第 3 章 小尺度衰落 / Small-Scale Fading

4.1 概述

小尺度衰落（Small-Scale Fading）描述的是无线电信号在短距离（半个波长量级）或短时间内发生的快速幅度、相位和频率波动。与第 3 章讨论的大尺度路径损耗（Path Loss）和阴影衰落（Shadowing）不同，小尺度衰落的根本原因是多径传播（Multipath Propagation）——发射信号经多条路径到达接收端，各路径信号相互叠加，产生建设性或破坏性干涉。

工程直觉： 用户拿着手机走几步，信号强度可能剧烈波动 20–30 dB，这就是小尺度衰落。理解并对抗它，是无线系统设计的核心挑战之一。

graph TB
    A["发射信号 s(t)"] --> B{"多径传播"}
    B -->|"反射 Reflection"| C["路径 1"]
    B -->|"散射 Scattering"| D["路径 2"]
    B -->|"衍射 Diffraction"| E["路径 3"]
    B -->|"直射 LOS"| F["路径 0"]
    C --> G["接收信号 r(t) = Sigma αᵢs(t-τᵢ)e^{jθᵢ}"]
    D --> G
    E --> G
    F --> G
    G --> H{"叠加结果"}
    H -->|"建设性干涉"| I["信号增强 ↑"]
    H -->|"破坏性干涉"| J["信号减弱 ↓"]
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    style B fill:#1a5276,color:#ffffff
    style G fill:#1a5276,color:#ffffff
    style H fill:#1a5276,color:#ffffff
    style I fill:#196f3d,color:#ffffff
    style J fill:#922b21,color:#ffffff

4.2 多径传播的物理机制

4.2.1 反射（Reflection）

当电磁波遇到尺寸远大于波长的物体表面（如地面、建筑墙面、水面）时发生反射。反射波的幅度和相位取决于材料的介电常数和入射角。在城区环境中，反射是最主要的多径来源。

4.2.2 散射（Scattering）

当电磁波遇到尺寸与波长相当或更小的物体（如树叶、路灯杆、粗糙表面、雨滴）时，信号向多个方向散射。散射导致信号能量在空间上扩散，增加多径分量数目。

4.2.3 衍射（Diffraction）

当电磁波遇到障碍物的边缘或楔形结构时，根据惠更斯原理（Huygens’ Principle），信号会"绕过"障碍物进入阴影区。衍射使信号在**非视距（NLOS, Non-Line-of-Sight）**场景下仍可被接收，是覆盖预测中不可忽视的机制。

接收信号的基带等效模型为：

$$r(t) = \sum_{i=1}^{N} \alpha_i(t) , s!\left(t - \tau_i(t)\right) e^{j\theta_i(t)}$$

其中 $\alpha_i$、$\tau_i$、$\theta_i$ 分别为第 $i$ 条路径的幅度衰减、时延和相移，$N$ 为可分辨多径数目。

4.3 衰落信道的统计模型

4.3.1 瑞利衰落（Rayleigh Fading）

当信道中不存在直射路径（LOS），且多径分量数目足够多（通常 $N > 6$）时，根据中心极限定理（CLT），接收信号的实部和虚部均服从零均值高斯分布。此时信号包络 $R = |r|$ 服从瑞利分布：

$$f_R(r) = \frac{2r}{\Omega} \exp!\left(-\frac{r^2}{\Omega}\right), \quad r \geq 0$$

其中 $\Omega = E[R^2]$ 为平均接收功率。

典型场景： 密集城区、室内无直射路径、NLOS 信道。

瑞利分布的概率分布函数（CDF）为：

$$F_R(r) = 1 - \exp!\left(-\frac{r^2}{\Omega}\right)$$

4.3.2 莱斯衰落（Rician Fading）

当信道中存在一条显著的直射路径（LOS）时，接收信号包含一个确定分量加一个随机多径分量。信号包络服从莱斯分布：

$$f_R(r) = \frac{2r(K+1)}{\Omega} \exp!\left(-K - \frac{(K+1)r^2}{\Omega}\right) I_0!\left(2r\sqrt{\frac{K(K+1)}{\Omega}}\right)$$

其中 $I_0(\cdot)$ 为第一类零阶修正贝塞尔函数，$K$ 为莱斯因子（Rician K-factor）：

$$K = \frac{\text{LOS 分量功率}}{\text{散射分量功率}}$$

  • $K = 0$：退化为瑞利衰落（纯散射）
  • $K \to \infty$：趋近无衰落（纯直射）

典型场景： 卫星通信、微蜂窝（Microcell）视距链路、毫米波定点回传。

4.3.3 Nakagami-m 分布

Nakagami-m 分布是一个更通用的经验模型，通过参数 $m$ 灵活拟合不同衰落严重程度：

$$f_R(r) = \frac{2m^m r^{2m-1}}{\Gamma(m)\Omega^m} \exp!\left(-\frac{m r^2}{\Omega}\right)$$

  • $m = 1$：等价于瑞利衰落
  • $m > 1$：衰落程度比瑞利轻（接近莱斯）
  • $m < 1$：衰落程度比瑞利更严重
  • $m \to \infty$：无衰落

Nakagami 分布的优势在于数学处理简便，且能较好地拟合实测数据，在工程分析中被广泛采用。

graph LR
    A["Nakagami-m 分布"] -->|"m = 1"| B["瑞利衰落
(纯 NLOS)"]
    A -->|"m > 1"| C["莱斯衰落
(有 LOS)"]
    A -->|"m < 1"| D["严重衰落
(恶化信道)"]
    A -->|"m → ∞"| E["无衰落
(AWGN)"]
    style A fill:#1a5276,color:#ffffff
    style B fill:#7d3c98,color:#ffffff
    style C fill:#196f3d,color:#ffffff
    style D fill:#922b21,color:#ffffff
    style E fill:#2c3e50,color:#ffffff

4.4 衰落信道的特征参数

4.4.1 时延扩展（Delay Spread）

多径分量到达接收端的时间差构成功率延迟分布（PDP, Power Delay Profile），其统计特征由时延扩展描述。

均方根时延扩展（RMS Delay Spread） $\sigma_\tau$：

$$\sigma_\tau = \sqrt{\overline{\tau^2} - (\bar{\tau})^2}$$

其中：

$$\bar{\tau} = \frac{\sum_k P(\tau_k) \tau_k}{\sum_k P(\tau_k)}, \quad \overline{\tau^2} = \frac{\sum_k P(\tau_k) \tau_k^2}{\sum_k P(\tau_k)}$$

$P(\tau_k)$ 为时延 $\tau_k$ 处的接收功率。典型值：室外 $\sigma_\tau \approx 1\text{–}10;\mu\text{s}$，室内 $\sigma_\tau \approx 10\text{–}50;\text{ns}$。

4.4.2 相干带宽（Coherence Bandwidth）

相干带宽 $B_c$ 是信道频率响应"几乎不变"的频率范围，与时延扩展成反比：

$$B_c \approx \frac{1}{5\sigma_\tau}$$

（按 0.5 相关性定义；若按 0.9 相关性，则 $B_c \approx 1/(50\sigma_\tau)$。）

4.4.3 多普勒扩展（Doppler Spread）

当发射机、接收机或环境中的散射体运动时，接收信号产生多普勒频移（Doppler Shift）。最大多普勒频移为：

$$f_D = \frac{v}{\lambda} = \frac{v f_c}{c}$$

其中 $v$ 为移动速度，$f_c$ 为载波频率，$c$ 为光速。

多普勒扩展 $B_D$ 反映了信道频率色散的范围，近似等于 $f_D$。

4.4.4 相干时间（Coherence Time）

相干时间 $T_c$ 是信道冲激响应"几乎不变"的时间跨度，与多普勒扩展成反比：

$$T_c \approx \frac{1}{B_D} \approx \frac{1}{f_D}$$

工程示例： 载频 $f_c = 2;\text{GHz}$，车速 $v = 100;\text{km/h}$，则 $f_D \approx 185;\text{Hz}$，$T_c \approx 5.4;\text{ms}$。在此期间，信道可视为静态。

4.5 衰落信道的分类

根据信号带宽 $B_s$ 与相干带宽 $B_c$、符号周期 $T_s$ 与相干时间 $T_c$ 的关系，衰落信道可从两个维度分类。

graph TB
    A["衰落信道分类"] --> B{"B_s vs B_c ?"}
    A --> C{"T_s vs T_c ?"}
    B -->|"B_s ≪ B_c"| D["平坦衰落
Flat Fading"]
    B -->|"B_s > B_c"| E["频率选择性衰落
Frequency-Selective Fading"]
    C -->|"T_s ≪ T_c"| F["慢衰落
Slow Fading"]
    C -->|"T_s > T_c"| G["快衰落
Fast Fading"]
    style A fill:#1a5276,color:#ffffff
    style B fill:#1a5276,color:#ffffff
    style C fill:#1a5276,color:#ffffff
    style D fill:#196f3d,color:#ffffff
    style E fill:#922b21,color:#ffffff
    style F fill:#7d3c98,color:#ffffff
    style G fill:#d4ac0d,color:#ffffff

4.5.1 平坦衰落 vs 频率选择性衰落

类型条件特征影响
平坦衰落（Flat Fading）$B_s \ll B_c$ 且 $T_s \gg \sigma_\tau$信号带宽内增益近似恒定仅幅度/相位变化，无码间干扰（ISI）
频率选择性衰落（Frequency-Selective Fading）$B_s > B_c$ 且 $T_s < \sigma_\tau$不同频率分量增益不同引入 ISI，需均衡器或 OFDM

4.5.2 慢衰落 vs 快衰落

类型条件特征
慢衰落（Slow Fading）$T_s \ll T_c$一个符号周期内信道近似不变
快衰落（Fast Fading）$T_s > T_c$一个符号周期内信道快速变化

实际系统中的交叉分类： 一个信道可能同时是"平坦慢衰落"或"频率选择性快衰落"。例如，GSM 系统在城区往往工作在频率选择性慢衰落模式下。

4.6 衰落信道中的误码率性能

4.6.1 AWGN 信道的基准

在加性高斯白噪声（AWGN）信道中，BPSK 的误码率为：

$$P_b^{\text{AWGN}} = Q(\sqrt{2\bar{\gamma}})$$

其中 $\bar{\gamma} = E_b/N_0$ 为每比特信噪比。

4.6.2 瑞利衰落下的性能退化

在瑞利衰落信道中，瞬时信噪比 $\gamma$ 服从指数分布：

$$f_\gamma(\gamma) = \frac{1}{\bar{\gamma}} \exp!\left(-\frac{\gamma}{\bar{\gamma}}\right), \quad \gamma \geq 0$$

对 BPSK 在瑞利衰落下的平均误码率积分：

$$\bar{P}b = \int_0^\infty Q(\sqrt{2\gamma}) , f\gamma(\gamma) , d\gamma = \frac{1}{2}\left(1 - \sqrt{\frac{\bar{\gamma}}{1+\bar{\gamma}}}\right)$$

高 SNR 近似（$\bar{\gamma} \gg 1$）：

$$\bar{P}_b \approx \frac{1}{4\bar{\gamma}}$$

关键发现： AWGN 信道中 BPSK 误码率随 SNR 指数下降，而瑞利衰落信道中仅以 $1/\bar{\gamma}$ 的速率线性下降（即分集阶数 1）。这意味着要达到相同误码率，衰落信道需要高得多的发射功率——典型惩罚为 20–30 dB。

4.6.3 莱斯衰落下的性能

莱斯信道下 BPSK 的平均误码率可通过 Marcum Q 函数表示，其性能介于瑞利衰落和 AWGN 之间。$K$ 因子越大，性能越接近 AWGN。

4.7 分集技术：对抗衰落的核心手段

分集（Diversity）的核心思想是：通过多个独立衰落信道传递相同信息，降低所有信道同时处于深衰落的概率。

4.7.1 分集的基本原理

若 $L$ 条独立瑞利衰落信道同时处于深衰落的概率各为 $p$，则联合概率为 $p^L$——分集使中断概率指数下降。

4.7.2 分集类型

graph TB
    A["分集技术"] --> B["空间分集
Spatial Diversity"]
    A --> C["时间分集
Temporal Diversity"]
    A --> D["频率分集
Frequency Diversity"]
    B --> B1["多天线（MIMO）"]
    B --> B2["极化分集"]
    C --> C1["交织编码
Interleaving + FEC"]
    D --> D1["跳频 FHSS"]
    D --> D2["OFDM 子载波"]
    style A fill:#1a5276,color:#ffffff
    style B fill:#196f3d,color:#ffffff
    style C fill:#7d3c98,color:#ffffff
    style D fill:#d4ac0d,color:#ffffff

空间分集（Spatial Diversity）： 利用多个空间分离的天线。天线间距需大于相干距离（通常 $\geq \lambda/2$）。MIMO 系统天然具备空间分集能力。

时间分集（Temporal Diversity）： 通过交织（Interleaving）将相邻符号分散到不同时间槽，配合前向纠错编码（FEC）实现。前提是信道在不同时刻呈现不相关衰落。

频率分集（Frequency Diversity）： 在不同载波频率上传输相同信息。跳频（FHSS）和 OFDM 系统通过在频率维度分散信号来获得分集增益。

4.7.3 最大比合并（MRC）

在 $L$ 阶分集系统中，最大比合并（Maximal Ratio Combining, MRC） 是最优的线性合并方案。合并后信噪比：

$$\gamma_{\text{MRC}} = \sum_{i=1}^{L} \gamma_i$$

当各支路独立同分布（i.i.d.）瑞利衰落时，MRC 合并后 BPSK 的平均误码率为：

$$\bar{P}b(L) = \left(\frac{1-\mu}{2}\right)^L \sum{k=0}^{L-1} \binom{L-1+k}{k} \left(\frac{1+\mu}{2}\right)^k$$

其中 $\mu = \sqrt{\bar{\gamma}/(1+\bar{\gamma})}$。

高 SNR 近似：

$$\bar{P}_b(L) \approx \binom{2L-1}{L} \frac{1}{(4\bar{\gamma})^L}$$

分集阶数为 $L$——误码率以 $(1/\bar{\gamma})^L$ 的速率下降，极大地改善了性能。

工程意义： 2 阶分集（如双天线接收）在高 SNR 下可带来约 10–15 dB 的增益；4 阶分集可带来约 20 dB 增益。这就是为什么现代 LTE/5G 系统普遍采用 2×2 或 4×4 MIMO。

4.7.4 其他合并方式

合并方式描述性能
选择合并（SC）选择 SNR 最高的支路较低，实现简单
等增益合并（EGC）各支路等权相加（仅相位对齐）接近 MRC
最大比合并（MRC）各支路按 SNR 加权相加最优线性合并

4.8 本章小结

小尺度衰落是无线信道最本质的特征之一，其核心要点如下：

  1. 物理根源：多径传播（反射、散射、衍射）导致信号在接收端干涉叠加
  2. 统计模型：NLOS 场景用瑞利分布，LOS 场景用莱斯分布，Nakagami-m 提供通用拟合
  3. 关键参数：时延扩展 $\sigma_\tau$ → 相干带宽 $B_c$；多普勒扩展 $B_D$ → 相干时间 $T_c$
  4. 信道分类：平坦 vs 频率选择性（频率维度）；慢 vs 快（时间维度）
  5. 性能影响：衰落使误码率从指数下降退化为线性下降，需 20–30 dB 额外功率补偿
  6. 对抗手段：分集技术（空间、时间、频率）可将误码率恢复为指数下降，MRC 合并的分集阶数为 $L$

理解小尺度衰落是掌握后续章节（OFDM、MIMO、编码技术）的基础。在现代无线系统设计中，不是消除衰落，而是通过分集、均衡和编码来与之共存——这一理念贯穿从 3G 到 5G 的系统设计。

参考文献：

  • Goldsmith, A. Wireless Communications, 2nd Ed., Cambridge University Press.
  • Rappaport, T. S. Wireless Communications: Principles and Practice, 2nd Ed., Prentice Hall.
  • Proakis, J. G. Digital Communications, 5th Ed., McGraw-Hill.