第 2 章信号与系统回顾 / Signal & System Review

2.1 引言

通信系统的本质是信号的变换与传输。在深入学习调制、解调、编码等核心内容之前，必须牢固掌握信号与系统的基本理论。本章对后续章节所需的数学工具进行系统回顾，包括：

确知信号的时域与频域分析
Fourier 级数与 Fourier 变换
Laplace 变换与 Z 变换
系统的线性时不变（LTI）特性
卷积与滤波
采样定理
离散 Fourier 变换（DFT）与 FFT

2.2 信号的分类

2.2.1 确知信号与随机信号

分类	定义	示例
确知信号（Deterministic）	可用确定的时间函数表示	$s(t) = A\cos(2\pi f_c t)$
随机信号（Random）	取值具有统计不确定性，只能用概率描述	噪声 $n(t)$

通信工程中，消息通常是随机的（否则无需传输），但载波和系统冲激响应是确知的。

2.2.2 连续信号与离散信号

连续时间信号 $x(t)$：自变量 $t$ 连续取值（模拟通信）
离散时间信号 $x[n]$：自变量 $n$ 取整数（数字通信）
关系：$x[n] = x(nT_s)$，其中 $T_s$ 为采样周期

2.2.3 周期信号与非周期信号

$$ x(t) = x(t + T_0), \quad \forall, t $$

其中 $T_0$ 为基波周期（fundamental period），$f_0 = 1/T_0$ 为基波频率。

2.2.4 能量信号与功率信号

能量： $$ E = \int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 , dt $$

平均功率： $$ P = \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} |x(t)|^2 , dt $$

类型	条件	典型例子
能量信号	$E < \infty$，$P = 0$	单脉冲、衰减信号
功率信号	$E \to \infty$，$P < \infty$	周期信号、随机噪声
既非能量也非功率	$E \to \infty$，$P \to \infty$	$x(t) = t$

通信工程意义：载波是功率信号，信息脉冲通常按能量信号分析。

2.3 Fourier 分析

Fourier 分析是通信原理的基石——它将信号从时域映射到频域，使带宽、调制、滤波等概念变得可量化。

2.3.1 Fourier 级数（周期信号）

周期为 $T_0$ 的信号 $x(t)$ 可展开为：

$$ x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_k , e^{j 2\pi k f_0 t} $$

其中 Fourier 系数：

$$ c_k = \frac{1}{T_0} \int_{T_0} x(t) , e^{-j 2\pi k f_0 t} , dt $$

物理意义：任意周期信号可分解为无穷多个正弦波的叠加，频率为 $kf_0$（谐波），幅度和相位由 $c_k$ 决定。

Parseval 定理（周期信号）： $$\frac{1}{T_0}\int_{T_0}|x(t)|^2,dt = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}|c_k|^2$$

2.3.2 Fourier 变换（非周期信号）

正变换： $$ X(f) = \mathcal{F}{x(t)} = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) , e^{-j2\pi ft} , dt $$

逆变换： $$ x(t) = \mathcal{F}^{-1}{X(f)} = \int_{-\infty}^{+\infty} X(f) , e^{j2\pi ft} , df $$

$X(f)$ 称为 $x(t)$ 的频谱密度函数（spectrum density），$|X(f)|$ 为幅度谱，$\angle X(f)$ 为相位谱。

2.3.3 常用 Fourier 变换对

时域 $x(t)$	频域 $X(f)$	说明
$\delta(t)$	$1$	冲激 → 全频平坦
$1$	$\delta(f)$	直流 → 零频冲激
$\cos(2\pi f_0 t)$	$\frac{1}{2}[\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0)]$	余弦 → 双边谱线
$\sin(2\pi f_0 t)$	$\frac{1}{j2}[\delta(f-f_0)-\delta(f+f_0)]$	正弦
$\text{rect}(t/T)$	$T,\text{sinc}(fT)$	矩形脉冲 → sinc
$e^{-at}u(t),\ a>0$	$\frac{1}{a+j2\pi f}$	单边指数衰减
$e^{-\pi t^2}$	$e^{-\pi f^2}$	高斯 → 高斯（自本征）

2.3.4 Fourier 变换重要性质

性质	时域	频域
线性	$ax(t)+by(t)$	$aX(f)+bY(f)$
时移	$x(t-t_0)$	$X(f)e^{-j2\pi ft_0}$
频移	$x(t)e^{j2\pi f_0 t}$	$X(f-f_0)$
尺度变换	$x(at)$	$\frac{1}{
时域卷积	$x(t)*h(t)$	$X(f)\cdot H(f)$
频域卷积	$x(t)\cdot h(t)$	$X(f)*H(f)$
对偶	$X(t)$	$x(-f)$
Parseval	$\int\|x(t)\|^2 dt$	$\int\|X(f)\|^2 df$

⭐ 频移性质是调制理论的数学基础：将基带信号 $m(t)$ 乘以载波 $\cos(2\pi f_c t)$，等价于将 $M(f)$ 搬移到 $\pm f_c$ 处。

2.4 线性时不变（LTI）系统

2.4.1 定义

系统 $\mathcal{H}$ 满足：

线性（叠加原理）：$\mathcal{H}{a x_1(t) + b x_2(t)} = a\mathcal{H}{x_1(t)} + b\mathcal{H}{x_2(t)}$
时不变：若 $x(t) \to y(t)$，则 $x(t-\tau) \to y(t-\tau)$

2.4.2 冲激响应与卷积

LTI 系统完全由其冲激响应 $h(t)$ 表征：

$$ y(t) = x(t) * h(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) , h(t-\tau) , d\tau $$

频域等价：

$$ Y(f) = X(f) \cdot H(f) $$

其中 $H(f) = \mathcal{F}{h(t)}$ 为系统的频率响应（frequency response）。

2.4.3 系统的因果性与稳定性

性质	时域条件	频域/复频域含义
因果性	$h(t) = 0,\ t < 0$	输出不依赖未来输入
BIBO 稳定	$\int_{-\infty}^{+\infty}\|h(t)\|,dt < \infty$	有界输入→有界输出
无失真传输	$H(f) = K \cdot e^{-j2\pi f t_d}$	恒定增益 + 线性相位

2.5 Laplace 变换与系统函数

2.5.1 定义

$$ H(s) = \int_{-\infty}^{+\infty} h(t) , e^{-st} , dt, \quad s = \sigma + j\omega $$

对于因果系统：

$$ H(s) = \int_{0}^{+\infty} h(t) , e^{-st} , dt $$

$H(s)$ 为系统函数（system function）/ 传递函数（transfer function）。

2.5.2 零极点分析

$$ H(s) = K \cdot \frac{\prod_{i}(s - z_i)}{\prod_{j}(s - p_j)} $$

$z_i$：零点（zeros）
$p_j$：极点（poles）

稳定性判据：因果系统稳定的充要条件是所有极点位于 $s$ 左半平面（$\text{Re}(p_j) < 0$）。

2.5.3 常见系统阶次

阶次	系统函数	冲激响应
一阶低通	$H(s) = \frac{\omega_c}{s + \omega_c}$	$h(t) = \omega_c e^{-\omega_c t} u(t)$
二阶带通	$H(s) = \frac{Bs}{s^2 + Bs + \omega_0^2}$	衰减振荡

2.6 采样定理

2.6.1 Nyquist 采样定理

定理：带限信号 $x(t)$，若最高频率为 $f_H$，则当采样频率 $f_s \geq 2f_H$ 时，$x(t)$ 可由其样本完全恢复。

$$ f_s \geq 2f_H \quad \Longleftrightarrow \quad T_s \leq \frac{1}{2f_H} $$

$2f_H$ 称为 Nyquist 速率（Nyquist rate）。

2.6.2 采样过程的频域分析

理想采样信号：

$$ x_s(t) = x(t) \cdot \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t - nT_s) $$

频域：

$$ X_s(f) = f_s \sum_{n=-\infty}^{+\infty} X(f - nf_s) $$

当 $f_s > 2f_H$ 时，$X(f)$ 的各次搬移不重叠，可用低通滤波器恢复
当 $f_s < 2f_H$ 时，发生混叠（aliasing），无法无失真恢复

2.6.3 理想重建

$$ x(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[nT_s] \cdot \text{sinc}!\left(\frac{t - nT_s}{T_s}\right) $$

2.7 离散时间信号与系统

2.7.1 Z 变换

双边 Z 变换：

$$ X(z) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] , z^{-n} $$

单边 Z 变换（因果信号）：

$$ X(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} x[n] , z^{-n} $$

系统函数：

$$ H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \sum_{n=0}^{N} \frac{b_n}{1 - \sum_{k=1}^{M} a_k z^{-k}} $$

或者更一般地：

$$ H(z) = \frac{\sum_{k=0}^{M} b_k z^{-k}}{\sum_{k=0}^{N} a_k z^{-k}} = \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + \cdots + b_M z^{-M}}{a_0 + a_1 z^{-1} + \cdots + a_N z^{-N}} $$

稳定性：因果离散系统稳定的充要条件是所有极点在单位圆内（$|p_j| < 1$）。

2.7.2 常用 Z 变换对

$x[n]$	$X(z)$	ROC
$\delta[n]$	$1$	全 $z$ 平面
$u[n]$	$\frac{z}{z-1} = \frac{1}{1-z^{-1}}$	$
$a^n u[n]$	$\frac{z}{z-a} = \frac{1}{1-az^{-1}}$	$
$n \cdot a^n u[n]$	$\frac{az}{(z-a)^2}$	$
$\cos(\omega_0 n) u[n]$	$\frac{z(z-\cos\omega_0)}{z^2 - 2z\cos\omega_0 + 1}$	$

2.7.3 Z 变换性质

性质	时域	Z 域
线性	$ax_1[n]+bx_2[n]$	$aX_1(z)+bX_2(z)$
时移	$x[n-k]$	$z^{-k}X(z)$
频移	$a^n x[n]$	$X(z/a)$
卷积	$x_1[n]*x_2[n]$	$X_1(z)\cdot X_2(z)$

2.8 离散 Fourier 变换（DFT）

2.8.1 定义

对长度为 $N$ 的序列 $x[n]$，$n = 0, 1, \ldots, N-1$：

正变换（DFT）：

$$ X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] , e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}, \quad k = 0, 1, \ldots, N-1 $$

逆变换（IDFT）：

$$ x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] , e^{j\frac{2\pi}{N}kn}, \quad n = 0, 1, \ldots, N-1 $$

令 $W_N = e^{-j2\pi/N}$，则 $X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] W_N^{kn}$。

2.8.2 DFT 性质

性质	表达
线性	$\text{DFT}{ax_1[n]+bx_2[n]} = aX_1[k]+bX_2[k]$
循环移位	$x[(n-m)_N] \leftrightarrow W_N^{km} X[k]$
循环卷积	$x_1[n] \circledast x_2[n] \leftrightarrow X_1[k]\cdot X_2[k]$
Parseval	$\sum_{n=0}^{N-1}

2.8.3 快速 Fourier 变换（FFT）

直接计算 DFT 需要 $O(N^2)$ 次复数乘法。利用 $W_N^{k(n+N/2)} = -W_N^{kn}$ 的对称性，FFT 算法将计算量降至 $O(N\log_2 N)$。

最常用的是基-2 时域抽取（DIT）算法，要求 $N = 2^m$。

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DFT_N(x) 算法复杂度：
  直接 DFT：  N² 次复乘
  FFT：       N log₂N 次复乘
  
  例 N = 1024：
  DFT: 1,048,576 次
  FFT:    10,240 次  → 加速 102 倍

通信工程应用：OFDM 系统中，IFFT/FFT 是核心调制/解调模块。

2.9 带通信号与低通等效

2.9.1 带通信号表示

通信系统中，信号通常以带通（bandpass）形式传输。设载波频率为 $f_c$，带通信号：

$$ x(t) = x_I(t)\cos(2\pi f_c t) - x_Q(t)\sin(2\pi f_c t) $$

其中：

$x_I(t)$：同相分量（In-phase）
$x_Q(t)$：正交分量（Quadrature）

2.9.2 复包络

定义复包络（complex envelope）：

$$ \tilde{x}(t) = x_I(t) + j,x_Q(t) $$

则带通信号可写为：

$$ x(t) = \text{Re}{\tilde{x}(t) , e^{j2\pi f_c t}} $$

意义：所有带通信号的分析都可以转化为等效低通信号 $\tilde{x}(t)$ 的分析，大大简化了数学处理。

2.9.3 Hilbert 变换

信号 $x(t)$ 的 Hilbert 变换：

$$ \hat{x}(t) = x(t) * \frac{1}{\pi t} = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x(\tau)}{t-\tau},d\tau $$

频域特性：$\hat{X}(f) = -j,\text{sgn}(f)\cdot X(f)$

Hilbert 变换将所有正频率分量相移 $-\pi/2$，负频率分量相移 $+\pi/2$
解析信号：$z(t) = x(t) + j\hat{x}(t)$，只含正频率分量

2.10 系统带宽

2.10.1 常见带宽定义

带宽定义	说明
绝对带宽	频谱非零区域的宽度
3 dB 带宽	$
等效噪声带宽	等面积矩形对应的宽度
零点带宽	主瓣两个零点之间的宽度
占空带宽	包含总功率 99% 的频带宽度

2.10.2 带宽与码元速率

Nyquist 带宽（无 ISI）：

$$ B_{\min} = \frac{R_s}{2} $$

其中 $R_s$ 为码元速率（symbol rate）。采用升余弦滚降 $\alpha$ 时：

$$ B = \frac{R_s}{2}(1+\alpha), \quad 0 \leq \alpha \leq 1 $$

2.11 随机信号基础

2.11.1 平稳随机过程

严平稳（SSS）：统计特性不随时间原点移动而变化。

宽平稳（WSS）：

均值为常数：$E[x(t)] = m_x$
自相关函数仅与时差有关：$R_x(\tau) = E[x(t)x(t+\tau)]$

通信系统中的噪声通常假设为 WSS。

2.11.2 功率谱密度（PSD）

Wiener-Khinchin 定理：

$$ S_x(f) = \mathcal{F}{R_x(\tau)} = \int_{-\infty}^{+\infty} R_x(\tau) e^{-j2\pi f\tau},d\tau $$

平均功率：

$$ P_x = R_x(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} S_x(f),df $$

2.11.3 白噪声

$$ S_n(f) = \frac{N_0}{2} \quad \text{(W/Hz)}, \quad \forall f $$

$$ R_n(\tau) = \frac{N_0}{2}\delta(\tau) $$

白噪声通过 LTI 系统 $H(f)$ 后：

$$ S_y(f) = |H(f)|^2 \cdot \frac{N_0}{2} $$

输出噪声功率：

$$ N_{out} = \frac{N_0}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}|H(f)|^2,df = N_0 B_N $$

其中 $B_N$ 为等效噪声带宽。

2.12 本章小结

graph TD
    A[信号与系统回顾] --> B[信号分类]
    A --> C[Fourier 分析]
    A --> D[LTI 系统]
    A --> E[变换域分析]
    A --> F[采样与数字化]
    A --> G[带通信号表示]
    A --> H[随机信号]
    B --> B1[确知/随机]
    B --> B2[连续/离散]
    B --> B3[能量/功率]
    C --> C1[Fourier 级数
周期信号]
    C --> C2[Fourier 变换
频谱密度]
    C --> C3[DFT/FFT
数值计算]
    D --> D1[冲激响应 h(t)]
    D --> D2[卷积积分]
    D --> D3[频率响应 H(f)]
    E --> E1[Laplace 变换
连续系统]
    E --> E2[Z 变换
离散系统]
    F --> F1[Nyquist 采样定理]
    F --> F2[混叠与抗混叠滤波]
    G --> G1[I/Q 表示]
    G --> G2[复包络]
    G --> G3[Hilbert 变换]
    H --> H1[宽平稳过程]
    H --> H2[功率谱密度]
    H --> H3[白噪声]

核心要点回顾：

Fourier 变换是连接时域与频域的桥梁，其频移性质是调制理论的数学基础
LTI 系统在频域表现为 $Y(f) = X(f)\cdot H(f)$，滤波器设计本质上就是设计 $H(f)$ 的形状
采样定理限定了模拟→数字转换的最低采样率，是数字通信的前提
Z 变换是离散系统的核心工具，$H(z) = \sum_{n} h[n]z^{-n}$ 描述数字滤波器
带通信号的复包络表示将射频分析简化为基带分析，贯穿整个通信系统设计
随机信号的 PSD 与 LTI 系统的关系：$S_y(f) = |H(f)|^2 S_x(f)$，是噪声分析的基础

习题

基础题

2.1 求信号 $x(t) = \text{rect}(t/T)$ 的 Fourier 变换，并画出幅度谱 $|X(f)|$。

2.2 已知 $x(t) \leftrightarrow X(f)$，利用 Fourier 变换性质求以下信号的频谱：

(a) $x(t-2)$
(b) $x(t)\cos(2\pi f_c t)$
(c) $x(3t)$
(d) $x(t)*x(-t)$

2.3 某 LTI 系统的冲激响应为 $h(t) = e^{-2t}u(t)$，输入为 $x(t) = e^{-t}u(t)$，求输出 $y(t)$。

进阶题

2.4 信号 $x(t)$ 的带宽为 $4,\text{kHz}$。若对其进行采样：

(a) 最小采样频率是多少？
(b) 若采样频率 $f_s = 6,\text{kHz}$，是否会发生混叠？说明理由。

2.5 证明：白噪声通过理想带通滤波器（中心频率 $f_c$，带宽 $B$）后，输出噪声功率为 $N_0 B$。

2.6 用 DFT 分析一个持续时间为 $T = 1,\text{ms}$ 的信号，要求频率分辨率为 $\Delta f = 100,\text{Hz}$。求：

(a) 最少采样点数 $N$
(b) 若采样率 $f_s = 10,\text{kHz}$，实际频率分辨率

2.7 带通信号 $x(t) = m(t)\cos(2\pi f_c t)$，其中 $m(t)$ 是带宽为 $W$ 的基带信号。写出 $x(t)$ 的复包络 $\tilde{x}(t)$，并求 $x(t)$ 的频谱 $X(f)$（用 $M(f)$ 表示）。

📖 参考文献
Haykin, S. & Moher, M. Communication Systems, 5th Ed., Wiley.
Proakis, J.G. & Salehi, M. Fundamentals of Communication Systems, 2nd Ed., Pearson.
Oppenheim, A.V. & Willsky, A.S. Signals and Systems, 2nd Ed., Pearson.
Lathi, B.P. & Ding, Z. Modern Digital and Analog Communication Systems, 5th Ed., Oxford.

第 2 章 信号与系统回顾 / Signal & System Review#

2.1 引言#

2.2 信号的分类#

2.2.1 确知信号与随机信号#

2.2.2 连续信号与离散信号#

2.2.3 周期信号与非周期信号#

2.2.4 能量信号与功率信号#

2.3 Fourier 分析#

2.3.1 Fourier 级数（周期信号）#

2.3.2 Fourier 变换（非周期信号）#

2.3.3 常用 Fourier 变换对#

2.3.4 Fourier 变换重要性质#

2.4 线性时不变（LTI）系统#

2.4.1 定义#

2.4.2 冲激响应与卷积#

2.4.3 系统的因果性与稳定性#

2.5 Laplace 变换与系统函数#

2.5.1 定义#

2.5.2 零极点分析#

2.5.3 常见系统阶次#

2.6 采样定理#

2.6.1 Nyquist 采样定理#

2.6.2 采样过程的频域分析#

2.6.3 理想重建#

2.7 离散时间信号与系统#

2.7.1 Z 变换#

2.7.2 常用 Z 变换对#

2.7.3 Z 变换性质#

2.8 离散 Fourier 变换（DFT）#

2.8.1 定义#

2.8.2 DFT 性质#

2.8.3 快速 Fourier 变换（FFT）#

2.9 带通信号与低通等效#

2.9.1 带通信号表示#

2.9.2 复包络#

2.9.3 Hilbert 变换#

2.10 系统带宽#

2.10.1 常见带宽定义#

2.10.2 带宽与码元速率#

2.11 随机信号基础#

2.11.1 平稳随机过程#

2.11.2 功率谱密度（PSD）#

2.11.3 白噪声#

2.12 本章小结#

习题#

基础题#

进阶题#