号为单频正弦波 $m(t) = A_m \cos(2\pi f_m t)$，则：

$$ s(t) = A_c \cos!\left(2\pi f_c t + \beta \sin(2\pi f_m t)\right) $$

其中 $\beta$ 为调制指数（Modulation Index）：

$$ \beta = \frac{\Delta f}{f_m} = \frac{k_f A_m}{f_m} $$

$\Delta f = k_f A_m$ 为最大频偏（Peak Frequency Deviation）。$\beta$ 是 FM 系统的关键参数，决定了信号带宽和解调性能。

4.2.3 窄带 FM（Narrowband FM, NBFM）

当调制指数 $\beta \ll 1$ 时，称为窄带 FM。此时可将 FM 信号近似展开：

$$ s_{\text{NBFM}}(t) \approx A_c \cos(2\pi f_c t) - A_c \cdot 2\pi k_f !\int_0^t m(\tau),d\tau \cdot \sin(2\pi f_c t) $$

窄带 FM 的带宽与 AM 相近，约为 $2f_m$，但上下边带的符号不同（导致相位变化而非幅度变化）。NBFM 的抗噪声性能改善有限，主要用于作为宽带 FM 产生的中间步骤。

4.2.4 宽带 FM（Wideband FM, WBFM）

当 $\beta \gg 1$ 时，FM 信号需要更宽的带宽。利用贝塞尔函数（Bessel Functions）展开单音 FM 信号：

$$ s(t) = A_c \sum_{n=-\infty}^{\infty} J_n(\beta),\cos!\bigl[2\pi(f_c + nf_m)t\bigr] $$

其中 $J_n(\beta)$ 为第一类 $n$ 阶贝塞尔函数。FM 信号的频谱包含载波频率 $f_c$ 及无限多个边带分量 $f_c \pm nf_m$，但高阶边带的幅度随 $n$ 增大而衰减。

4.2.5 Carson 带宽法则

工程上，Carson 带宽法则（Carson’s Bandwidth Rule）给出了 FM 信号所需带宽的实用估计：

$$ \boxed{B_{\text{FM}} \approx 2(\Delta f + f_m) = 2f_m(1 + \beta)} $$

该公式涵盖了约 98% 的信号功率。对于任意消息信号，$f_m$ 取消息信号的最高频率分量 $W$：

$$ B_{\text{FM}} \approx 2(\Delta f + W) $$

参数NBFM ($\beta \ll 1$)WBFM ($\beta \gg 1$)
带宽$\approx 2f_m$$\approx 2\Delta f$
频谱特征类似 AM，载波+两个边带大量边带，频谱扩展显著
抗噪声改善有限显著改善
应用通信中间步骤、对讲机FM 广播、高质量音频

4.3 FM 的产生方法

4.3.1 直接法——压控振荡器（VCO）

直接调频法使用压控振荡器（VCO, Voltage-Controlled Oscillator）直接产生 FM 信号。VCO 的振荡频率随输入电压线性变化：

$$ f_{\text{out}} = f_0 + k_{\text{VCO}} \cdot v_{\text{in}}(t) $$

graph LR
    M["消息信号
m(t)"] --> VCO["压控振荡器
VCO"]
    VCO --> FM["FM 信号
s(t)"]
    style M fill:#1a1a2e,color:#fff
    style VCO fill:#16213e,color:#fff
    style FM fill:#0f3460,color:#fff

优点：电路简单，可获得大的频偏，线性度好。

缺点：载波频率稳定性差，需要额外的自动频率控制（AFC, Automatic Frequency Control）或锁相环（PLL）来稳定中心频率。

4.3.2 间接法——Armstrong 法

Armstrong 法（阿姆斯特朗法）利用窄带 FM 与频率倍频技术产生宽带 FM，是工程中最经典的间接调频方案：

graph LR
    M["消息信号
m(t)"] --> INT["积分器
Integrator"]
    INT --> NB["窄带 FM
调制器"]
    NB --> MX["倍频器
Frequency
Multiplier"]
    MX --> WBFM["宽带 FM
信号"]
    style M fill:#1a1a2e,color:#fff
    style INT fill:#16213e,color:#fff
    style NB fill:#16213e,color:#fff
    style MX fill:#0f3460,color:#fff
    style WBFM fill:#0f3460,color:#fff

工作原理：

  1. 积分：对消息信号 $m(t)$ 积分，得到 $\int m(t),dt$
  2. 窄带 FM 调制：利用相位调制器（本质是一个乘法器+移相器）产生 $\beta \ll 1$ 的 NBFM 信号，载频 $f_1$ 较低（如 200 kHz），利用晶体振荡器保证频率稳定
  3. 倍频：通过 $n$ 次倍频器，将载频提升至 $f_c = n \cdot f_1$，同时调制指数提升至 $\beta’ = n \cdot \beta$，达到宽带 FM 要求

优点：载波频率稳定性高（基于晶体振荡器）。

缺点：倍频后需要混频器将频率搬移到所需频段，系统较复杂。

4.4 FM 的解调方法

FM 解调的核心任务是从恒定幅度、变化频率的信号中恢复消息信号 $m(t)$。

4.4.1 鉴频器（Frequency Discriminator）

鉴频器将频率变化转换为幅度变化，然后用包络检波器提取消息信号。基本结构：

graph LR
    FM["FM 信号
输入"] --> LIM["限幅器
Limiter"]
    LIM --> DIFF["微分器
（频率→幅度）"]
    DIFF --> ENV["包络检波
Envelope
Detector"]
    ENV --> OUT["消息信号
m(t)"]
    style FM fill:#1a1a2e,color:#fff
    style LIM fill:#16213e,color:#fff
    style DIFF fill:#16213e,color:#fff
    style ENV fill:#0f3460,color:#fff
    style OUT fill:#0f3460,color:#fff

工作原理：

  1. 限幅器（Limiter）：消除传输过程中引入的幅度干扰和噪声，输出恒幅 FM 信号
  2. 微分器：对 FM 信号微分。理想微分器的输出为：

$$ \frac{ds(t)}{dt} = -A_c\bigl[2\pi f_c + 2\pi k_f m(t)\bigr]\sin!\left(2\pi f_c t + 2\pi k_f \int_0^t m(\tau),d\tau\right) $$

微分后信号的包络正比于 $f_c + k_f m(t)$，即频率变化已转化为幅度变化。

  1. 包络检波器：提取包络，去除直流分量，恢复 $m(t)$

4.4.2 锁相环解调（PLL Demodulator）

锁相环（PLL, Phase-Locked Loop）是现代 FM 解调的主流方案，具有优良的线性度和抗噪声性能：

graph LR
    IN["FM 输入"] --> PD["鉴相器
Phase
Detector"]
    PD --> LF["环路滤波器
Loop
Filter"]
    LF --> VCO["VCO"]
    VCO -->|"反馈"| PD
    LF --> OUT["解调输出
m(t)"]
    style IN fill:#1a1a2e,color:#fff
    style PD fill:#16213e,color:#fff
    style LF fill:#0f3460,color:#fff
    style VCO fill:#0f3460,color:#fff
    style OUT fill:#1a1a2e,color:#fff

PLL 解调原理：当环路锁定时，VCO 的控制电压跟踪输入 FM 信号的瞬时频率变化，该控制电压即为解调输出。PLL 相当于一个跟踪滤波器，带宽由环路滤波器决定，可有效抑制带外噪声。

4.5 FM 系统的抗噪声性能

4.5.1 FM 的噪声改善机制

FM 系统的输出信噪比（SNR, Signal-to-Noise Ratio）可表示为：

$$ \left(\frac{S}{N}\right){\text{out}} = 3\beta^2 \left(\frac{S}{N}\right){\text{baseband}} $$

即 FM 解调输出信噪比相对于基带传输有 $3\beta^2$ 倍的改善。当 $\beta = 5$ 时，改善约 187 倍（约 22.7 dB）。这是 FM 以带宽换取信噪比的典型体现。

4.5.2 门限效应

FM 解调存在门限效应（Threshold Effect）：当输入信噪比下降到某个门限值（约 10 dB）以下时，输出信噪比急剧恶化。这是因为强噪声会"捕获"解调器，产生尖峰脉冲噪声。门限扩展技术（如 PLL 解调、FMFB 反馈解调）可将门限降低 3~7 dB。

4.5.3 预加重与去加重

利用消息信号（语音、音乐）功率谱随频率升高而下降的特性，FM 系统广泛采用预加重/去加重（Pre-emphasis / De-emphasis）技术：

  • 预加重（发射端）：高频分量提升，使调制信号频谱平坦化
  • 去加重（接收端）：恢复原始频谱，同时衰减高频噪声

这一处理可额外改善输出信噪比约 6~13 dB。

4.6 FM vs AM 对比

特性FMAM
调制参数频率幅度
恒包络✅ 是❌ 否
带宽$2(\Delta f + W)$，通常较宽$2W$
抗噪声能力强（带宽换信噪比）弱
门限效应有有（包络检波）
发射效率高（丙类放大器）低（线性放大器）
电路复杂度较高较低
典型应用高保真广播、通信中波广播、航空通信

核心结论：FM 以更大的带宽为代价，获得了显著优于 AM 的抗噪声性能和发射效率。在频谱资源充裕但对信号质量要求高的场景中，FM 是更优选择。

4.7 相位调制（PM）简介

4.7.1 PM 信号表达式

相位调制（PM, Phase Modulation）中，瞬时相位偏移与消息信号成正比：

$$ s_{\text{PM}}(t) = A_c \cos!\bigl(2\pi f_c t + k_p , m(t)\bigr) $$

其中 $k_p$ 为相偏常数（Phase Deviation Constant），单位为 rad/V。

4.7.2 FM 与 PM 的关系

FM 与 PM 本质上互为对方的微积分关系：

$$ \text{FM：} \quad \phi(t) = 2\pi k_f \int_0^t m(\tau),d\tau $$

$$ \text{PM：} \quad \phi(t) = k_p , m(t) $$

因此：

  • 对消息信号先积分再进行 PM 调制 → 等效于 FM
  • 对消息信号先微分再进行 FM 调制 → 等效于 PM
graph LR
    subgraph "FM 调制"
        M1["m(t)"] --> I1["∫ 积分"] --> PM1["PM 调制器"] --> FM_OUT["FM 信号"]
    end
    subgraph "PM 调制"
        M2["m(t)"] --> D1["d/dt 微分"] --> FM_MOD["FM 调制器"] --> PM_OUT["PM 信号"]
    end
    style M1 fill:#1a1a2e,color:#fff
    style I1 fill:#16213e,color:#fff
    style PM1 fill:#0f3460,color:#fff
    style FM_OUT fill:#0f3460,color:#fff
    style M2 fill:#1a1a2e,color:#fff
    style D1 fill:#16213e,color:#fff
    style FM_MOD fill:#0f3460,color:#fff
    style PM_OUT fill:#0f3460,color:#fff

PM 的调制指数定义为 $\beta_{\text{PM}} = k_p A_m$（单音调制时），与消息频率 $f_m$ 无关，这是 PM 与 FM 的重要区别。在数字通信中，PM 是相位键控（PSK, Phase Shift Keying）的基础。

4.8 工程应用

4.8.1 FM 广播

FM 广播（FM Broadcasting）是角度调制最经典的应用：

  • 频段：87.5~108 MHz（中国、国际通用标准）
  • 最大频偏：$\Delta f = \pm 75$ kHz
  • 音频带宽：50 Hz~15 kHz（单声道）
  • 调制指数：$\beta = 75/15 = 5$（宽带 FM）
  • Carson 带宽：$B \approx 2(75+15) = 180$ kHz，频道间隔 200 kHz
  • 立体声：采用 38 kHz 副载波传输 L-R 信号，导频 19 kHz

FM 广播凭借恒包络特性，允许发射机使用高效率的丙类（Class C）功率放大器，效率可达 70~80%，远高于 AM 发射机。

4.8.2 模拟电视伴音

模拟电视（Analog TV）的伴音通道采用 FM 调制：

  • 最大频偏：$\pm 25$ kHz
  • 预加重时间常数：50 μs（中国/PAL 标准）、75 μs（NTSC 标准）
  • 伴音载波位置：高于图像载波 6.5 MHz（PAL-D/K）

4.8.3 其他应用

  • 专业对讲机 / 陆地移动通信：窄带 FM（$\Delta f = \pm 2.5$ 或 $\pm 5$ kHz），节省频谱
  • 卫星通信：FM 用于某些卫星遥测链路，利用恒包络特性适应非线性功率放大器（如行波管放大器 TWT）
  • 雷达：线性调频（LFM, Linear Frequency Modulation）即 Chirp 信号用于脉冲压缩雷达

4.9 本章小结

角度调制通过改变载波的频率（FM）或相位（PM）来携带信息，属于非线性调制方式。核心要点：

  1. FM 信号的瞬时频率偏移与消息信号成正比，相位偏移为消息信号的积分
  2. Carson 带宽法则 $B \approx 2(\Delta f + W)$ 是工程估算 FM 带宽的标准方法
  3. FM 产生有直接法（VCO）和间接法（Armstrong），后者通过 NBFM + 倍频实现高稳定度 WBFM
  4. FM 解调主要依靠鉴频器和 PLL，PLL 因性能优异成为现代方案首选
  5. FM 以带宽换取信噪比，输出信噪比改善 $3\beta^2$ 倍，但存在门限效应
  6. PM 与 FM 通过积分/微分关系相互转换，PM 是数字相位调制（PSK）的基础

$$ \boxed{\text{带宽换质量 —— 这是角度调制的工程哲学}} $$