第 5 章：脉冲调制与复用 / Pulse Modulation & Multiplexing

5.1 概述

模拟信号要在数字传输系统中承载，必须经过脉冲编码调制（PCM, Pulse Code Modulation） 将连续波形转换为离散比特流。而多路信号共享同一物理信道时，则需要复用（Multiplexing） 技术——按时隙划分的 TDM、按频段划分的 FDM、以及现代正交频分复用 OFDM。

本章从工程视角出发，系统梳理 PCM 编解码链路、量化噪声分析、数字电话系统中的 TDM/PCM 体系，以及 PDH/SDH 中的实际应用。

flowchart LR
    A[模拟信号
Analog Signal] --> B[采样
Sampling]
    B --> C[量化
Quantization]
    C --> D[编码
Encoding]
    D --> E[PCM 比特流
Bitstream]
    E --> F[复用
Multiplexing]
    F --> G[信道传输
Channel]

5.2 脉冲编码调制（PCM）

5.2.1 采样定理

奈奎斯特采样定理（Nyquist Sampling Theorem）指出：带限信号 $f(t)$ 的最高频率为 $f_m$ 时，采样频率 $f_s \geq 2f_m$ 即可无失真恢复原始信号：

$$f_s \geq 2f_m$$

工程实践中取过采样裕量。例如语音信号带宽 3.4 kHz，ITU-T 建议采样率取 8 kHz（裕量约 17%）。

5.2.2 量化与编码

均匀量化（Uniform Quantization） 将采样值映射到 $L = 2^{N}$ 个等间距电平，其中 $N$ 为每样本比特数。

非均匀量化（Non-uniform Quantization） 利用压扩（Companding）技术改善小信号的信噪比：

  • μ律（μ-law）：北美/日本 PCM 电话系统（T1）
  • A律（A-law）：欧洲/中国 PCM 电话系统（E1）

A律压扩特性：

$$y = \begin{cases} \dfrac{Ax}{1 + \ln A}, & 0 \leq x \leq \dfrac{1}{A} \ \dfrac{1 + \ln(Ax)}{1 + \ln A}, & \dfrac{1}{A} < x \leq 1 \end{cases}$$

其中 $A = 87.6$ 为 ITU-T G.711 标准规定值。

5.2.3 PCM 编码伪代码

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FUNCTION PCM_Encode(sample, bits_per_sample=8, companding="A-law"):
    # 输入：采样值 sample ∈ [-1, 1]
    # 输出：PCM 码字
    
    # Step 1: 压扩
    IF companding == "A-law":
        compressed = A_law_compress(sample)
    ELSE:
        compressed = mu_law_compress(sample)
    
    # Step 2: 均匀量化
    levels = 2 ^ bits_per_sample
    quantized = ROUND((compressed + 1) / 2 * (levels - 1))
    
    # Step 3: 折叠二进制编码
    codeword = folded_binary(quantized, bits_per_sample)
    
    RETURN codeword

5.3 量化噪声分析

5.3.1 均匀量化信噪比

对于均匀量化，假设量化误差在 $[-\Delta/2, \Delta/2]$ 上均匀分布（$\Delta$ 为量化间隔），量化噪声功率为：

$$\sigma_q^2 = \frac{\Delta^2}{12} = \frac{V_{pp}^2}{12 \cdot 2^{2N}}$$

其中 $V_{pp}$ 为信号峰峰值，$N$ 为量化比特数。

对于满幅正弦波输入，量化信噪比为：

$$SNR_q = 6.02 \cdot N + 1.76 \text{ dB}$$

工程速算：每增加 1 bit，SNR 改善约 6 dB。

比特数 $N$$SNR_q$ (dB)典型应用
849.92G.711 语音电话
1274.00专业音频 ADC
1698.08CD 音质 PCM
24146.24专业录音室

$$SNR_q = 6.02 \times 8 + 1.76 \approx 49.9 \text{ dB (G.711 电话)}$$

$$SNR_q = 6.02 \times 16 + 1.76 \approx 98.1 \text{ dB (CD 音频)}$$

5.3.2 压扩改善量

非均匀量化（A律/μ律）对动态范围的改善等效于均匀量化增加约 45 bit，即 8 bit 非均匀量化 ≈ 1213 bit 均匀量化。

5.4 工程应用：语音级 PCM vs 音频级 PCM

参数语音级 PCM (G.711)音频级 PCM (CD)
采样率8 kHz44.1 kHz
量化比特8 bit (A/μ律)16 bit (线性)
比特率64 kbps1411.2 kbps
带宽0.3~3.4 kHz20 Hz~20 kHz
动态范围~38 dB (等效)~96 dB
应用数字电话系统CD-DA 音频

为什么 CD 是 44.1 kHz？ 奈奎斯特频率需 ≥ 40 kHz（覆盖 20 kHz 人耳上限），44.1 kHz 源自早期使用录像带存储数字音频时的行同步兼容：$44100 = 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 7 \times 7$，恰好适配 NTSC/PAL 扫描线参数。

5.5 数字电话系统的 PCM 链路

5.5.1 E1 帧（G.704）

中国/欧洲采用 E1 体系（基于 A律 PCM）：

  • 32 个时隙（TS0~TS31）：TS0 用于帧同步，TS16 用于信令，TS1TS15 和 TS17TS31 承载 30 路语音
  • 帧长：125 μs（对应 8 kHz 采样率）
  • 比特率：$32 \times 8 \text{ bit} \times 8000 \text{ Hz} = 2048 \text{ kbps}$

T1 体系（北美/日本，μ律）为 24 路语音 + 1 bit 帧同步 = 193 bit/帧 → 1544 kbps。

flowchart TB
    subgraph E1["E1 帧 (125 μs / 256 bit)"]
        direction LR
        TS0["TS0
帧同步"]
        TS1["TS1
CH1"]
        TS2["TS2~15
CH2~15"]
        TS16["TS16
信令"]
        TS17["TS17~31
CH16~30"]
    end

5.5.2 PCM 在数字通信中的角色（G.711 vs G.726）

编码标准类型比特率质量延迟
G.711PCM（波形编码）64 kbps高（MOS 4.1）≈0.125 ms
G.726ADPCM16/24/32/40 kbps中高≈0.125 ms
G.729CS-ACELP8 kbps中（MOS 3.7）≈15 ms

G.711 作为基准编码，几乎所有 VoIP 系统都以 64 kbps PCM 作为兜底（fallback）编码。ADPCM（G.726）利用相邻样本的相关性，在 32 kbps 下仍接近 G.711 音质。

5.6 时分复用（TDM）

5.6.1 基本原理

TDM 将信道传输时间划分为周期性时隙（Time Slot），每路信号占用固定时隙，实现多路信号在同一物理信道上的分时传输。

sequenceDiagram
    participant CH1 as 信道1
    participant CH2 as 信道2
    participant CH3 as 信道3
    participant TX as TDM 复用器
    participant RX as TDM 分用器
    CH1->>TX: 采样数据
    CH2->>TX: 采样数据
    CH3->>TX: 采样数据
    TX->>RX: TS1|TS2|TS3|TS1|TS2|TS3...
    RX->>CH1: 分用还原
    RX->>CH2: 分用还原
    RX->>CH3: 分用还原

5.6.2 PDH 体系

准同步数字系列（PDH, Plesiochronous Digital Hierarchy）：

等级北美 (T-carrier)欧洲 (E-carrier)日本
1T1: 1.544 MbpsE1: 2.048 Mbps1.544 Mbps
2T2: 6.312 MbpsE2: 8.448 Mbps6.312 Mbps
3T3: 44.736 MbpsE3: 34.368 Mbps32.064 Mbps
4—E4: 139.264 Mbps97.728 Mbps

PDH 的"准同步"意味着各节点时钟允许微小偏差（$\pm 50$ ppm），复用时需进行码速调整（Bit Stuffing）。

5.6.3 SDH/SONET

同步数字系列（SDH, Synchronous Digital Hierarchy） 用统一帧结构替代 PDH 体系的兼容性噩梦：

  • STM-1：155.52 Mbps（承载 63 个 E1 或 84 个 T1）
  • STM-4：622.08 Mbps
  • STM-16：2488.32 Mbps
  • STM-64：9953.28 Mbps

SDH 帧结构（STM-1）为 $9 \times 270$ 字节的矩形块，帧周期 125 μs。

5.7 频分复用（FDM）与正交频分复用（OFDM）

5.7.1 FDM

FDM 将信道带宽分割为互不重叠的子频带，每路信号经调制搬移到指定频段。

典型 FDM 电话系统：12 路语音经 SSB 调制组成基群（60108 kHz），5 个基群组成超群（312552 kHz），承载 60 路语音。

5.7.2 OFDM

OFDM 利用正交子载波（Orthogonal Subcarriers） 使子信道频谱重叠但不互相干扰，极大提升频谱效率。

子载波间隔：

$$\Delta f = \frac{1}{T_s}$$

其中 $T_s$ 为 OFDM 符号周期。正交条件保证子载波间无码间干扰（ICI）。

频谱利用效率：

$$\eta = \frac{R_b}{B} = \frac{N_{sc} \cdot \log_2 M}{B \cdot (1 + T_{cp}/T_s)} \text{ bps/Hz}$$

其中 $N_{sc}$ 为子载波数，$M$ 为调制阶数，$T_{cp}$ 为循环前缀长度。

应用场景子载波数调制方式频谱效率
WiFi 6 (802.ax)256/10241024-QAM~10 bps/Hz
LTE2048256-QAM58 bps/Hz
DVB-T232768256-QAM~4 bps/Hz

5.7.3 子带编码 + 复用结构

flowchart LR
    A[输入信号] --> B[分析滤波器组
Analysis Filterbank]
    B --> C1[子带1
低频]
    B --> C2[子带2
中频]
    B --> C3[子带3
高频]
    C1 --> D1[子带编码1]
    C2 --> D2[子带编码2]
    C3 --> D3[子带编码3]
    D1 --> E[TDM 复用]
    D2 --> E
    D3 --> E
    E --> F[信道传输]

子带编码（Subband Coding）根据各子带的能量分布分配不同比特数，人耳/人眼不敏感的子带可大幅压缩。MPEG Audio Layer III（MP3）即采用 32 子带滤波器组 + MDCT。

5.8 Python 信号处理示例

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import numpy as np
from scipy import signal
import matplotlib.pyplot as plt

# PCM 编码仿真：A律压扩
def a_law_compress(x, A=87.6):
    """A律压扩"""
    result = np.zeros_like(x)
    mask = np.abs(x) < 1 / A
    result[mask] = A * x[mask] / (1 + np.log(A))
    result[~mask] = np.sign(x[~mask]) * (1 + np.log(A * np.abs(x[~mask]))) / (1 + np.log(A))
    return result

def pcm_encode(signal_in, bits=8):
    """均匀量化 + 编码"""
    levels = 2 ** bits
    normalized = (signal_in + 1) / 2  # 映射到 [0, 1]
    quantized = np.clip(np.round(normalized * (levels - 1)), 0, levels - 1)
    return quantized.astype(np.uint16)

# 生成测试信号
fs = 8000  # 8 kHz 采样率（语音级）
t = np.arange(0, 0.1, 1/fs)
sig = 0.8 * np.sin(2 * np.pi * 440 * t)  # 440 Hz 正弦波

# A律压扩 → 量化
compressed = a_law_compress(sig)
pcm_codes = pcm_encode(compressed, bits=8)

print(f"PCM 比特率: {fs * 8 / 1000} kbps")  # 64 kbps
print(f"量化级数: {2**8}")
print(f"理论 SNR_q: {6.02 * 8 + 1.76:.1f} dB")

5.9 工程实现考虑

5.9.1 实际 ADC/DAC 选型

参数语音 ADC音频 ADC
采样率8 kHz44.1/48/96 kHz
分辨率12~16 bit16~24 bit
SINAD~60 dB~100 dB
功耗< 10 mW50~200 mW
接口I²S/TDMI²S

5.9.2 时钟精度与抖动

PCM 系统中，时钟抖动（Clock Jitter） 引入的噪声为：

$$SNR_{jitter} = -20 \log_{10}(2\pi f_{in} \cdot \Delta t) \text{ dB}$$

其中 $f_{in}$ 为信号频率，$\Delta t$ 为抖动均方根值。对于 CD 音质（$f_{in} = 20$ kHz, 要求 $SNR > 96$ dB），时钟抖动需 < 100 ps rms。

5.10 工具链总结

工具/平台用途
Python + scipy/numpyPCM 仿真、滤波器设计、频谱分析
MATLAB/Simulink通信系统建模、TDM/FDM 仿真
GNU Radio软件无线电、实时 OFDM 实验
WiresharkVoIP (G.711/RTP) 抓包分析
Audacity音频 PCM 参数可视化验证
ITU-T G 系列建议书G.711/G.726/G.704/G.703 标准参考

本章小结：PCM 是模拟世界通往数字世界的桥梁，从 64 kbps 的电话语音到 1411 kbps 的 CD 音质，核心都是采样-量化-编码三步曲。TDM/FDM/OFDM 三种复用体制分别服务于不同场景——TDM 统治了数字电话与 PDH/SDH 体系，FDM 在模拟载波与卫星通信中发挥作用，而 OFDM 已成为现代无线通信（WiFi、4G/5G）的基石。理解这些技术的工程参数与折中设计，是通信系统工程师的基本功。