第 5 章 信道容量 / Channel Capacity

4.1 引言

信道容量（Channel Capacity）是信息论的基石概念，定义了在给定信道条件下，能够实现任意小误码率传输的最大信息速率。对于无线通信工程师而言，信道容量不仅是一条理论上限，更是系统设计的北极星——调制编码方案（MCS, Modulation and Coding Scheme）、多天线技术、频谱规划等核心决策均围绕"逼近容量"这一目标展开。

1948 年，Claude Shannon 在其划时代论文《A Mathematical Theory of Communication》中首次给出了信道容量的数学表达。此后七十余年，从模拟电视到 5G NR，每一次无线通信技术的飞跃，本质上都是对香农极限的一次更精确的逼近。

flowchart TD
    A["信道模型 Channel Model"] --> B["容量计算 Capacity Calculation"]
    B --> C{"信道类型?"}
    C -->|"加性高斯白噪声
AWGN"| D["香农公式
C = B log₂(1+SNR)"]
    C -->|"平坦衰落
Flat Fading"| E["中断容量 / 遍历容量"]
    C -->|"频率选择性
Frequency Selective"| F["注水功率分配"]
    C -->|"MIMO"| G["空间复用增益"]
    D --> H["系统设计目标"]
    E --> H
    F --> H
    G --> H
    H --> I["逼近香农极限
Approaching Shannon Limit"]
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    style C fill:#16213e,color:#fff,stroke:#fff
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4.2 香农公式

4.2.1 连续信道的容量

对于带宽为 $B$（Hz）、信号功率为 $S$（W）、噪声功率谱密度为 $N_0$（W/Hz）的加性高斯白噪声信道（AWGN, Additive White Gaussian Noise），香农给出了信道容量的经典公式：

$$ C = B \log_2!\left(1 + \frac{S}{N_0 B}\right) = B \log_2(1 + \text{SNR}) \quad [\text{bit/s}] $$

其中 $\text{SNR} = S / (N_0 B)$ 为信噪比（Signal-to-Noise Ratio）。该公式的物理含义极为丰富：

4.2.2 功率受限 vs 带宽受限

在实际工程中，系统往往面临两种约束：

功率受限（Power-Limited）场景：SNR 很低（如深空通信、卫星下行），此时 $\text{SNR} \ll 1$：

$$ C \approx \frac{S}{N_0 \ln 2} \approx 1.44 \frac{S}{N_0} $$

容量与带宽几乎无关，仅取决于信号功率与噪声功率谱密度的比值。这意味着低 SNR 时，扩展带宽的收益极小，应优先提升发射功率或降低噪声系数。

带宽受限（Bandwidth-Limited）场景：SNR 较高（如微波回传、室内 Wi-Fi），增加带宽带来的增益远大于提升功率。

定义频谱效率（Spectral Efficiency）为：

$$ \eta = \frac{C}{B} = \log_2(1 + \text{SNR}) \quad [\text{bit/s/Hz}] $$

这便是每赫兹带宽能承载的最大比特率，是衡量无线系统性能的核心指标之一。

4.2.3 香农公式的工程极限

当带宽无限扩展（$B \to \infty$），容量趋于一个上界：

$$ C_\infty = \lim_{B \to \infty} B \log_2!\left(1 + \frac{S}{N_0 B}\right) = \frac{S}{N_0 \ln 2} $$

这揭示了无限带宽并不能带来无限容量——最终瓶颈在于总能量 $S$ 与噪声谱密度 $N_0$ 之比。对于 $\text{SNR} = 10$ dB（即线性值 10），不同带宽下的容量增长曲线呈现出明显的饱和趋势。

flowchart LR
    A["实际系统
Practical System"] --> B{"与香农极限的差距"}
    B -->|"约 1-2 dB"| C["Turbo / LDPC 码
接近容量"]
    B -->|"约 6-10 dB"| D["未编码 / 简单编码
远离容量"]
    C --> E["系统优化方向"]
    D --> E
    E --> F["提升编码增益
提升 SNR
增加带宽"]
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    style B fill:#16213e,color:#fff,stroke:#fff
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    style E fill:#1a1a2e,color:#fff,stroke:#fff
    style F fill:#e94560,color:#fff,stroke:#fff

4.3 AWGN 信道容量

4.3.1 离散时间模型

在离散时间基带模型中，接收信号为：

$$ y[k] = x[k] + n[k] $$

其中 $x[k]$ 为发送符号，满足功率约束 $E[|x[k]|^2] \leq P$；$n[k] \sim \mathcal{CN}(0, N_0)$ 为复高斯噪声。离散时间 AWGN 信道的容量为：

$$ C_{\text{discrete}} = \log_2(1 + \text{SNR}) \quad [\text{bit/channel use}] $$

4.3.2 达到容量的输入分布

Shannon 证明了当输入为高斯分布时，AWGN 信道的互信息达到最大值。换言之，$x[k] \sim \mathcal{CN}(0, P)$ 是最优输入分布。工程实践中，我们无法发送真正的高斯信号，但通过容量可达码（capacity-achieving codes），如 Turbo 码、LDPC 码和 Polar 码，可以在有限复杂度下逼近理论容量。

工程注记：3GPP 从 5G NR 开始在控制信道采用 Polar 码，在数据信道采用 LDPC 码，正是基于"逼近不同场景下信道容量"的考量。Polar 码是已知唯一被严格证明可以达到二进制输入信道容量的编码方案。

4.4 衰落信道容量

实际无线信道并非静态 AWGN——信号经历多径衰落（Multipath Fading），信道增益随时间和频率随机变化。此时"容量"不再是单一数值，而需要新的定义框架。

4.4.1 信道模型

考虑平坦衰落信道（Flat Fading Channel）：

$$ y[k] = h[k] \cdot x[k] + n[k] $$

其中 $h[k]$ 为归一化复信道增益（$E[|h[k]|^2] = 1$），服从瑞利（Rayleigh）或莱斯（Rician）分布。瞬时 SNR 为：

$$ \gamma[k] = |h[k]|^2 \cdot \bar{\gamma} $$

其中 $\bar{\gamma} = P / N_0$ 为平均 SNR。

4.4.2 遍历容量（Ergodic Capacity）

当信道经历充分的时间分集，即编码跨越大量独立衰落块时，容量由互信息的期望决定：

$$ C_{\text{ergodic}} = E_h!\left[\log_2(1 + |h|^2 \bar{\gamma})\right] $$

对于瑞利衰落（$|h|^2$ 服从指数分布），遍历容量有闭式解：

$$ C_{\text{ergodic}} = \frac{e^{1/\bar{\gamma}}}{\ln 2} , E_1!\left(\frac{1}{\bar{\gamma}}\right) $$

其中 $E_1(\cdot)$ 为指数积分函数。

工程含义：遍历容量适用于"无限时延容忍"场景——通过足够长的交织和编码，将所有信道状态"平均化"，获得稳定的速率保证。

4.4.3 中断容量（Outage Capacity）

在时延敏感场景（如语音、实时视频），编码无法跨越足够多的衰落块，系统必须在当前信道状态下即时传输。当瞬时容量低于所需速率 $R$ 时，发生中断（Outage）：

$$ P_{\text{out}}(R) = \Pr!\left[\log_2(1 + |h|^2 \bar{\gamma}) < R\right] $$

中断容量 $C_{\text{out}}(p)$ 定义为在给定中断概率 $p$ 下可保证的最大速率：

$$ C_{\text{out}}(p) = \max{R : P_{\text{out}}(R) \leq p} $$

对于瑞利衰落，瞬时 SNR $\gamma = |h|^2 \bar{\gamma}$ 服从指数分布，中断概率为：

$$ P_{\text{out}}(R) = 1 - e^{-\gamma_{\min}/\bar{\gamma}}, \quad \gamma_{\min} = 2^R - 1 $$

flowchart TD
    A["衰落信道
Fading Channel"] --> B{"时延约束?"}
    B -->|"宽松
Long codeword"| C["遍历容量
Ergodic Capacity"]
    B -->|"严格
Short codeword"| D["中断容量
Outage Capacity"]
    C --> E["E_h[log₂(1+γ)]"]
    D --> F["P_out = Pr[C < R]"]
    C --> G["适用：eMBB 大数据传输
非实时业务"]
    D --> H["适用：URLLC 超可靠通信
语音 / 实时控制"]
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    style C fill:#0f3460,color:#fff,stroke:#fff
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    style G fill:#0f3460,color:#fff,stroke:#fff
    style H fill:#533483,color:#fff,stroke:#fff

4.4.4 遍历容量 vs 中断容量：工程权衡

衰落信道相对于 AWGN 存在容量损失（capacity loss），这是多径随机性带来的固有代价。分集技术（Diversity）——包括时间分集、频率分集和空间分集——是缩小这一差距的关键手段。

4.5 频率选择性衰落信道的容量

当信道带宽大于相干带宽（Coherence Bandwidth）时，信号经历频率选择性衰落（Frequency Selective Fading）。此时信道可建模为有限冲激响应（FIR）滤波器：

$$ y[k] = \sum_{l=0}^{L-1} h[l] , x[k-l] + n[k] $$

4.5.1 频域分解

利用正交频分复用（OFDM）技术，将宽带信道分解为 $N$ 个并行的窄带子信道。在第 $i$ 个子载波上：

$$ Y_i = H_i , X_i + N_i, \quad i = 0, 1, \ldots, N-1 $$

其中 $H_i$ 为子载波 $i$ 的频域信道响应。总容量为各子信道容量之和：

$$ C = \sum_{i=0}^{N-1} \log_2!\left(1 + \frac{P_i |H_i|^2}{N_0}\right) $$

4.5.2 注水功率分配

在总功率约束 $\sum_i P_i \leq P$ 下，最优功率分配遵循注水原理（Water-filling Principle）：

$$ P_i^{\star} = \max!\left(0,; \mu - \frac{N_0}{|H_i|^2}\right) $$

其中 $\mu$ 为满足总功率约束的注水水位（water level）。直觉上，功率应集中在信道增益大（衰落浅）的子载波上，而在信道增益小的子载波上分配零功率——就像往凹凸不平的地板上注水，水自然流向低处。

$$ P_i^{\star} = \left(\mu - \frac{N_0}{|H_i|^2}\right)^+ $$

工程注记：LTE 和 5G NR 中的自适应调制编码（AMC, Adaptive Modulation and Coding）可视为注水原理的简化实现——系统根据每个子载波的信道质量指示（CQI）动态选择调制阶数和编码率，好信道用高阶调制，差信道用低阶调制或跳过。

flowchart LR
    A["宽带信道
H(f)"] --> B["OFDM 分解
N 个子载波"]
    B --> C["各子载波
CQI 反馈"]
    C --> D["注水功率分配
Water-filling"]
    D --> E["自适应调制编码
AMC"]
    E --> F["逼近频率选择性
信道容量"]
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    style E fill:#0f3460,color:#fff,stroke:#fff
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4.6 MIMO 信道容量

多输入多输出（MIMO, Multiple-Input Multiple-Output）技术是现代无线通信最重要的突破之一。通过在发射端和接收端部署多个天线，MIMO 可以显著提升信道容量而无需增加带宽或功率。

4.6.1 MIMO 信号模型

考虑 $M_t$ 根发射天线、$M_r$ 根接收天线的 MIMO 系统：

$$ \mathbf{y} = \mathbf{H} \mathbf{x} + \mathbf{n} $$

其中 $\mathbf{H} \in \mathbb{C}^{M_r \times M_t}$ 为信道矩阵，$\mathbf{x} \in \mathbb{C}^{M_t}$ 为发射向量，$\mathbf{n} \in \mathbb{C}^{M_r}$ 为噪声向量。

4.6.2 发射端已知信道（CSIT）

当发射端已知信道状态信息（CSIT, Channel State Information at Transmitter）时，通过对 $\mathbf{H}$ 进行奇异值分解（SVD）：

$$ \mathbf{H} = \mathbf{U} \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{V}^H $$

其中 $\boldsymbol{\Sigma} = \text{diag}(\sigma_1, \sigma_2, \ldots, \sigma_r)$，$r = \min(M_t, M_r)$ 为信道秩（rank）。MIMO 信道被分解为 $r$ 个并行的独立子信道，容量为：

$$ C = \sum_{i=1}^{r} \log_2!\left(1 + \frac{P_i \sigma_i^2}{N_0}\right) $$

在等功率分配且高 SNR 条件下，容量近似为：

$$ C \approx \min(M_t, M_r) \cdot \log_2(1 + \text{SNR}) $$

相比单天线系统的 $\log_2(1 + \text{SNR})$，MIMO 带来了 $\min(M_t, M_r)$ 倍的空间复用增益（Spatial Multiplexing Gain），这是 MIMO 术语中"自由空间中容量线性增长"的核心含义。

4.6.3 发射端未知信道（No CSIT）

当发射端未知信道时，采用等功率分配是最优策略：

$$ C = \log_2 \det!\left(\mathbf{I}_{M_r} + \frac{\bar{\gamma}}{M_t} \mathbf{H} \mathbf{H}^H\right) $$

在独立同分布（i.i.d.）瑞利衰落环境下，遍历容量为：

$$ C_{\text{ergodic}} = E!\left[\log_2 \det!\left(\mathbf{I}_{M_r} + \frac{\bar{\gamma}}{M_t} \mathbf{H} \mathbf{H}^H\right)\right] $$

4.6.4 MIMO 增益的三个方面

MIMO 技术本质上提供三种增益，系统设计时需权衡：

flowchart TD
    A["MIMO 天线阵列"] --> B["空间复用
Spatial Multiplexing"]
    A --> C["空间分集
Spatial Diversity"]
    A --> D["波束成形
Beamforming"]
    B --> E["容量 × min(Mt,Mr)"]
    C --> F["中断概率降低"]
    D --> G["等效 SNR 提升"]
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4.7 信道容量与频谱效率

4.7.1 频谱效率的定义

频谱效率（Spectral Efficiency）定义为单位带宽上的信息传输速率：

$$ \eta = \frac{R}{B} \quad [\text{bit/s/Hz}] $$

其中 $R$ 为实际传输速率，$B$ 为占用带宽。由香农公式可知，理论上限为：

$$ \eta_{\max} = \log_2(1 + \text{SNR}) \quad [\text{bit/s/Hz}] $$

4.7.2 调制效率对比

结合编码率 $R_c$，实际频谱效率为 $\eta = m \cdot R_c$（$m$ 为调制阶数比特数）。例如 5G NR 中 256-QAM + $R_c = 0.925$ 的组合可达 $\eta \approx 7.4$ bit/s/Hz。

4.7.3 频谱效率与能量效率的折中

香农公式揭示了一个基本折中：在固定速率下，频谱效率与能量效率（Energy Efficiency）不可同时最优化。定义归一化能量效率为每比特能量与噪声谱密度之比：

$$ \frac{E_b}{N_0} = \frac{\text{SNR}}{\eta} = \frac{2^\eta - 1}{\eta} $$

当 $\eta \to 0$ 时，$E_b/N_0 \to \ln 2 \approx -1.59$ dB，这便是著名的香农极限（Shannon Limit）——任何通信系统每比特所需能量不可能低于 $-1.59$ dB。提高频谱效率意味着指数级增长的能量开销。

4.8 工程应用：5G NR 的频谱效率目标

4.8.1 5G 三大场景与容量需求

5G NR（New Radio）定义了三大应用场景，对信道容量的需求各不相同：

flowchart TD
    A["5G NR
三大场景"] --> B["eMBB
增强移动宽带"]
    A --> C["URLLC
超可靠低时延"]
    A --> D["mMTC
海量机器通信"]
    B --> E["追求极致频谱效率
高阶 MIMO / 毫米波"]
    C --> F["追求中断容量保障
短包极化码 / 冗余"]
    D --> G["追求低功耗接入
窄带 / 重复传输"]
    style A fill:#1a1a2e,color:#fff,stroke:#fff
    style B fill:#0f3460,color:#fff,stroke:#fff
    style C fill:#0f3460,color:#fff,stroke:#fff
    style D fill:#0f3460,color:#fff,stroke:#fff
    style E fill:#e94560,color:#fff,stroke:#fff
    style F fill:#e94560,color:#fff,stroke:#fff
    style G fill:#e94560,color:#fff,stroke:#fff

4.8.2 5G NR 频谱效率目标

根据 ITU-R M.2410 报告，5G NR 的频谱效率目标相比 4G LTE 提升约 3 倍：

注：峰值频谱效率的绝对值看似相同，但 5G NR 支持更大带宽（毫米波可达 400 MHz）和更多天线（Massive MIMO 可达 64T64R），因此总吞吐量大幅提升。

4.8.3 Massive MIMO 的容量增益

Massive MIMO（大规模天线阵列）是 5G NR 达到频谱效率目标的核心使能技术。当天线数 $M$ 足够大时（$M \gg 1$），信道矩阵趋向正交，容量近似为：

$$ C \approx M \cdot \log_2(1 + \text{SNR}) $$

在 TDD（时分双工）系统中，利用信道互易性（Channel Reciprocity），基站可通过上行探测参考信号（SRS）估计信道，无需下行反馈完整的 CSI，大幅降低信令开销。

实际部署中，典型配置为 64T64R（64 发 64 收），可同时服务 16-24 个用户（MU-MIMO），总频谱效率可达 50-100 bit/s/Hz，是单天线系统的数十倍。

4.8.4 从容量到实际吞吐量

将理论容量转化为实际系统吞吐量，需要解决一系列工程问题：

$$ \text{实际吞吐量} = \underbrace{C}{\text{理论容量}} \times \underbrace{\eta{\text{codec}}}{\text{编码效率}} \times \underbrace{\eta{\text{sched}}}{\text{调度效率}} \times \underbrace{\eta{\text{oh}}}{\text{开销扣除}} \times \underbrace{\eta{\text{harq}}}_{\text{重传损失}} $$

典型值：LDPC 码可逼近香农限至 0.5-1.5 dB，调度效率约 80-95%，控制信令开销约 10-20%，HARQ 重传损失约 5-15%。综合来看，实际系统可达理论容量的 50-70%。

4.9 小结

本章从香农公式出发，系统介绍了无线通信中的信道容量理论及其工程应用：

1. 香农公式 $C = B\log_2(1+\text{SNR})$ 确立了通信速率的基本上限，是所有通信系统设计的理论基准
2. AWGN 信道 是最基础的信道模型，高斯输入分布达到容量，现代编码技术（LDPC、Polar）可在 0.5 dB 内逼近极限
3. 衰落信道 引入遍历容量与中断容量的概念，分别对应时延宽松和时延敏感两种工程场景
4. 频率选择性信道 通过 OFDM 分解和注水功率分配实现容量最大化，AMC 是其工程简化实现
5. MIMO 技术 提供空间复用增益，使容量随天线数线性增长，是 4G/5G 系统的核心技术
6. 5G NR 通过 Massive MIMO、高阶调制和先进编码，将频谱效率提升至 LTE 的约 3 倍

信道容量理论告诉我们"最好能有多好"，而工程师的工作则是设计实际系统来尽可能接近这个理论极限。从 Shannon 到 5G，这条逼近之路已经走了七十多年，仍在继续。