第 6 章数字调制与检测 / Digital Modulation & Detection

5.1 数字调制概述：从基带到通带

工程问题： 数字信源产生的是 0/1 比特流，而无线信道只能传输电磁波——如何将比特"搬移"到适合天线发射的载波频率上？

数字调制（Digital Modulation）的本质是用离散的基带符号去控制载波（Carrier）的幅度、相位或频率。设载波为：

$$c(t) = A\cos(2\pi f_c t + \phi)$$

调制映射 ${0,1}^k \rightarrow s_i(t)$，共 $M = 2^k$ 个符号。接收端通过检测（Detection）从含噪接收信号 $r(t) = s_i(t) + n(t)$ 中恢复发送符号。

flowchart LR
    A["比特流
{bₙ}"] --> B["符号映射
Symbol Mapper"]
    B --> C["脉冲成形
Pulse Shaping"]
    C --> D["上变频 / 调制
Upconversion"]
    D --> E["信道
Channel"]
    E --> F["下变频
Downconversion"]
    F --> G["匹配滤波
Matched Filter"]
    G --> H["判决
Decision"]
    H --> I["恢复比特
{b̂ₙ}"]
    style A fill:#1565C0,color:#fff
    style B fill:#1565C0,color:#fff
    style C fill:#1565C0,color:#fff
    style D fill:#1565C0,color:#fff
    style E fill:#0D47A1,color:#fff
    style F fill:#1565C0,color:#fff
    style G fill:#1565C0,color:#fff
    style H fill:#1565C0,color:#fff
    style I fill:#1565C0,color:#fff

关键指标：

指标	定义	单位
频谱效率 $\eta$	$\log_2 M$ (bit/s/Hz)	bit/s/Hz
符号能量 $E_s$	每符号平均能量	J
比特能量 $E_b$	$E_s / \log_2 M$	J
误码率 $P_b$	比特错误概率	—

5.2 BPSK — 二进制相移键控

思路： 最简单的相位调制——用两个相位（$0$ 和 $\pi$）分别代表比特 0 和 1。

5.2.1 信号表达式

$$s(t) = \sqrt{\frac{2E_b}{T_b}} \cos(2\pi f_c t + \phi_i), \quad \phi_i \in {0, \pi}, \quad 0 \le t < T_b$$

等效低通（复基带）表示：

$$\tilde{s}(t) = \sqrt{E_b}, g(t) \cdot d_i, \quad d_i \in {+1, -1}$$

其中 $g(t)$ 为成形脉冲（通常为根升余弦，Root Raised Cosine, RRC）。

5.2.2 星座图

BPSK 星座图仅有两个点，分布在实轴上：

$$\mathcal{S} = {+\sqrt{E_b},\ -\sqrt{E_b}}$$

graph LR
    subgraph BPSK 星座图
        A["+√E₈ (bit=0)"] ---|距离 2√E₈| B["-√E₈ (bit=1)"]
    end
    style A fill:#1565C0,color:#fff
    style B fill:#C62828,color:#fff

5.2.3 AWGN 信道误码率

在加性高斯白噪声（Additive White Gaussian Noise, AWGN）信道下，BPSK 的最优检测器为相关接收机（或匹配滤波器），判决门限为 0。

误码率公式：

$$\boxed{P_b = Q!\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right)}$$

其中 $Q(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_x^{\infty} e^{-t^2/2},dt$，$N_0/2$ 为双边功率谱密度。

推导要点： 判决变量 $y = \pm\sqrt{E_b} + n$，其中 $n \sim \mathcal{N}(0, N_0/2)$。两假设等概率时，差错概率即 $Q(\sqrt{2E_b/N_0})$。

5.3 QPSK 与 π/4-QPSK

5.3.1 QPSK（四相移键控, Quadrature PSK）

动机： BPSK 每符号仅传 1 bit，频谱效率低。QPSK 将每 2 bit 映射到 4 个相位，频谱效率翻倍。

信号表达式：

$$s(t) = \sqrt{\frac{E_s}{T_s}}\left[\cos\phi_i \cos(2\pi f_c t) - \sin\phi_i \sin(2\pi f_c t)\right]$$

其中 $\phi_i \in {\pi/4,\ 3\pi/4,\ 5\pi/4,\ 7\pi/4}$。

复基带星座点：

$$\mathcal{S} = \left{\frac{1!+!j}{\sqrt{2}},\ \frac{-1!+!j}{\sqrt{2}},\ \frac{-1!-!j}{\sqrt{2}},\ \frac{1!-!j}{\sqrt{2}}\right}\sqrt{E_s}$$

注意： QPSK 可视为两个正交 BPSK（I 路和 Q 路）的叠加。因此其比特差错率与 BPSK 相同：$P_b = Q(\sqrt{2E_b/N_0})$。

5.3.2 π/4-QPSK

工程问题： QPSK 符号切换时可能出现 $180°$ 相位跳变，导致信号包络过零点，经非线性功放后产生频谱扩展（Spectral Regrowth）。

解决方案： π/4-QPSK 将星座图交替旋转 $45°$，最大相位跳变限制为 $\pm 135°$，避免了过零。

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奇数符号星座:        偶数符号星座:
     ●                    ●
   /   \                /   \
  ●     ●              ●     ●
    \ /                  \ /
     ●                    ●
  (旋转 π/4)           (标准 QPSK)

应用： 北美 IS-136（TDMA 数字蜂窝）、TETRA 集群通信、蓝牙（π/4-DQPSK 变体）。

5.4 M-PSK：多相移键控

5.4.1 通用结构

将 $M = 2^k$ 个符号均匀分布在单位圆上：

$$s_i(t) = \sqrt{\frac{2E_s}{T_s}} \cos!\left(2\pi f_c t + \frac{2\pi i}{M}\right), \quad i = 0, 1, \ldots, M-1$$

星座点坐标：

$$\mathbf{s}_i = \sqrt{E_s}\left(\cos\frac{2\pi i}{M},\ \sin\frac{2\pi i}{M}\right)$$

5.4.2 Gray 编码

核心思想： 相邻星座点之间仅相差 1 bit，使最常见的（邻接）差错仅导致 1 bit 错误。

以 8-PSK 为例（Gray 编码）：

符号序号	相位	Gray 码
0	$0°$	000
1	$45°$	001
2	$90°$	011
3	$135°$	010
4	$180°$	110
5	$225°$	111
6	$270°$	101
7	$315°$	100

5.4.3 误码率（AWGN）

$M$-PSK 在高信噪比下的近似：

$$P_b \approx \frac{2}{\log_2 M} Q!\left(\sqrt{\frac{2E_b \log_2 M}{N_0}} \sin\frac{\pi}{M}\right)$$

工程直觉： $M$ 越大，星座点越密集，抗噪能力越差。$M$-PSK 的代价是功率效率换取频谱效率。

5.5 QAM — 正交幅度调制

关键区别： PSK 仅调相位（星座点在圆上），QAM 同时调幅度和相位（星座点填充整个平面），在相同 $M$ 下可获得更大的最小欧氏距离。

5.5.1 16-QAM 与 64-QAM

16-QAM 星座图（Gray 编码）：

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         Q
         |
  0010  0011  1011  1010
  0000  0001  1001  1000
  0100  0101  1101  1100
  0110  0111  1111  1110
---------|------------→ I

每个符号携带 $\log_2 16 = 4$ bit，频谱效率 $\eta = 4$ bit/s/Hz。

64-QAM： 每符号 6 bit，$\eta = 6$ bit/s/Hz，星座为 $8 \times 8$ 方阵。

5.5.2 频谱效率与功率效率的权衡

$$P_b \approx \frac{4}{\log_2 M}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{M}}\right) Q!\left(\sqrt{\frac{3}{M-1} \cdot \frac{E_b \log_2 M}{N_0}}\right)$$

调制方式	$\log_2 M$	$\eta$ (bit/s/Hz)	$E_b/N_0$ @ $P_b=10^{-5}$
BPSK	1	1	9.6 dB
QPSK	2	2	9.6 dB
16-QAM	4	4	13.4 dB
64-QAM	6	6	17.2 dB
256-QAM	8	8	20.6 dB

设计启示： 从 QPSK 到 256-QAM，频谱效率提升 4 倍，但功率代价约 11 dB——这正是自适应调制（Adaptive Modulation and Coding, AMC）的核心逻辑。

5.6 FSK 与 GMSK

5.6.1 M-FSK（频移键控, Frequency Shift Keying）

用 $M$ 个不同的载波频率表示 $M$ 个符号：

$$s_i(t) = \sqrt{\frac{2E_s}{T_s}} \cos(2\pi f_i t), \quad i = 0, 1, \ldots, M-1$$

频谱效率： $M$-FSK 需要约 $M \cdot R_s$ 的带宽，$\eta = \log_2 M / M$ 随 $M$ 增大而下降——与 PSK/QAM 相反。

但功率效率极好： 非相干 $M$-FSK 的误码率在高 $M$ 时接近 Shannon 极限。

$$P_b \approx \frac{M/2}{M-1} \cdot \frac{1}{2} e^{-E_b/(2N_0)} \quad (\text{非相干, 正交 FSK})$$

5.6.2 MSK 与 GMSK

MSK（Minimum Shift Keying）： 调频指数 $h = 0.5$ 的连续相位 FSK（CPFSK），相位连续变化，包络恒定。

GMSK（Gaussian MSK）： 在 MSK 前对数据流施加高斯低通滤波（带宽-时间积 $BT$），进一步压缩旁瓣。

$$h(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma T} \exp!\left(-\frac{t^2}{2\sigma^2 T^2}\right), \quad \sigma = \frac{\sqrt{\ln 2}}{2\pi BT}$$

$BT = 0.3$：GSM 标准值
优点： 恒包络 → 可用 C 类功放（效率 > 50%）
代价： 码间干扰（ISI）增加，$BT$ 越小 ISI 越严重

GSM 的选择： 1990 年代功放技术有限，GMSK 的恒包络特性使得手机能用高效率非线性功放，显著延长待机时间。

5.7 检测方式：相干、非相干与差分

5.7.1 相干检测（Coherent Detection）

接收端恢复出精确的载波相位 $\phi$，对接收信号做相干解调。

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算法：相干检测（以 BPSK 为例）
输入：接收信号 r(t)，本地载波 cos(2πfₒt + φ̂)
输出：判决比特 b̂

1. r_baseband ← r(t) × 2cos(2πfₒt + φ̂)    // 下变频
2. y ← ∫₀^{T_b} r_baseband(t) · g(t) dt     // 匹配滤波
3. if y ≥ 0 then b̂ ← 0 else b̂ ← 1          // 判决

代价： 需要载波同步环（Costas 环、锁相环），复杂度较高。

5.7.2 非相干检测（Non-coherent Detection）

不恢复载波相位，适用于相位无法精确估计的场景（如快速衰落信道）。

能量检测： 用于 FSK，对各频率支路做能量比较
包络检测： 用于 ASK/OOK

非相干代价约 1–2 dB 的 $E_b/N_0$ 损失。

5.7.3 差分检测（Differential Detection）

用前一符号的相位作为参考，解调当前符号的相位差。

DPSK（Differential PSK）：

$$b_n = \begin{cases} 0, & \phi_n - \phi_{n-1} = 0 \ 1, & \phi_n - \phi_{n-1} = \pi \end{cases}$$

$$P_b(\text{DPSK}) = \frac{1}{2} e^{-E_b/N_0}$$

与相干 BPSK 相比，高 SNR 下仅差约 1 dB。

flowchart TD
    A{"信道条件"} -->|"慢衰落 / 已知信道"| B["相干检测
Coherent"]
    A -->|"快衰落 / 相位未知"| C["差分检测
Differential"]
    A -->|"低成本 / 突发通信"| D["非相干检测
Non-coherent"]
    B --> E["最优性能
复杂度高"]
    C --> F["约 1 dB 损失
中等复杂度"]
    D --> G["约 1-2 dB 损失
复杂度最低"]
    style A fill:#0D47A1,color:#fff
    style B fill:#1565C0,color:#fff
    style C fill:#1565C0,color:#fff
    style D fill:#1565C0,color:#fff
    style E fill:#2E7D32,color:#fff
    style F fill:#F57F17,color:#fff
    style G fill:#C62828,color:#fff

5.8 衰落信道下的误码率性能

现实问题： AWGN 信道的分析结果过于乐观——无线信道存在多径衰落（Multipath Fading），信号幅度随机波动。

5.8.1 Rayleigh 衰落信道

假设信道增益 $h$ 服从 Rayleigh 分布（无直射路径），接收端瞬时信噪比 $\gamma = |h|^2 E_b / N_0$ 服从指数分布。

对 AWGN 下的 $P_b(\gamma)$ 做统计平均：

$$\bar{P}_b(\text{BPSK, Rayleigh}) = \frac{1}{2}\left(1 - \sqrt{\frac{\bar{\gamma}}{1 + \bar{\gamma}}}\right) \approx \frac{1}{4\bar{\gamma}} \quad (\bar{\gamma} \gg 1)$$

其中 $\bar{\gamma} = \mathbb{E}[\gamma]$ 为平均比特信噪比。

惊人发现： AWGN 下 $P_b$ 随 $E_b/N_0$ 指数衰减；Rayleigh 衰落下 $P_b$ 仅反比于 $\bar{\gamma}$（即每 10 dB 增益仅降低一个数量级）——衰落"吃掉"了几十个 dB 的性能！

5.8.2 对策概览

技术	原理	典型增益
分集（Diversity）	多路独立衰落取合并	$L$ 阶分集 → $\bar{P}_b \propto \bar{\gamma}^{-L}$
信道编码（FEC）	引入冗余纠错	编码增益 5–10 dB
OFDM	频域分集 + 消除 ISI	将宽带衰落转为多个窄带平坦衰落
自适应调制（AMC）	根据瞬时信道调整 $M$	维持目标 BER 同时最大化吞吐量

5.9 工程应用：LTE / 5G 中的调制方案选择

5.9.1 LTE（4G）

LTE 采用 OFDMA 下行 / SC-FDMA 上行，调制方案由 eNodeB 通过下行控制信息（DCI）动态调度：

调制	应用场景	MCS 索引范围
QPSK	小区边缘、低 SNR	MCS 0–9
16-QAM	中等信道质量	MCS 10–16
64-QAM	近基站、高 SNR	MCS 17–28

5.9.2 5G NR（New Radio）

5G NR 在 LTE 基础上扩展了更高阶调制和更灵活的参数配置：

下行： QPSK, 16-QAM, 64-QAM, 256-QAM
上行： QPSK, 16-QAM, 64-QAM, 256-QAM（CP-OFDM）；π/2-BPSK、π/4-QPSK（DFT-s-OFDM，用于覆盖受限场景）
π/2-BPSK： 上行专用低 PAPR 调制，适合物联网/远端终端

flowchart TD
    A["5G NR 调度器
gNB Scheduler"] --> B{"评估信道质量
CQI / RI / PMI"}
    B -->|"SNR < 5 dB"| C["QPSK, R ≈ 1/3
最鲁棒"]
    B -->|"5 dB ≤ SNR < 15 dB"| D["16-QAM, R ≈ 1/2
平衡模式"]
    B -->|"15 dB ≤ SNR < 25 dB"| E["64-QAM, R ≈ 3/4
高吞吐"]
    B -->|"SNR ≥ 25 dB"| F["256-QAM, R ≈ 5/6
峰值速率"]
    style A fill:#0D47A1,color:#fff
    style B fill:#1565C0,color:#fff
    style C fill:#C62828,color:#fff
    style D fill:#F57F17,color:#fff
    style E fill:#2E7D32,color:#fff
    style F fill:#6A1B9A,color:#fff

5.9.3 设计准则总结

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算法：自适应调制选择（简化版）
输入：瞬时 SINR 估计 γ̂，目标 BER = P_target
输出：调制阶数 M*

1. for M in {4, 16, 64, 256} do
2.   γ_req(M) ← 查表或由公式计算满足 P_target 所需的最小 SNR
3.   if γ̂ ≥ γ_req(M) then M* ← M
4. return M*  // 选择满足条件的最大 M

核心原则：

好信道 → 高阶调制（256-QAM）：最大化吞吐量
差信道 → 低阶调制（QPSK）：保证可靠性
功放受限 → 恒包络调制：如 IoT 场景用 π/2-BPSK / GMSK
频谱稀缺 → 高阶 QAM：如毫米波频段用 256-QAM 甚至 1024-QAM（Wi-Fi 7）

本章小结

调制方式	维度	$\eta$ (bit/s/Hz)	包络	典型应用
BPSK	相位	1	非恒定	深空通信、GPS
QPSK / π/4-QPSK	相位	2	非恒定	LTE 控制信道
8-PSK	相位	3	非恒定	EDGE
16/64/256-QAM	幅度+相位	4/6/8	非恒定	LTE/5G 数据信道
GMSK	频率	~1.35	恒定	GSM
π/2-BPSK	相位	1	近恒定	5G NR 上行 IoT

数字调制的核心设计空间是功率效率 vs. 频谱效率 vs. 实现复杂度的三方博弈。理解每种调制在这三个维度上的位置，是无线通信系统工程师的基本功。

延伸阅读：
Goldsmith, Wireless Communications, 2nd Ed., Chapters 5–6
Proakis & Salehi, Digital Communications, 5th Ed., Chapter 4
3GPP TS 38.214, NR; Physical layer procedures for data

第 6 章 数字调制与检测 / Digital Modulation & Detection#

5.1 数字调制概述：从基带到通带#

5.2 BPSK — 二进制相移键控#

5.2.1 信号表达式#

5.2.2 星座图#

5.2.3 AWGN 信道误码率#

5.3 QPSK 与 π/4-QPSK#

5.3.1 QPSK（四相移键控, Quadrature PSK）#

5.3.2 π/4-QPSK#

5.4 M-PSK：多相移键控#

5.4.1 通用结构#

5.4.2 Gray 编码#

5.4.3 误码率（AWGN）#

5.5 QAM — 正交幅度调制#

5.5.1 16-QAM 与 64-QAM#

5.5.2 频谱效率与功率效率的权衡#

5.6 FSK 与 GMSK#

5.6.1 M-FSK（频移键控, Frequency Shift Keying）#

5.6.2 MSK 与 GMSK#

5.7 检测方式：相干、非相干与差分#

5.7.1 相干检测（Coherent Detection）#

5.7.2 非相干检测（Non-coherent Detection）#

5.7.3 差分检测（Differential Detection）#

5.8 衰落信道下的误码率性能#

5.8.1 Rayleigh 衰落信道#

5.8.2 对策概览#

5.9 工程应用：LTE / 5G 中的调制方案选择#

5.9.1 LTE（4G）#

5.9.2 5G NR（New Radio）#

5.9.3 设计准则总结#

本章小结#