第 8 章噪声与随机过程 / Noise & Random Processes

8.1 引言

任何实际通信系统的性能上限都由噪声决定。从射频前端的热噪声（Thermal Noise）到数字接收机的量化噪声（Quantization Noise），噪声贯穿信号的生成、传输、接收全过程。本章从随机过程的数学框架出发，建立通信系统各模块的噪声性能模型，并推导 AWGN 信道下的最优接收结构——匹配滤波器（Matched Filter）。

graph LR
    A["信号源
Signal Source"] --> B["调制器
Modulator"]
    B --> C["信道 + 噪声
Channel + AWGN"]
    C --> D["匹配滤波器
Matched Filter"]
    D --> E["采样判决
Sampling & Decision"]
    E --> F["解调输出
Demodulated Output"]
    style A fill:#1a1a2e,color:#ffffff
    style B fill:#16213e,color:#ffffff
    style C fill:#0f3460,color:#ffffff
    style D fill:#e94560,color:#ffffff
    style E fill:#16213e,color:#ffffff
    style F fill:#1a1a2e,color:#ffffff

8.2 随机过程基础

8.2.1 随机过程的定义与描述

随机过程 $X(t)$ 是定义在样本空间 $\Omega$ 上的时间函数族。对于固定时刻 $t_0$，$X(t_0)$ 是一个随机变量；对于固定样本 $\omega$，$X(t, \omega)$ 是一个确定的时间函数（称为样本函数 / Sample Function）。

通信工程中常见的随机过程包括：

类型	典型场景	数学特征
高斯过程 (Gaussian Process)	热噪声、散弹噪声	任意有限维分布均为联合高斯
白噪声 (White Noise)	理想化噪声模型	功率谱密度为常数
窄带噪声 (Narrowband Noise)	接收机中频输出	经过带通滤波后的高斯噪声
瑞利/莱斯过程 (Rayleigh/Rician)	多径衰落信道	包络服从瑞利或莱斯分布

8.2.2 统计特征

随机过程 $X(t)$ 的均值函数（Mean Function）：

$$m_X(t) = E[X(t)]$$

自相关函数（Autocorrelation Function）：

$$R_X(t_1, t_2) = E[X(t_1) X(t_2)]$$

宽平稳（Wide-Sense Stationary, WSS）条件：

$$m_X(t) = m_X = \text{const}$$

$$R_X(t_1, t_2) = R_X(\tau), \quad \tau = t_1 - t_2$$

8.2.3 功率谱密度与维纳-辛钦定理

对于 WSS 过程，维纳-辛钦定理（Wiener-Khinchin Theorem）建立了时域自相关与频域功率谱的傅里叶对偶关系：

$$S_X(f) = \mathcal{F}{R_X(\tau)} = \int_{-\infty}^{\infty} R_X(\tau) e^{-j 2\pi f \tau} , d\tau$$

$$R_X(\tau) = \mathcal{F}^{-1}{S_X(f)} = \int_{-\infty}^{\infty} S_X(f) e^{j 2\pi f \tau} , df$$

总平均功率：

$$P_X = R_X(0) = \int_{-\infty}^{\infty} S_X(f) , df$$

8.3 AWGN 信道模型

8.3.1 白噪声通过 LTI 系统

加性白高斯噪声（Additive White Gaussian Noise, AWGN）是通信理论中最基本的信道模型。其特性为：

功率谱密度（PSD）：$S_N(f) = \frac{N_0}{2}$（双边谱），单位 $\text{W/Hz}$
自相关函数：$R_N(\tau) = \frac{N_0}{2} \delta(\tau)$
任意时刻服从 $N(0, \sigma^2)$ 分布

当白噪声通过冲激响应为 $h(t)$ 的 LTI 系统时，输出过程的功率谱密度为：

$$S_Y(f) = |H(f)|^2 \cdot S_N(f) = \frac{N_0}{2} |H(f)|^2$$

输出噪声功率：

$$\sigma_Y^2 = \frac{N_0}{2} \int_{-\infty}^{\infty} |H(f)|^2 , df$$

等效噪声带宽（Equivalent Noise Bandwidth）定义为：

$$B_{eq} = \frac{\int_{0}^{\infty} |H(f)|^2 , df}{|H(f_0)|^2}$$

其中 $f_0$ 为滤波器中心频率或直流（低通情况下 $f_0 = 0$）。

8.3.2 噪声温度与信道容量

等效噪声温度 $T_e$ 与噪声系数 $F$ 的关系：

$$T_e = (F - 1) T_0$$

其中 $T_0 = 290,\text{K}$ 为标准参考温度。系统总噪声功率：

$$N = k T_{sys} B$$

其中 $k = 1.38 \times 10^{-23},\text{J/K}$ 为玻尔兹曼常数，$T_{sys}$ 为系统等效噪声温度，$B$ 为带宽。

Shannon 信道容量（Channel Capacity）：

$$C = B \log_2\left(1 + \frac{S}{N}\right) = B \log_2\left(1 + \frac{S}{k T_{sys} B}\right) \quad [\text{bit/s}]$$

将 $E_b/N_0$ 代入（$E_b$ 为每比特能量）：

$$C = B \log_2\left(1 + \frac{E_b}{N_0} \cdot \frac{C}{B}\right)$$

当 $C/B \to 0$ 时，得到 Shannon 极限：

$$\left(\frac{E_b}{N_0}\right)_{\min} = \ln 2 \approx -1.59,\text{dB}$$

这是任何通信系统可靠传输的理论下界。

graph TD
    A["天线接收信号
Antenna Rx"] --> B["LNA
低噪声放大器"]
    B --> C["下变频
Downconverter"]
    C --> D["中频滤波
IF Filter"]
    D --> E["ADC 量化
Quantization"]
    N1["天体热噪声
T_sky"] --> B
    N2["LNA 热噪声
T_LNA = F-1 * 290K"] --> C
    N3["本振相位噪声
Phase Noise"] --> D
    N4["量化噪声
σ²_q = Δ²/12"] --> E
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    style B fill:#0f3460,color:#ffffff
    style C fill:#0f3460,color:#ffffff
    style D fill:#0f3460,color:#ffffff
    style E fill:#1a1a2e,color:#ffffff
    style N1 fill:#e94560,color:#ffffff
    style N2 fill:#e94560,color:#ffffff
    style N3 fill:#e94560,color:#ffffff
    style N4 fill:#e94560,color:#ffffff

8.4 匹配滤波器 / Matched Filter

8.4.1 SNR 最大化的数学推导

匹配滤波器是 AWGN 信道中使采样时刻 $t_0$ 输出信噪比最大化的最优线性滤波器。

设接收信号 $r(t) = s(t) + n(t)$，其中 $n(t)$ 为白噪声（$S_N(f) = N_0/2$），滤波器冲激响应为 $h(t)$。在 $t = t_0$ 时刻，输出由信号分量和噪声分量组成：

$$y(t_0) = \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} s(\tau) h(t_0 - \tau) , d\tau}{s{out}} + \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} n(\tau) h(t_0 - \tau) , d\tau}{n{out}}$$

输出 SNR 定义为：

$$\text{SNR}0 = \frac{s{out}^2}{E[n_{out}^2]} = \frac{\left|\int S(f) H(f) e^{j2\pi f t_0} df\right|^2}{\frac{N_0}{2} \int |H(f)|^2 df}$$

利用 Cauchy-Schwarz 不等式，当且仅当：

$$H_{opt}(f) = c \cdot S^*(f) e^{-j2\pi f t_0}$$

时 SNR 取最大值。等价时域条件：

$$h_{opt}(t) = c \cdot s^*(t_0 - t)$$

即匹配滤波器的冲激响应是信号 $s(t)$ 的时间反转共轭（对实信号即时间反转并延迟 $t_0$）。

最大输出 SNR：

$$\text{SNR}_{max} = \frac{2E_s}{N_0}$$

其中 $E_s = \int |s(t)|^2 dt$ 为信号能量。关键结论：匹配滤波器的输出 SNR 仅取决于信号能量与噪声谱密度之比，与信号波形无关。

8.4.2 匹配滤波器的工程实现

匹配滤波器的频域实现等价于：

对接收信号做 FFT
乘以已知信号的共轭频谱 $S^*(f)$
做 IFFT 恢复时域输出

这实质上就是互相关运算（Cross-correlation）：

$$y(t) = \int r(\tau) s(\tau - t + t_0) , d\tau = R_{rs}(t - t_0)$$

graph LR
    A["接收信号 r(t)"] --> B["FFT"]
    B --> C["× S*(f)"]
    C --> D["IFFT"]
    D --> E["峰值检测
Peak Detection"]
    F["已知信号 s(t)"] --> G["FFT"]
    G --> H["共轭 Conjugate"]
    H --> C
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    style B fill:#16213e,color:#ffffff
    style C fill:#e94560,color:#ffffff
    style D fill:#16213e,color:#ffffff
    style E fill:#1a1a2e,color:#ffffff
    style F fill:#1a1a2e,color:#ffffff
    style G fill:#16213e,color:#ffffff
    style H fill:#0f3460,color:#ffffff

8.4.3 匹配滤波器设计实例：LFM 脉冲雷达

线性调频（Linear Frequency Modulation, LFM / Chirp）信号是脉冲雷达中最常用的波形。其复包络为：

$$s(t) = \text{rect}\left(\frac{t}{T_p}\right) \cdot e^{j\pi \mu t^2}$$

其中 $T_p$ 为脉冲宽度，$\mu = B/T_p$ 为调频斜率，$B$ 为扫频带宽。

脉冲压缩比（Pulse Compression Ratio）：

$$PCR = T_p \cdot B = \mu T_p^2$$

匹配滤波后输出近似 sinc 函数，主瓣宽度为 $1/B$（相比原始脉冲宽度 $T_p$ 压缩了 $PCR$ 倍），从而同时实现了高能量（长脉冲）和高分辨力（窄压缩脉冲）。

匹配滤波对 LFM 信号的处理增益：

$$G_{process} = 10\log_{10}(PCR) \quad [\text{dB}]$$

伪代码实现：

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算法: LFM 脉冲压缩（频域匹配滤波）
输入: 接收信号 r[n], n = 0, 1, ..., N-1
      调频参数 μ, 脉宽 T_p, 采样率 f_s

1.  生成参考 LFM 信号:
      for n = 0 to N-1:
          t = n / f_s
          s_ref[n] = exp(j * π * μ * t²)   // rect 窗内

2.  频域匹配滤波:
      R = FFT(r)        // 接收信号 FFT
      S = FFT(s_ref)    // 参考信号 FFT
      Y = R ⊙ conj(S)  // 逐点乘共轭
      y = IFFT(Y)       // 回到时域

3.  峰值检测:
      y_peak = max |y[n]|
      n_peak = argmax_n |y[n]|
      t_delay = n_peak / f_s     // 目标距离 = c * t_delay / 2

输出: y[n], 峰值位置 n_peak, 处理增益 G

8.5 信号检测理论

8.5.1 假设检验与检测门限

在数字通信中，接收端需要在 AWGN 背景下判断发送的是哪个符号。这是经典的二元假设检验（Binary Hypothesis Testing）问题：

$$H_0: r(t) = n(t) \quad (\text{发送 } s_0)$$ $$H_1: r(t) = s(t) + n(t) \quad (\text{发送 } s_1)$$

经匹配滤波和采样后，检验统计量 $y$ 服从：

$$H_0: y \sim \mathcal{N}(-E_s/2, , N_0 E_s / 2)$$ $$H_1: y \sim \mathcal{N}(+E_s/2, , N_0 E_s / 2)$$

最优判决门限（最小错误概率准则下）：

$$\gamma = \frac{E_{s_0} - E_{s_1}}{2} + \frac{N_0}{2} \ln\frac{P(H_0)}{P(H_1)}$$

当先验等概且等能量时，$\gamma = 0$。

误码率（Bit Error Rate, BER）对 BPSK：

$$P_b = Q\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right)$$

其中 $Q(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_x^{\infty} e^{-t^2/2} dt$。

8.5.2 相干检测与非相干检测

相干检测（Coherent Detection）要求接收端恢复出与发射载波同频同相的本地参考载波。其实现框图：

graph LR
    A["接收信号 r(t)"] --> B["× cos(2πf_c t + φ̂)"]
    C["载波恢复
Carrier Recovery"] --> B
    B --> D["积分器
Integrator"]
    D --> E["采样判决"]
    style A fill:#1a1a2e,color:#ffffff
    style B fill:#0f3460,color:#ffffff
    style C fill:#e94560,color:#ffffff
    style D fill:#16213e,color:#ffffff
    style E fill:#1a1a2e,color:#ffffff

非相干检测（Non-coherent Detection）不需要恢复载波相位，利用信号的包络（Envelope）进行判决。

对于 BFSK 的非相干检测，接收信号经带通滤波后，包络 $V$ 在 $H_1$ 假设下服从莱斯分布（Rician Distribution）：

$$f_V(v | H_1) = \frac{v}{\sigma^2} \exp\left(-\frac{v^2 + A^2}{2\sigma^2}\right) I_0\left(\frac{Av}{\sigma^2}\right), \quad v \geq 0$$

在 $H_0$ 假设下服从瑞利分布（Rayleigh Distribution）：

$$f_V(v | H_0) = \frac{v}{\sigma^2} \exp\left(-\frac{v^2}{2\sigma^2}\right), \quad v \geq 0$$

其中 $A$ 为信号幅度，$\sigma^2$ 为噪声方差，$I_0(\cdot)$ 为零阶修正贝塞尔函数。

非相干 BFSK 的误码率：

$$P_b = \frac{1}{2} \exp\left(-\frac{E_b}{2N_0}\right)$$

相比相干 BPSK 的 $Q(\sqrt{2E_b/N_0})$，非相干检测约有 1~2 dB 的 SNR 损失，但避免了复杂的载波恢复电路。

差分检测（Differential Detection）是一种折中方案：利用相邻符号间的相位差进行判决，无需绝对相位参考。差分 BPSK（DBPSK）的误码率为：

$$P_b = \frac{1}{2} \exp\left(-\frac{E_b}{N_0}\right)$$

8.6 通信系统各模块的噪声性能模型

8.6.1 级联系统的噪声系数

多级系统（LNA → 混频器 → 中放 → ADC）的 Friis 噪声公式：

$$F_{total} = F_1 + \frac{F_2 - 1}{G_1} + \frac{F_3 - 1}{G_1 G_2} + \cdots$$

工程启示：第一级 LNA 的噪声系数 $F_1$ 对系统总噪声系数影响最大（因其后所有噪声都被 $G_1$ 放大而相对抑制）。因此 LNA 的设计原则是：低噪声、高增益。

8.6.2 灵敏度与动态范围

接收机灵敏度（Sensitivity）定义为满足最小 BER 要求的最小可检测信号功率：

$$P_{sens} = k T_0 B \cdot F_{total} \cdot \text{SNR}_{min}$$

用 dBm 表示：

$$P_{sens} [\text{dBm}] = -174 + 10\log_{10}B + F_{total} [\text{dB}] + \text{SNR}_{min} [\text{dB}]$$

无杂散动态范围（Spurious-Free Dynamic Range, SFDR）：

$$\text{SFDR} = \frac{2}{3}(P_{IP3} - P_{noise\ floor})$$

8.7 工程应用

8.7.1 噪声消除技术

主动噪声消除（Active Noise Cancellation, ANC）在通信接收机中的应用：

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算法: 自适应噪声消除（LMS）
输入: 主通道信号 d[n] = s[n] + n[n]
      参考通道噪声 x[n] ≈ n[n]（与主通道噪声相关）

1.  初始化: w[0] = 0, 步长 μ
2.  for n = 0, 1, 2, ...:
3.      y[n] = w^T[n] · x[n]          // 滤波器输出
4.      e[n] = d[n] - y[n]            // 误差 = 估计信号
5.      w[n+1] = w[n] + 2μ · e[n] · x[n]  // LMS 更新

输出: e[n]（噪声消除后的信号估计）

8.7.2 信道均衡

多径信道引入码间干扰（ISI），信道均衡器（Equalizer）通过估计信道冲激响应 $h_c(t)$ 并构造其逆滤波器来消除 ISI。在频域，均衡器传递函数为：

$$H_{eq}(f) = \frac{1}{H_c(f)}$$

实际中常使用判决反馈均衡器（Decision Feedback Equalizer, DFE）或最小均方误差均衡器（MMSE Equalizer），后者在噪声抑制与 ISI 消除之间取得最优平衡：

$$H_{MMSE}(f) = \frac{H_c^*(f)}{|H_c(f)|^2 + \frac{N_0}{E_s}}$$

8.7.3 MIMO 技术与空间复用

多输入多输出（Multiple-Input Multiple-Output, MIMO）技术是 4G/5G/6G 的核心使能技术。MIMO 系统模型：

$$\mathbf{y} = \mathbf{H} \mathbf{x} + \mathbf{n}$$

其中 $\mathbf{H} \in \mathbb{C}^{N_r \times N_t}$ 为信道矩阵，$\mathbf{x}$ 为发射向量，$\mathbf{n} \sim \mathcal{CN}(0, N_0 \mathbf{I})$。

MIMO 信道容量：

$$C = \max_{\mathbf{Q}: \text{tr}(\mathbf{Q}) \leq P} \log_2 \det\left(\mathbf{I}_{N_r} + \frac{1}{N_0} \mathbf{H} \mathbf{Q} \mathbf{H}^H\right)$$

当信道矩阵已知时，通过对 $\mathbf{H}$ 做 SVD 分解 $\mathbf{H} = \mathbf{U} \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{V}^H$，可利用注水算法（Water-filling）在各空间流上最优分配功率。

MIMO 带来的增益包括：

空间复用增益（Spatial Multiplexing Gain）：$N_{min} = \min(N_t, N_r)$ 个并行数据流，容量线性增长
分集增益（Diversity Gain）：多天线对抗衰落，降低中断概率
阵列增益（Array Gain）：波束赋形（Beamforming）提升 SNR

5G NR 中 Massive MIMO（64T64R 及以上）结合波束赋形，将能量集中到目标用户方向，等效提升 SNR 数十分贝。6G 研究中的超大规模 MIMO（XL-MIMO）将天线数推向 256~1024，进一步逼近信道容量极限。

8.7.4 CDMA 与扩频增益

码分多址（CDMA）通过扩频序列将信号带宽扩展 $G_p = W/R$ 倍（处理增益 / Processing Gain）：

$$G_p = \frac{W}{R} = \frac{R_c}{R_b}$$

其中 $R_c$ 为码片速率（Chip Rate），$R_b$ 为比特速率。接收端经相关解扩后，噪声功率仅落在窄带 $R_b$ 内：

$$\left(\frac{E_b}{N_0}\right){post} = G_p \cdot \left(\frac{S}{N}\right){pre}$$

这就是扩频系统的抗干扰容限（Jamming Margin）。

8.7.5 OFDM 系统中的噪声处理

OFDM（Orthogonal Frequency Division Multiplexing）将宽带频率选择性衰落信道分解为多个窄带平坦衰落子信道。每个子载波上的接收信号为：

$$Y_k = H_k X_k + N_k, \quad k = 0, 1, \ldots, N-1$$

其中 $N_k \sim \mathcal{CN}(0, N_0)$ 为该子载波上的噪声。

接收端处理流程：

去循环前缀（Remove CP）→ FFT → 频域数据
信道估计：利用导频（Pilot）子载波估计 $H_k$
频域均衡：$\hat{X}_k = Y_k / \hat{H}_k$（迫零）或 MMSE 均衡
星座解映射：计算每个比特的 LLR（Log-Likelihood Ratio）
信道译码：LDPC / Turbo / Polar 译码

OFDM 的 PAPR（Peak-to-Average Power Ratio）问题导致功放非线性失真，产生带外辐射和交调噪声。工程上通过限幅（Clipping）、选择性映射（SLM）、色调保留（Tone Reservation）等技术降低 PAPR。

8.8 SNR 优化策略总结

graph TD
    A["SNR 优化"] --> B["发射端"]
    A --> C["信道"]
    A --> D["接收端"]
    B --> B1["功率控制
Power Control"]
    B --> B2["波束赋形
Beamforming"]
    B --> B3["预编码
Precoding"]
    C --> C1["MIMO 分集
Diversity"]
    C --> C2["FEC 编码
Channel Coding"]
    C --> C3["扩频增益
Spread Spectrum"]
    D --> D1["匹配滤波
Matched Filter"]
    D --> D2["均衡
Equalization"]
    D --> D3["低噪声设计
LNA Design"]
    style A fill:#e94560,color:#ffffff
    style B fill:#0f3460,color:#ffffff
    style C fill:#0f3460,color:#ffffff
    style D fill:#0f3460,color:#ffffff
    style B1 fill:#1a1a2e,color:#ffffff
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    style B3 fill:#1a1a2e,color:#ffffff
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    style C2 fill:#1a1a2e,color:#ffffff
    style C3 fill:#1a1a2e,color:#ffffff
    style D1 fill:#1a1a2e,color:#ffffff
    style D2 fill:#1a1a2e,color:#ffffff
    style D3 fill:#1a1a2e,color:#ffffff

各技术手段对 SNR 的贡献量级：

技术手段	典型增益	适用场景
匹配滤波器	理论最优 SNR	所有数字通信接收机
LNA 低噪声设计	降低 $F$ 数 dB	射频前端
信道编码（LDPC/Turbo）	8~10 dB 编码增益	深空通信、5G NR
MIMO 波束赋形	10~20 dB 阵列增益	5G/6G Massive MIMO
扩频处理增益	$10\log_{10}(G_p)$ dB	CDMA、GPS、军事通信

8.9 本章小结

随机过程是描述通信噪声的数学工具；WSS 过程的自相关函数与功率谱密度构成傅里叶对偶。
AWGN 信道是通信系统分析的基准模型；白噪声通过 LTI 系统后 PSD 等于输入 PSD 乘 $|H(f)|^2$。
匹配滤波器是 AWGN 信道下的最优线性接收机，输出 SNR 为 $2E_s/N_0$，仅取决于信号能量。
信号检测中，相干检测性能最优但需要载波恢复；非相干检测损失约 1~2 dB 但实现更简单。
噪声系数级联由 Friis 公式决定，第一级 LNA 对系统噪声性能影响最大。
MIMO、信道编码、扩频等技术从不同维度提升 SNR，共同逼近 Shannon 容量极限。

工程箴言：通信工程师的全部工作，就是在噪声的汪洋大海中，用最少的资源捞出最多的信息。

第 8 章 噪声与随机过程 / Noise & Random Processes#

8.1 引言#

8.2 随机过程基础#

8.2.1 随机过程的定义与描述#

8.2.2 统计特征#

8.2.3 功率谱密度与维纳-辛钦定理#

8.3 AWGN 信道模型#

8.3.1 白噪声通过 LTI 系统#

8.3.2 噪声温度与信道容量#

8.4 匹配滤波器 / Matched Filter#

8.4.1 SNR 最大化的数学推导#

8.4.2 匹配滤波器的工程实现#

8.4.3 匹配滤波器设计实例：LFM 脉冲雷达#

8.5 信号检测理论#

8.5.1 假设检验与检测门限#

8.5.2 相干检测与非相干检测#

8.6 通信系统各模块的噪声性能模型#

8.6.1 级联系统的噪声系数#

8.6.2 灵敏度与动态范围#

8.7 工程应用#

8.7.1 噪声消除技术#

8.7.2 信道均衡#

8.7.3 MIMO 技术与空间复用#

8.7.4 CDMA 与扩频增益#

8.7.5 OFDM 系统中的噪声处理#

8.8 SNR 优化策略总结#

8.9 本章小结#