第 4 章分集技术 / Diversity Techniques

5.1 分集的基本原理

无线信道中，信号经多径传播产生瑞利衰落 (Rayleigh Fading)，接收信号包络随机波动，深度衰落可能导致通信中断。分集技术的核心思想是：利用多个统计独立的信号副本（副本）来降低同时经历深度衰落的概率。

假设有 $L$ 个独立衰落分支，每个分支的瞬时信噪比 (SNR) 为 $\gamma_l$，中断概率 (Outage Probability) 定义为所有分支 SNR 同时低于阈值 $\gamma_{\text{th}}$ 的概率：

$$ P_{\text{out}} = \prod_{l=1}^{L} \Pr(\gamma_l < \gamma_{\text{th}}) = \left[1 - e^{-\gamma_{\text{th}}/\bar{\gamma}}\right]^L $$

其中 $\bar{\gamma}$ 为每条分支的平均 SNR。当 $L$ 增大时，$P_{\text{out}}$ 急剧下降——这就是分集带来的增益。

flowchart TB
    A["发射信号 s(t)"] --> B["无线衰落信道"]
    B --> C1["副本 1: r₁(t)"]
    B --> C2["副本 2: r₂(t)"]
    B --> C3["副本 L: r_L(t)"]
    C1 --> D["合并器"]
    C2 --> D
    C3 --> D
    D --> E["判决输出"]
    style A fill:#1a1a2e,color:#fff
    style B fill:#16213e,color:#fff
    style D fill:#0f3460,color:#fff
    style E fill:#1a1a2e,color:#fff

分集阶数 (Diversity Order)

分集阶数定义为高 SNR 下中断概率曲线的斜率：

$$ d = -\lim_{\bar{\gamma} \to \infty} \frac{\log P_{\text{out}}(\bar{\gamma})}{\log \bar{\gamma}} $$

对于 $L$ 阶独立分集，$d = L$，即中断概率以 $1/\bar{\gamma}^L$ 的速度衰减，远快于无分集时的 $1/\bar{\gamma}$。

5.2 分集类型

5.2.1 空间分集 (Spatial Diversity)

利用多个空间分离的天线获取独立衰落信号。关键参数是天线间距，需满足：

$$ d \geq \frac{\lambda}{2} $$

其中 $\lambda$ 为载波波长。在基站侧，由于天线位置较高、散射体较少，通常需要更大间距（$10\lambda \sim 20\lambda$）。

分类：

接收分集 (Receive Diversity)：多天线接收，实现简单，广泛用于基站。经典方案为双天线接收 (2-branch MRC)。
发射分集 (Transmit Diversity)：单天线接收、多天线发射，需借助空时编码 (STC, Space-Time Coding)，如 Alamouti 码。

工程提示：手机终端受尺寸限制难以布置多个天线，因此 LTE 上行主要依赖基站接收分集，下行则采用发射分集。

5.2.2 频率分集 (Frequency Diversity)

在不同载波频率上传输相同信息，频率间隔需大于相干带宽 (Coherence Bandwidth)：

$$ \Delta f > B_c \approx \frac{1}{5\sigma_\tau} $$

其中 $\sigma_\tau$ 为时延扩展 (Delay Spread)。典型实现方式包括：

跳频 (FH, Frequency Hopping)：GSM 系统中广泛应用
多载波传输：将数据分散在多个子载波上（OFDM 系统中的编码与交织）

5.2.3 时间分集 (Time Diversity)

在不同时隙传输相同信息，时间间隔需大于相干时间 (Coherence Time)：

$$ \Delta t > T_c \approx \frac{0.423}{f_d} $$

其中 $f_d = v/\lambda$ 为最大多普勒频移。典型实现：

交织编码 (Interleaving + FEC)：将相邻比特打散到不同时隙，配合信道编码纠错
自动重传请求 (ARQ)：重传在时间上产生分集效果

注意：时间分集引入额外延迟，对低时延场景不适用。

5.2.4 极化分集 (Polarization Diversity)

利用正交极化波（如水平/垂直极化、±45° 斜极化）的衰落独立性。优点是不需要大的空间间距，非常适合终端侧空间受限的场景。交叉极化鉴别率 (XPD, Cross-Polarization Discrimination) 通常为 6~15 dB。

flowchart LR
    subgraph 分集类型
        A["空间分集"] --> A1["天线间距 ≥ λ/2"]
        B["频率分集"] --> B1["频率间隔 > 相干带宽"]
        C["时间分集"] --> C1["时间间隔 > 相干时间"]
        D["极化分集"] --> D1["正交极化波"]
    end
    style A fill:#1a1a2e,color:#fff
    style B fill:#16213e,color:#fff
    style C fill:#0f3460,color:#fff
    style D fill:#1a1a2e,color:#fff
    style A1 fill:#2d2d44,color:#fff
    style B1 fill:#2d2d44,color:#fff
    style C1 fill:#2d2d44,color:#fff
    style D1 fill:#2d2d44,color:#fff

5.3 合并技术

分集信号的合并方式直接影响性能。假设第 $l$ 条分支的接收信号为 $r_l = h_l s + n_l$，其中 $h_l$ 为信道增益，$n_l$ 为噪声。

5.3.1 选择合并 (SC, Selection Combining)

选择 SNR 最高的分支输出：

$$ \gamma_{\text{SC}} = \max_{l} \gamma_l $$

对于 $L$ 个独立同分布 (i.i.d.) 瑞利衰落分支，合并后的中断概率：

$$ P_{\text{out,SC}} = \left(1 - e^{-\gamma_{\text{th}}/\bar{\gamma}}\right)^L $$

优点：实现简单，只需选择最优分支。缺点：浪费了其他分支的信号能量。

5.3.2 最大比合并 (MRC, Maximal Ratio Combining)

对每条分支进行加权求和，权重与信道增益成正比、与噪声功率成反比：

$$ w_l = \frac{h_l^*}{N_l} $$

合并后的输出 SNR：

$$ \gamma_{\text{MRC}} = \sum_{l=1}^{L} \gamma_l $$

MRC 是最优的线性合并方式。对 i.i.d. 瑞利衰落，$\gamma_{\text{MRC}}$ 服从 $2L$ 个自由度的 $\chi^2$ 分布（等效于 Gamma 分布），其平均 SNR 为：

$$ \bar{\gamma}_{\text{MRC}} = L \cdot \bar{\gamma} $$

这表明 MRC 不仅提升了分集阶数，还获得了阵列增益 (Array Gain) = $10\log_{10} L$ dB。

5.3.3 等增益合并 (EGC, Equal Gain Combining)

对每条分支进行相位校正后等权求和（不做幅度加权）：

$$ r_{\text{EGC}} = \sum_{l=1}^{L} \frac{h_l}{|h_l|} r_l $$

EGC 的性能接近 MRC，但省去了对信道幅度的估计，在 DPSK 等差分调制方案中特别实用。

合并技术对比

合并方式	输出 SNR	实现复杂度	阵列增益	需要信道估计
SC	$\max_l \gamma_l$	低	无	否
EGC	$\left(\sum_l \sqrt{\gamma_l}\right)^2 / L$	中	部分	仅相位
MRC	$\sum_l \gamma_l$	高	$10\log_{10} L$ dB	是

工程选择：大多数实际系统（LTE、5G NR）在接收端采用 MRC 或其简化版本，因为信道估计导频已为系统所必需。

5.4 分集增益的计算

分集增益 (Diversity Gain) 通常定义为：在相同中断概率下，有分集系统相对于无分集系统所节省的发射功率（dB）。

对于 MRC 合并的 $L$ 阶分集系统，高 SNR 下的平均误码率 (BER) 近似为：

$$ P_b \approx c_L \cdot \left(\frac{1}{\bar{\gamma}}\right)^L $$

其中 $c_L$ 为与调制方式相关的常数。以 BPSK 为例：

无分集 ($L=1$)：$P_b \approx \frac{1}{4\bar{\gamma}}$
2 阶分集 ($L=2$)：$P_b \approx \frac{3}{16\bar{\gamma}^2}$
4 阶分集 ($L=4$)：$P_b \approx \frac{35}{512\bar{\gamma}^4}$

可见 BER 随 SNR 以 $L$ 次方下降，曲线斜率即为分集阶数。

flowchart TB
    A["计算分集增益"] --> B["确定分集阶数 L"]
    B --> C["选择合并方式"]
    C --> D["推导合并后 SNR 分布"]
    D --> E["计算中断概率或 BER"]
    E --> F["与无分集基准比较
得到 dB 增益"]
    style A fill:#1a1a2e,color:#fff
    style B fill:#16213e,color:#fff
    style C fill:#0f3460,color:#fff
    style D fill:#0f3460,color:#fff
    style E fill:#16213e,color:#fff
    style F fill:#1a1a2e,color:#fff

5.5 RAKE 接收机：CDMA 中的多径分集

在 CDMA 系统中，宽带信号（码片速率远高于数据速率）使多径分量在时间上可分辨。RAKE 接收机 (Rake Receiver) 利用这一特性实现多径分集 (Multipath Diversity)。

工作原理

RAKE 接收机由多个"指峰 (Finger)“组成，每个指峰锁定一条可分辨的多径分量：

多径搜索器 (Searcher)：持续扫描信道的多径时延谱，识别显著的路径
指峰 (Finger)：对每条路径进行解扩 (Despreading)，估计信道相位和幅度
合并器 (Combiner)：对各指峰输出进行 MRC 合并

flowchart LR
    A["接收宽带信号"] --> B["多径搜索器
识别 L 条路径"]
    B --> F1["指峰 1
延迟 τ₁ 解扩"]
    B --> F2["指峰 2
延迟 τ₂ 解扩"]
    B --> FL["指峰 L
延迟 τ_L 解扩"]
    F1 --> M["MRC 合并"]
    F2 --> M
    FL --> M
    M --> O["判决输出"]
    style A fill:#1a1a2e,color:#fff
    style B fill:#16213e,color:#fff
    style F1 fill:#0f3460,color:#fff
    style F2 fill:#0f3460,color:#fff
    style FL fill:#0f3460,color:#fff
    style M fill:#1a1a2e,color:#fff
    style O fill:#1a1a2e,color:#fff

分集阶数与处理增益

可分辨的路径数取决于信号的带宽 $B$ 与信道时延扩展 $\sigma_\tau$：

$$ L \approx \lfloor B \cdot \sigma_\tau \rfloor + 1 $$

CDMA IS-95 的带宽为 1.25 MHz，典型城市环境中 $\sigma_\tau \approx 2\ \mu\text{s}$，可得 $L \approx 3$，对应 3 阶分集。WCDMA 带宽 5 MHz，可提供更高阶的多径分集。

RAKE vs 均衡器：RAKE 接收机利用多径而非消除多径，是"化敌为友"的典型思路。在 LTE/5G 的 OFDM 体系中，多径分辨由循环前缀 (CP) 和频域均衡承担，RAKE 接收机不再直接使用，但其"多径分集"思想仍然贯穿系统设计。

5.6 分集 vs MIMO

分集技术和 MIMO (Multiple-Input Multiple-Output) 都利用多天线，但目标不同：

特征	分集技术	MIMO (空间复用)
目标	提高链路可靠性	提高频谱效率
数据流	单数据流	多并行数据流
增益类型	分集增益 + 阵列增益	空间复用增益
天线要求	收或发至少一端多天线	两端均多天线
典型技术	MRC, Alamouti STC	V-BLAST, SVD 预编码
速率	$R \leq 1$	$R \leq \min(N_t, N_r)$

分集-复用折中 (Diversity-Multiplexing Tradeoff, DMT) 是 Zheng 和 Tse 提出的统一框架：

$$ d^*(r) = (N_t - r)(N_r - r), \quad r = 0, 1, \ldots, \min(N_t, N_r) $$

其中 $r$ 为复用增益（有效数据速率），$d^*(r)$ 为可达的最大分集增益。当 $r = 0$ 时退化为纯分集，当 $r = \min(N_t, N_r)$ 时为纯空间复用。

工程现实：现代系统（LTE、5G NR）在同一框架下同时支持分集和空间复用模式，通过自适应切换适应信道条件。信道质量好时用空间复用提速率，信道差时退回分集模式保可靠性。

5.7 工程应用：LTE/5G 中的分集方案

5.7.1 LTE 分集方案

发射分集模式 (TM2, Transmission Mode 2)：

LTE 采用 SFBC (Space-Frequency Block Coding)，即 Alamouti 编码在频域的实现。对于双天线端口（Port 0, Port 1）：

子载波 $k$	子载波 $k+1$
天线 0: $s_1$	天线 0: $-s_2^*$
天线 1: $s_2$	天线 1: $s_1^*$

接收端通过简单的线性组合即可恢复 $s_1, s_2$，无需信道状态信息反馈。

接收分集：基站上行默认使用双天线 MRC 接收，提升上行覆盖。

5.7.2 5G NR 分集增强

5G NR 在 LTE 基础上进一步扩展分集能力：

多 TRP 传输 (Multi-TRP)：多个传输接收点同时为同一 UE 服务，实现宏分集 (Macro Diversity)，显著提升可靠性，URLLC 场景目标误包率 $10^{-5}$
面板选择 (Panel Selection)：UE 具备多个天线面板时，网络可选择最优面板组合
PDSCH 重复传输：在时域重复传输，结合跳频获得时间-频率联合分集
CSI-RS 增强导频：更精细的信道估计支持更高阶 MRC

5.7.3 Wi-Fi 中的分集

IEEE 802.11n/ac/ax 均支持多天线分集：

STBC (Space-Time Block Coding)：下行发射分集
接收端 MRC：AP 端标配，终端侧高端芯片支持
TxBF (Transmit Beamforming)：虽属波束赋形，但本质上也获得分集增益

flowchart TB
    A["现代无线系统分集方案"] --> B["LTE"]
    A --> C["5G NR"]
    A --> D["Wi-Fi"]
    B --> B1["TM2: SFBC 发射分集"]
    B --> B2["上行双天线 MRC"]
    C --> C1["Multi-TRP 宏分集"]
    C --> C2["PDSCH 重复 + 跳频"]
    C --> C3["面板选择"]
    D --> D1["STBC 空时编码"]
    D --> D2["AP 端 MRC 接收"]
    D --> D3["TxBF 波束赋形"]
    style A fill:#1a1a2e,color:#fff
    style B fill:#16213e,color:#fff
    style C fill:#0f3460,color:#fff
    style D fill:#1a1a2e,color:#fff
    style B1 fill:#2d2d44,color:#fff
    style B2 fill:#2d2d44,color:#fff
    style C1 fill:#2d2d44,color:#fff
    style C2 fill:#2d2d44,color:#fff
    style C3 fill:#2d2d44,color:#fff
    style D1 fill:#2d2d44,color:#fff
    style D2 fill:#2d2d44,color:#fff
    style D3 fill:#2d2d44,color:#fff

本章小结

分集技术是抵抗无线信道衰落的第一道防线。其核心逻辑——多份独立副本降低同时恶化的概率——看似简单，却在过去数十年中催生了极其丰富的工程实现。从 GSM 的跳频、CDMA 的 RAKE 接收机，到 LTE 的 SFBC、5G NR 的 Multi-TRP，分集的形态不断演进，但本质不变。

关键要点回顾：

分集阶数决定中断概率曲线的斜率，$L$ 阶分集使中断概率以 $1/\bar{\gamma}^L$ 速率衰减
MRC 是最优线性合并，同时提供分集增益和阵列增益
RAKE 接收机将多径干扰转化为多径分集资源，是 CDMA 系统的标志性设计
分集与 MIMO 不是对立关系，而是 DMT 统一框架下的两个端点
现代系统通过模式自适应在分集与空间复用之间动态切换

参考文献

Goldsmith, A. Wireless Communications, 2nd Ed., Cambridge University Press, 2020. Chapter 7: Diversity.
Rappaport, T. S. Wireless Communications: Principles and Practice, 2nd Ed., Prentice Hall, 2002.
3GPP TS 36.211, Physical Channels and Modulation, Release 15.
3GPP TS 38.211, NR; Physical Channels and Modulation, Release 16.
Zheng, L. and Tse, D. N. C., “Diversity and Multiplexing: A Fundamental Tradeoff in Multiple-Antenna Channels,” IEEE Trans. Info. Theory, vol. 49, no. 5, 2003.

第 4 章 分集技术 / Diversity Techniques#

5.1 分集的基本原理#

分集阶数 (Diversity Order)#

5.2 分集类型#

5.2.1 空间分集 (Spatial Diversity)#

5.2.2 频率分集 (Frequency Diversity)#

5.2.3 时间分集 (Time Diversity)#

5.2.4 极化分集 (Polarization Diversity)#

5.3 合并技术#

5.3.1 选择合并 (SC, Selection Combining)#

5.3.2 最大比合并 (MRC, Maximal Ratio Combining)#

5.3.3 等增益合并 (EGC, Equal Gain Combining)#

合并技术对比#

5.4 分集增益的计算#

5.5 RAKE 接收机：CDMA 中的多径分集#

工作原理#

分集阶数与处理增益#

5.6 分集 vs MIMO#

5.7 工程应用：LTE/5G 中的分集方案#

5.7.1 LTE 分集方案#

5.7.2 5G NR 分集增强#

5.7.3 Wi-Fi 中的分集#

本章小结#

参考文献#