第 8 章 信道编码 / Channel Coding

无线信道中的噪声、衰落和干扰使得接收端不可避免地出现误码。信道编码（Channel Coding）的核心目标是在有限的发送功率和带宽资源下，通过引入可控的冗余，尽可能可靠地恢复原始信息。本章从工程应用视角出发，系统介绍无线通信中主流的信道编码方案。

7.1 无线信道编码的特殊需求

与有线信道不同，无线信道具有两个显著特征：

1. 深衰落（Deep Fading）：信号幅度可能瞬时下降 20–30 dB，导致连续突发错误（Burst Errors）。
2. 功率受限：移动终端电池容量有限，无法通过无限提高发射功率来换取可靠性。

因此，无线信道编码需要同时关注两个指标：

• 编码增益（Coding Gain）：在相同误码率（BER）下，编码系统相比未编码系统所节省的 $E_b/N_0$（dB）。例如，某编码方案在 $\text{BER}=10^{-5}$ 处提供 7 dB 编码增益，意味着发送功率可以降低约 5 倍。
• 编码率（Code Rate）：$R_c = k/n$，其中 $k$ 为信息比特数，$n$ 为编码后比特数。$R_c$ 越低，冗余越多，纠错能力越强，但频谱效率（Spectral Efficiency）越低。

香农信道容量定理告诉我们，只要传输速率 $R < C$（信道容量），就存在某种编码方案使误码率任意小：

$$C = B \log_2\left(1 + \frac{S}{N}\right)$$

其中 $B$ 为带宽，$S/N$ 为信噪比。信道编码的全部工程努力，本质上就是逼近香农极限（Shannon Limit）。

flowchart TD
    A["原始信息比特
k bits"] --> B["信道编码器
Channel Encoder"]
    B --> C["编码后比特
n bits (Rc = k/n)"]
    C --> D["调制
Modulation"]
    D --> E["无线信道
衰落 + 噪声"]
    E --> F["解调
Demodulation"]
    F --> G["信道译码器
Channel Decoder"]
    G --> H["恢复信息比特
k bits"]
    style A fill:#2d3748,stroke:#e2e8f0,color:#fff
    style B fill:#2b6cb0,stroke:#e2e8f0,color:#fff
    style C fill:#2d3748,stroke:#e2e8f0,color:#fff
    style D fill:#2b6cb0,stroke:#e2e8f0,color:#fff
    style E fill:#9b2c2c,stroke:#e2e8f0,color:#fff
    style F fill:#2b6cb0,stroke:#e2e8f0,color:#fff
    style G fill:#2b6cb0,stroke:#e2e8f0,color:#fff
    style H fill:#2d3748,stroke:#e2e8f0,color:#fff

7.2 卷积码（Convolutional Codes）

卷积码是无线通信中应用最广泛的编码方案之一，广泛用于 2G（GSM）、3G（WCDMA）以及卫星通信等系统。

7.2.1 编码器结构

卷积码编码器由移位寄存器和模-2 加法器（异或门）组成。一个 $(n, k, K)$ 卷积码的参数含义为：

• $k$：每次输入的信息比特数
• $n$：每次输出的编码比特数
• $K$：约束长度（Constraint Length），编码器中移位寄存器的总级数加 1

编码率 $R_c = k/n$。以最常用的 $(2, 1, 7)$ 卷积码为例（$R_c = 1/2$，$K=7$），编码器包含 6 级移位寄存器，两个生成多项式分别为：

$$g_1(D) = 1 + D^2 + D^3 + D^5 + D^6$$ $$g_2(D) = 1 + D + D^2 + D^3 + D^6$$

每输入 1 个比特，输出 2 个比特，分别由两个生成多项式计算得到。

flowchart LR
    IN["输入 x"] --> S0["S0"]
    S0 --> S1["S1"]
    S1 --> S2["S2"]
    S2 --> S3["S3"]
    S3 --> S4["S4"]
    S4 --> S5["S5"]
    S0 --> G1["⊕"]
    S2 --> G1
    S3 --> G1
    S5 --> G1
    G1 --> Y1["输出 y1"]
    S0 --> G2["⊕"]
    S1 --> G2
    S2 --> G2
    S3 --> G2
    S5 --> G2
    G2 --> Y2["输出 y2"]
    style IN fill:#2d3748,stroke:#e2e8f0,color:#fff
    style S0 fill:#2d3748,stroke:#e2e8f0,color:#fff
    style S1 fill:#2d3748,stroke:#e2e8f0,color:#fff
    style S2 fill:#2d3748,stroke:#e2e8f0,color:#fff
    style S3 fill:#2d3748,stroke:#e2e8f0,color:#fff
    style S4 fill:#2d3748,stroke:#e2e8f0,color:#fff
    style S5 fill:#2d3748,stroke:#e2e8f0,color:#fff
    style G1 fill:#2b6cb0,stroke:#e2e8f0,color:#fff
    style G2 fill:#2b6cb0,stroke:#e2e8f0,color:#fff
    style Y1 fill:#276749,stroke:#e2e8f0,color:#fff
    style Y2 fill:#276749,stroke:#e2e8f0,color:#fff

7.2.2 状态图与网格图

编码器有 $2^{K-1}$ 个状态。对于 $(2,1,7)$ 码，状态数为 $2^6 = 64$。状态图（State Diagram）和网格图（Trellis Diagram）是分析卷积码的重要工具：

• 状态图：描述状态之间的转移关系及对应输出
• 网格图：将状态转移按时间展开，用于可视化译码过程

7.2.3 Viterbi 译码

Viterbi 算法是一种最大似然（ML，Maximum Likelihood）译码算法，通过网格图搜索与接收序列距离最小的路径。其核心思想是：

1. 在每个时间单元，计算到达每个状态的分支度量（Branch Metric）
2. 对每个状态，选择累积度量最小的路径（幸存路径，Survivor Path）
3. 回溯（Traceback）得到译码结果

对于硬判决（Hard Decision），分支度量使用汉明距离（Hamming Distance）；对于软判决（Soft Decision），使用欧氏距离（Euclidean Distance）。软判决通常能额外带来约 2 dB 的编码增益。

工程要点：Viterbi 译码器的复杂度随约束长度指数增长。实际系统中 $K$ 通常不超过 9，因此卷积码的纠错能力存在上限——这直接催生了对更强编码方案（Turbo 码、LDPC 码）的需求。

7.3 Turbo 码（Turbo Codes）

1993 年，Berrou、Glavieux 和 Thitimajshima 发表了 Turbo 码，宣称在 $R_c = 1/2$ 下距香农极限仅 0.5 dB，震惊了编码学界。Turbo 码是 3G（WCDMA、CDMA2000）和 4G LTE 上行链路的核心编码方案。

7.3.1 并行级联结构

Turbo 码的核心创新在于**并行级联卷积码（PCCC，Parallel Concatenated Convolutional Code）加交织器（Interleaver）**的组合：

flowchart TD
    U["信息序列 u"] --> ENC1["RSC 编码器 1"]
    U --> Pi["交织器
Interleaver"]
    Pi --> ENC2["RSC 编码器 2"]
    ENC1 --> P1["校验位 p₁"]
    ENC2 --> P2["校验位 p₂"]
    U --> MUX["复用 / 打孔"]
    P1 --> MUX
    P2 --> MUX
    MUX --> OUT["编码输出"]
    style U fill:#2d3748,stroke:#e2e8f0,color:#fff
    style ENC1 fill:#2b6cb0,stroke:#e2e8f0,color:#fff
    style ENC2 fill:#2b6cb0,stroke:#e2e8f0,color:#fff
    style Pi fill:#9b2c2c,stroke:#e2e8f0,color:#fff
    style P1 fill:#2d3748,stroke:#e2e8f0,color:#fff
    style P2 fill:#2d3748,stroke:#e2e8f0,color:#fff
    style MUX fill:#276749,stroke:#e2e8f0,color:#fff
    style OUT fill:#276749,stroke:#e2e8f0,color:#fff

两个编码器均采用递归系统卷积码（RSC，Recursive Systematic Convolutional Code）。信息序列直接作为系统位输出，两个 RSC 编码器分别产生校验位 $p_1$ 和 $p_2$。通过打孔（Puncturing）可以灵活调整编码率。

7.3.2 交织器的作用

交织器对输入比特进行伪随机重排，使得两个 RSC 编码器面对的是同一组信息比特的不同排列。其关键作用：

• 打散突发错误：将信道中的连续错误分散到不同的译码迭代中
• 增加码字间距离：使 Turbo 码的最小自由距离显著增大
• 交织长度越大，Turbo 码的性能越好（但时延也越大）

7.3.3 迭代译码

Turbo 码采用迭代译码（Iterative Decoding），两个软输入软输出（SISO，Soft-Input Soft-Output）译码器交替工作，通过交换**外信息（Extrinsic Information）**逐步提升译码可靠度：

flowchart LR
    DEC1["SISO 译码器 1"] -->|"外信息"| INT["交织"]
    INT --> DEC2["SISO 译码器 2"]
    DEC2 -->|"外信息"| DEINT["解交织"]
    DEINT --> DEC1
    style DEC1 fill:#2b6cb0,stroke:#e2e8f0,color:#fff
    style DEC2 fill:#2b6cb0,stroke:#e2e8f0,color:#fff
    style INT fill:#2d3748,stroke:#e2e8f0,color:#fff
    style DEINT fill:#2d3748,stroke:#e2e8f0,color:#fff

通常 6–8 次迭代即可收敛。译码复杂度高于 Viterbi，但编码增益可达 8–10 dB。

工程注意事项：Turbo 码存在**误码平底（Error Floor）**现象——在 BER 降到 $10^{-5} \sim 10^{-6}$ 量级后，曲线斜率明显变缓。这在需要极低误码率的应用（如数据传输）中是重要限制。

7.4 LDPC 码（Low-Density Parity-Check Codes）

LDPC 码由 Gallager 于 1962 年提出，但受限于当时的计算能力而被遗忘，直到 1990 年代被重新发现。LDPC 码是 4G LTE 下行链路、5G NR 数据信道、Wi-Fi 6（802.11ax）以及 DVB-S2 等标准的核心编码方案。

7.4.1 基本原理

LDPC 码是一种线性分组码（Linear Block Code），其校验矩阵（Parity-Check Matrix）$\mathbf{H}$ 中 “1” 的密度很低。一个 $(n, k)$ LDPC 码满足：

$$\mathbf{H} \cdot \mathbf{c}^T = \mathbf{0}$$

其中 $\mathbf{c}$ 为码字向量，$\mathbf{H}$ 为 $(n-k) \times n$ 的稀疏矩阵。

LDPC 码可以用 **Tanner 图（Tanner Graph）**直观表示，包含两类节点：

• 变量节点（Variable Node）：对应码字中的每一个比特
• 校验节点（Check Node）：对应校验方程

flowchart TD
    V1["v₁"] --- C1["c₁"]
    V1 --- C2["c₂"]
    V2["v₂"] --- C1
    V2 --- C3["c₃"]
    V3["v₃"] --- C2
    V3 --- C3
    V4["v₄"] --- C1
    V4 --- C2
    style V1 fill:#2b6cb0,stroke:#e2e8f0,color:#fff
    style V2 fill:#2b6cb0,stroke:#e2e8f0,color:#fff
    style V3 fill:#2b6cb0,stroke:#e2e8f0,color:#fff
    style V4 fill:#2b6cb0,stroke:#e2e8f0,color:#fff
    style C1 fill:#9b2c2c,stroke:#e2e8f0,color:#fff
    style C2 fill:#9b2c2c,stroke:#e2e8f0,color:#fff
    style C3 fill:#9b2c2c,stroke:#e2e8f0,color:#fff

7.4.2 置信传播译码

LDPC 码通常采用**置信传播（BP，Belief Propagation）算法或其简化版本（如最小和算法，Min-Sum）进行译码。译码过程在变量节点和校验节点之间迭代传递对数似然比（LLR，Log-Likelihood Ratio）**消息：

$$L(c_i) = \log \frac{P(c_i = 0 \mid \mathbf{y})}{P(c_i = 1 \mid \mathbf{y})}$$

变量节点更新：收集来自所有相邻校验节点的消息与信道观测值，求和后发送给各校验节点。

校验节点更新：利用 $\tanh$ 函数（或其近似）处理来自变量节点的消息，传递校验约束信息。

7.4.3 LDPC 码的优势

• 可并行译码：BP 算法天然适合硬件并行实现，吞吐量可达数十 Gbps
• 灵活的码长和码率：通过基础矩阵扩展可支持多种参数组合
• 无误码平底：相比 Turbo 码，LDPC 码在高 SNR 区域性能持续改善
• 高度逼近香农极限：精心设计的 LDPC 码可距香农极限仅 0.0045 dB

7.5 Polar 码——5G NR 中的新选择

Polar 码由 Arıkan 于 2009 年提出，是首个被严格证明可达信道容量的编码方案。5G NR 将 Polar 码采纳为控制信道（下行 DCI、上行 UCI）的编码方案。

7.5.1 信道极化

Polar 码的核心思想是信道极化（Channel Polarization）：通过对 $N = 2^n$ 个独立的二进制输入信道进行特定的编码变换，使一部分信道的容量趋近于 1（完美可靠），另一部分趋近于 0（完全不可靠）：

$$\mathbf{G}_N = \mathbf{B}_N \mathbf{F}^{\otimes n}$$

其中 $\mathbf{F} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 1 & 1 \end{bmatrix}$ 为核矩阵，$\mathbf{B}_N$ 为比特反转置换矩阵。

编码过程为：

$$\mathbf{x} = \mathbf{u} \cdot \mathbf{G}_N$$

其中信息比特被放置在可靠信道上，不可靠信道上填充固定的冻结比特（Frozen Bits）（通常为 0）。

7.5.2 译码算法

Polar 码最常用的译码算法是**连续消除（SC，Successive Cancellation）**译码及其改进版本：

• SC 译码：按顺序逐比特判决，复杂度为 $O(N \log N)$
• SCL 译码（SC List）：同时维护 $L$ 条候选路径，选最优路径输出，性能显著优于 SC
• CA-SCL（CRC-Aided SCL）：在编码前添加 CRC 校验，利用 CRC 从 $L$ 条候选路径中选择正确路径，进一步提升性能

flowchart TD
    A["输入信息比特 + CRC"] --> B["信道极化编码
x = u · G_N"]
    B --> C["调制 & 传输"]
    C --> D["接收信号 y"]
    D --> E["SCL 译码
L 条候选路径"]
    E --> F["CRC 校验选择"]
    F --> G["输出译码比特"]
    style A fill:#2d3748,stroke:#e2e8f0,color:#fff
    style B fill:#2b6cb0,stroke:#e2e8f0,color:#fff
    style C fill:#2d3748,stroke:#e2e8f0,color:#fff
    style D fill:#2d3748,stroke:#e2e8f0,color:#fff
    style E fill:#2b6cb0,stroke:#e2e8f0,color:#fff
    style F fill:#9b2c2c,stroke:#e2e8f0,color:#fff
    style G fill:#276749,stroke:#e2e8f0,color:#fff

7.5.3 为什么 5G 选择 Polar 码用于控制信道？

控制信道通常传输短帧（数十至数百比特），在此场景下：

• Turbo 码在短码长下性能不佳
• LDPC 码在短码长下同样受限
• Polar 码在 CA-SCL 译码下对短码长表现优异，且编译码复杂度可控

7.6 编码方案选择指南

不同编码方案的特性对比：

选择建议：

• 高吞吐量数据信道（eMBB）：优先 LDPC 码——天然并行、吞吐量高、无误码平底
• 短帧控制信道：优先 Polar 码——短码性能优异、CA-SCL 译码可靠
• 低复杂度 / 遗留系统：卷积码——实现简单、资源开销小
• 需要高编码增益但容忍误码平底：Turbo 码——成熟方案、3G/4G 广泛部署

7.7 小结

信道编码是无线通信系统可靠性的基石。从经典的卷积码到逼近香农极限的 Turbo 码、LDPC 码和 Polar 码，编码技术的演进始终围绕一个核心命题：以最低的复杂度代价逼近信道容量。

关键要点回顾：

1. 编码增益是衡量编码方案价值的首要指标，在高 SNR 下尤为关键
2. 卷积码通过 Viterbi 译码实现最大似然检测，适合低复杂度场景
3. Turbo 码通过并行级联和迭代译码实现逼近香农极限的性能，但存在误码平底
4. LDPC 码以稀疏校验矩阵和置信传播译码实现极高吞吐量，是现代高速数据信道的首选
5. Polar 码是首个理论可达信道容量的编码方案，在短码场景下性能优异，5G NR 控制信道采用

在实际系统设计中，不存在"万能编码"。工程师需要根据码长、码率、时延要求、硬件资源和目标 BER 等因素，综合选择最合适的编码方案。5G NR 的"双码策略"——数据信道用 LDPC 码、控制信道用 Polar 码——正是这种工程权衡的典型范例。