第 10 章 OFDM 与多载波调制

9.1 从单载波到多载波

无线信道中存在多径时延扩展（Multipath Delay Spread），当信号带宽大于信道相干带宽（Coherence Bandwidth）时，信号经历频率选择性衰落（Frequency-Selective Fading），单载波系统不可避免地产生符号间干扰（Inter-Symbol Interference, ISI）。

传统解决方案是时域均衡器，但随着带宽增加，均衡器复杂度呈指数增长。多载波调制的核心思想非常朴素：

将宽带信道划分为多个窄带子信道，使每个子信道经历近似平坦衰落（Flat Fading），从而避免 ISI。

graph LR
  A["宽带信号 B ≫ Bc"] --> B["频率选择性衰落"]
  B --> C["ISI 严重"]
  C --> D["划分 N 个子载波"]
  D --> E["每个子载波 Δf ≪ Bc"]
  E --> F["平坦衰落 + 无 ISI"]
  style A fill:#1a1a2e,color:#fff
  style B fill:#16213e,color:#fff
  style C fill:#0f3460,color:#fff
  style D fill:#e94560,color:#fff
  style E fill:#16213e,color:#fff
  style F fill:#1a1a2e,color:#fff

早期的多载波系统（如 OFDM 的前身）需要为每个子载波配置独立的振荡器和滤波器，硬件成本高昂。直到离散傅里叶变换（DFT） 的引入，使得 OFDM 可以完全在数字域高效实现。

9.2 OFDM 的 IFFT/FFT 实现

9.2.1 基本原理

OFDM（Orthogonal Frequency Division Multiplexing，正交频分复用）的关键突破在于：用快速傅里叶逆变换（IFFT） 替代 N 个独立调制器，用快速傅里叶变换（FFT） 替代 N 个独立解调器。

设系统有 $N$ 个子载波，第 $k$ 个子载波上调制的数据符号为 $X[k]$（可为 QPSK、16-QAM 等），则一个 OFDM 符号的时域采样 $x[n]$ 为：

$$x[n] = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] , e^{j 2\pi k n / N}, \quad n = 0, 1, \ldots, N-1$$

这正是 $X[k]$ 的 IFFT。接收端则用 FFT 恢复：

$$Y[k] = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{n=0}^{N-1} y[n] , e^{-j 2\pi k n / N}$$

9.2.2 发射机与接收机结构

graph LR
  A["串行数据流"] --> B["S/P 串并转换"]
  B --> C["符号映射 QAM/PSK"]
  C --> D["IFFT"]
  D --> E["添加循环前缀 CP"]
  E --> F["D/A + 上变频"]
  F --> G["无线信道"]
  G --> H["下变频 + A/D"]
  H --> I["去除 CP"]
  I --> J["FFT"]
  J --> K["信道均衡"]
  K --> L["符号判决"]
  L --> M["P/S 并串转换"]
  M --> N["恢复数据流"]
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  style C fill:#16213e,color:#fff
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  style J fill:#e94560,color:#fff
  style K fill:#16213e,color:#fff
  style L fill:#16213e,color:#fff
  style M fill:#16213e,color:#fff
  style N fill:#1a1a2e,color:#fff

复杂度优势：一个 $N$ 点 IFFT/FFT 的运算量为 $O(N \log_2 N)$，而时域均衡器的复杂度为 $O(N^2)$。当 $N = 2048$ 时（LTE 典型值），FFT 的优势可达两个数量级以上。

9.3 循环前缀（Cyclic Prefix, CP）

9.3.1 为什么需要 CP

多径信道引入的时延扩展会导致前一个 OFDM 符号的尾部"泄漏"到当前符号，造成 ISI。更关键的是，它还破坏了子载波间的正交性，引发载波间干扰（Inter-Carrier Interference, ICI）。

9.3.2 CP 的构造

循环前缀是将 OFDM 符号的最后 $N_{cp}$ 个采样复制并追加到符号前端：

$$[x[N - N_{cp}], \ldots, x[N-1], \underbrace{x[0], x[1], \ldots, x[N-1]}_{\text{OFDM 符号}}]$$

只要循环前缀长度 $T_{cp}$ 大于信道的最大时延扩展 $\tau_{\max}$，即：

$$T_{cp} > \tau_{\max}$$

就能完全消除 ISI。同时，CP 使信道与 OFDM 符号的线性卷积变为循环卷积，从而在频域简化为逐子载波的乘法：

$$Y[k] = H[k] \cdot X[k] + W[k]$$

其中 $H[k]$ 是第 $k$ 个子载波的信道频域响应，$W[k]$ 是噪声。

9.3.3 CP 的代价

CP 带来了频谱效率损失和功率效率损失：

$$\eta_{\text{loss}} = \frac{T_{cp}}{T_s + T_{cp}}$$

其中 $T_s$ 为有用符号持续时间。例如 LTE 中常规 CP 开销约为 7%，扩展 CP 开销约为 25%。

工程折中：CP 过长浪费资源，过短无法覆盖时延扩展。实际系统中通常提供两种 CP 长度供不同部署场景选用。

9.4 子载波间正交性条件

OFDM 的核心优势——“正交”——是指子载波在频域上精确间隔，使得它们在一个符号周期内相互正交。

9.4.1 正交性的数学表达

设子载波间隔为 $\Delta f = 1/T_s$，第 $k$ 个子载波的频域位置为 $f_k = k \cdot \Delta f$。两个子载波 $k$ 和 $l$ 的内积为：

$$\int_0^{T_s} e^{j 2\pi f_k t} \cdot e^{-j 2\pi f_l t} , dt = \begin{cases} T_s, & k = l \\ 0, & k \neq l \end{cases}$$

这正是 sinc 函数在整数采样点取值为零的体现：每个子载波的功率谱在其余子载波的中心频率处恰好过零。

9.4.2 正交性破坏因素

实际系统中，以下因素会破坏正交性：

因素	机制	解决手段
载波频偏（CFO）	多普勒/本振漂移	频率同步算法
采样时钟偏移（SFO）	收发时钟不匹配	采样同步
相位噪声	振荡器不理想	高品质晶振/相位跟踪
CP 不足	时延扩展超 CP	扩展 CP / 中继

载波频偏 $\delta f$ 引入的 ICI 干扰功率近似为：

$$P_{\text{ICI}} \approx \frac{\pi^2 (\delta f \cdot T_s)^2}{3} \cdot P_{\text{signal}}$$

可见正交性对频率偏移极为敏感，这是 OFDM 系统同步要求严格的原因。

9.5 信道估计：导频与均衡

9.5.1 为什么需要信道估计

接收端 FFT 输出为 $Y[k] = H[k] X[k] + W[k]$。要恢复 $X[k]$，必须估计每个子载波上的 $H[k]$，然后进行单抽头频域均衡：

$$\hat{X}[k] = \frac{Y[k]}{\hat{H}[k]}$$

这就是所谓的迫零均衡（Zero-Forcing, ZF）。更稳健的做法是最小均方误差均衡（MMSE）：

$$\hat{X}[k] = \frac{\hat{H}^*[k]}{|\hat{H}[k]|^2 + \sigma_w^2 / \sigma_x^2} \cdot Y[k]$$

其中 $\sigma_w^2$ 和 $\sigma_x^2$ 分别为噪声和信号的方差。MMSE 均衡在低 SNR 时自动避免噪声放大。

9.5.2 导频设计

由于 $H[k]$ 是连续频率响应的离散采样，可以通过在部分子载波上插入已知符号（导频，Pilot）来估计，再插值获得全频段响应。

常见导频图案：

块状导频（Block-Type）：在某个 OFDM 符号的所有子载波上发送导频。适用于慢变信道。
梳状导频（Comb-Type）：在每个 OFDM 符号的等间距子载波上发送导频。适用于快变信道。
散射导频（Scattered Pilot）：在时频二维网格上等间隔分布。兼顾效率与跟踪能力，是 LTE/NR 的主流方案。

graph TB
  subgraph "时频网格"
    direction LR
    P1["⬛ 数据"] --- P2["🔶 导频"]
  end
  subgraph "块状导频"
    direction LR
    B1["🔶🔶🔶"] --- B2["⬛⬛⬛"] --- B3["🔶🔶🔶"]
  end
  subgraph "梳状导频"
    direction LR
    C1["🔶⬛⬛"] --- C2["🔶⬛⬛"] --- C3["🔶⬛⬛"]
  end
  style P1 fill:#1a1a2e,color:#fff
  style P2 fill:#e94560,color:#fff
  style B1 fill:#e94560,color:#fff
  style B2 fill:#1a1a2e,color:#fff
  style B3 fill:#e94560,color:#fff
  style C1 fill:#e94560,color:#fff
  style C2 fill:#e94560,color:#fff
  style C3 fill:#e94560,color:#fff

插值方法包括线性插值、二阶插值以及基于 DFT 的插值。工程上常采用低通滤波 + 二维插值以获得最佳性能。

导频密度需满足二维奈奎斯特采样定理：

$$\Delta f_{\text{pilot}} \leq B_c, \quad \Delta t_{\text{pilot}} \leq T_c$$

其中 $B_c$ 为相干带宽，$T_c$ 为相干时间（Coherence Time）。

9.6 峰均功率比（PAPR）问题

9.6.1 PAPR 的定义

OFDM 符号是 $N$ 个独立子载波的叠加。由中心极限定理，当 $N$ 较大时，时域信号近似服从复高斯分布，这意味着偶尔会出现很大的峰值。

PAPR 定义为：

$$\text{PAPR} = \frac{\max_{0 \le n < N} |x[n]|^2}{E[|x[n]|^2]}$$

理论上，$N$ 个子载波的 OFDM 信号 PAPR 可达 $N$ 倍（即 $10\log_{10} N$ dB）。例如 $N = 1024$ 时，理论 PAPR 高达 30 dB。实际中虽不会经常达到理论峰值，但 PAPR 仍显著高于单载波系统（约 3-5 dB）。

9.6.2 PAPR 的危害

高 PAPR 导致：

功率放大器（PA）效率下降：PA 必须在远低于饱和点的平均功率处工作，以避免峰值削波（Clipping），导致功放效率大幅降低。
带外辐射：峰值被削波时产生非线性失真，泄露到相邻信道。
DAC/ADC 动态范围需求增加。

9.6.3 PAPR 降低技术

技术	原理	复杂度	典型增益
削波与滤波（Clipping & Filtering）	直接限幅 + 频域滤波去带外	低	2-3 dB，但引入失真
选择性映射（SLM）	生成多个候选信号，选 PAPR 最低的	中	2-4 dB
部分传输序列（PTS）	将子载波分组，独立旋转相位	高	3-5 dB
编码类方法	选择低 PAPR 码字	高	3-6 dB
Tone Reservation	预留子载波产生抵消峰值	中	3-5 dB

工程中最常用的简单方案是削波 + 滤波，配合 PA 的数字预失真（Digital Pre-Distortion, DPD） 技术。对于上行链路（手机端），3GPP 在 LTE 中引入了 SC-FDMA（单载波 FDMA），本质上是对 OFDM 进行 DFT 预编码，将 PAPR 降低 2-3 dB，降低终端功耗。

9.7 OFDMA：多址接入

9.7.1 从 OFDM 到 OFDMA

OFDM 本身是一种调制技术。将其扩展为多址方式，即为 OFDMA（Orthogonal Frequency Division Multiple Access）：将不同的子载波子集分配给不同用户，实现频域多址。

graph TB
  subgraph "OFDMA 时频资源网格"
    U1["用户 1: 子载波 0-3"]
    U2["用户 2: 子载波 4-7"]
    U3["用户 3: 子载波 8-11"]
    U4["用户 4: 子载波 12-15"]
  end
  style U1 fill:#e94560,color:#fff
  style U2 fill:#0f3460,color:#fff
  style U3 fill:#1a6b3c,color:#fff
  style U4 fill:#8e44ad,color:#fff

9.7.2 资源块（Resource Block, RB）

LTE 中定义资源块为 12 个子载波 × 1 个时隙（0.5 ms），带宽为 180 kHz。5G NR 中使用更灵活的 资源块组（RBG） 和带宽部分（Bandwidth Part, BWP） 概念。

9.7.3 OFDMA 的优势

多用户分集（Multiuser Diversity）：不同用户在相同子载波上经历不同衰落，调度器可将每个子载波分配给信道条件最好的用户（所谓"按需分配"）。
细粒度资源分配：可按子载波级别调度，适应突发数据业务。
无需保护频带：子载波间正交，无需像传统 FDMA 那样在用户间留保护频带。

调度器的目标函数通常为：

$$\max \sum_{k=1}^{K} w_k \cdot R_k$$

其中 $w_k$ 为用户 $k$ 的优先级权重，$R_k$ 为用户 $k$ 的速率。常见的调度策略包括比例公平（Proportional Fair） 和最大载干比（Max C/I） 等。

9.8 5G NR 中的 OFDM 参数

3GPP 5G NR（New Radio）沿用了 OFDM 作为波形基础，但引入了灵活参数集（Numerology） 的概念，以支持从低速 IoT 到毫米波 eMBB 的广泛场景。

9.8.1 子载波间隔（SCS）

NR 定义的子载波间隔 $\Delta f$ 基于基准 15 kHz 的 $2^\mu$ 倍缩放（$\mu = 0, 1, 2, 3, 4$）：

$\mu$	SCS (kHz)	循环前缀	适用频段/场景
0	15	常规	LTE 兼容，低频广覆盖
1	30	常规	3.5 GHz eMBB
2	60	常规/扩展	中频段，部分 FR1
3	120	常规	FR2 毫米波（24-52 GHz）
4	240	常规	FR2 同步信号

SCS 越大，OFDM 符号越短，CP 也越短（CP 长度与 SCS 成反比），因此能更好地抵抗高多普勒频移（如毫米波的高速移动场景），但对时延扩展的容忍能力降低。

9.8.2 关键设计选择

为什么 5G NR 放弃了 SC-FDMA 上行？

LTE 上行采用 SC-FDMA 以降低终端 PAPR。5G NR 上行支持两种波形：

CP-OFDM：标准 OFDM，PAPR 较高但支持 MIMO 预编码，吞吐量更高
DFT-s-OFDM（即 SC-FDMA）：PAPR 更低，适用于覆盖受限场景

这种双波形设计赋予系统更大的灵活性。

Mini-Slot 与灵活调度

NR 支持 2-13 个 OFDM 符号的"迷你时隙"（Mini-Slot），最小调度粒度为 2 个符号，相比 LTE 固定 14 符号的子帧，极大降低了空口时延。

9.8.3 5G NR 与 LTE 参数对比

参数	LTE	5G NR
子载波间隔	15 kHz（固定）	15/30/60/120/240 kHz
最大带宽	20 MHz	100 MHz (FR1) / 400 MHz (FR2)
CP 长度	常规 4.7 μs / 扩展 16.7 μs	随 SCS 缩放
帧结构	固定 1 ms 子帧	灵活，Mini-Slot
上行波形	SC-FDMA（必须）	CP-OFDM / DFT-s-OFDM

9.9 小结

OFDM 从一个理论构想到成为 4G/5G/Wi-Fi 的核心波形，其成功可以归结为三个关键优势：

抗多径能力：通过 CP 将频率选择性衰落转化为独立子载波上的平坦衰落，每个子载波仅需单抽头均衡。
实现效率：IFFT/FFT 实现，复杂度 $O(N \log_2 N)$，适合大规模集成电路。
多址灵活性：OFDMA 提供了细粒度的时频资源分配能力，支持多用户分集和 QoS 差异化。

当然，OFDM 并非完美——PAPR 问题、对频偏和相位噪声的敏感性、以及 CP 导致的开销，都是工程实践中需要权衡的因素。5G NR 通过灵活参数集、双波形设计和 Mini-Slot 等机制，在保持 OFDM 核心优势的同时，进一步拓展了其适用边界。

展望未来，波形演进仍在继续。针对超高可靠低时延（URLLC）和感知通信一体化（ISAC）等新场景，基于 OFDM 的变体（如 DFT-s-OFDM）以及新型波形（如 OTFS、UFMC）正在研究中。但可以预见，在可预见的未来，OFDM 仍将是无线接入网的主流波形基石。

本章参考：Goldsmith, Wireless Communications, 2nd Ed., Chapter 12; 3GPP TS 38.211 (NR Physical Channels and Modulation).

第 10 章 OFDM 与多载波调制#

9.1 从单载波到多载波#

9.2 OFDM 的 IFFT/FFT 实现#

9.2.1 基本原理#

9.2.2 发射机与接收机结构#

9.3 循环前缀（Cyclic Prefix, CP）#

9.3.1 为什么需要 CP#

9.3.2 CP 的构造#

9.3.3 CP 的代价#

9.4 子载波间正交性条件#

9.4.1 正交性的数学表达#

9.4.2 正交性破坏因素#

9.5 信道估计：导频与均衡#

9.5.1 为什么需要信道估计#

9.5.2 导频设计#

9.6 峰均功率比（PAPR）问题#

9.6.1 PAPR 的定义#

9.6.2 PAPR 的危害#

9.6.3 PAPR 降低技术#

9.7 OFDMA：多址接入#

9.7.1 从 OFDM 到 OFDMA#

9.7.2 资源块（Resource Block, RB）#

9.7.3 OFDMA 的优势#

9.8 5G NR 中的 OFDM 参数#

9.8.1 子载波间隔（SCS）#

9.8.2 关键设计选择#

9.8.3 5G NR 与 LTE 参数对比#

9.9 小结#