第 2 章 电波传播 / Radio Propagation

2.1 问题的提出

设计任何无线通信系统，首先要回答一个根本问题：发射功率经过多远的距离、经过怎样的环境之后，接收端还能收到多少功率？ 这个问题的答案直接决定了小区半径、基站密度、终端功耗和链路可靠性。

电波从发射天线到接收天线，并非一条直线走到底——它会经历自由空间衰减、地面反射、建筑物衍射、雨滴散射等一系列物理过程。理解这些机制，是链路预算（Link Budget）和网络规划的基础。

flowchart TD
    A["发射天线 Pt·Gt"] --> B["自由空间衰减"]
    B --> C{"环境类型？"}
    C -->|"开阔地"| D["自由空间模型 n=2"]
    C -->|"市区"| E["多径+阴影 n=2.7~3.5"]
    C -->|"室内"| F["丰富散射 n=1.6~1.8"]
    D --> G["接收功率 Pr"]
    E --> G
    F --> G
    G --> H{"Pr ≥ 接收灵敏度？"}
    H -->|是| I["链路可行 ✓"]
    H -->|否| J["增大功率 / 缩短距离 / 加中继"]
    style A fill:#1565C0,color:#fff
    style B fill:#1565C0,color:#fff
    style C fill:#0D47A1,color:#fff
    style D fill:#1976D2,color:#fff
    style E fill:#1976D2,color:#fff
    style F fill:#1976D2,color:#fff
    style G fill:#1565C0,color:#fff
    style H fill:#0D47A1,color:#fff
    style I fill:#2E7D32,color:#fff
    style J fill:#C62828,color:#fff

2.2 自由空间传播模型

2.2.1 Friis 传输公式

在理想的自由空间（Free Space）中——没有障碍物、没有地面、没有大气吸收——信号功率随距离平方反比衰减。这就是经典的 Friis 传输公式（Friis Transmission Equation）：

$$ \frac{P_r}{P_t} = G_t , G_r \left(\frac{\lambda}{4\pi d}\right)^2 $$

其中：

  • $P_t$、$P_r$：发射和接收功率（W）
  • $G_t$、$G_r$：发射和接收天线增益（线性值，无量纲）
  • $\lambda$：波长（m），$\lambda = c/f$
  • $d$：收发距离（m）

用 dB 表示更方便工程使用：

$$ P_r \text{ (dBm)} = P_t \text{ (dBm)} + G_t \text{ (dBi)} + G_r \text{ (dBi)} - \text{FSPL}(d) \text{ (dB)} $$

自由空间路径损耗（Free Space Path Loss, FSPL）为：

$$ \text{FSPL}(d) = 20\log_{10}!\left(\frac{4\pi d}{\lambda}\right) = 32.44 + 20\log_{10}(f_{\text{MHz}}) + 20\log_{10}(d_{\text{km}}) $$

工程直觉：距离每增加 10 倍，FSPL 增加 20 dB；频率每增加 10 倍，FSPL 也增加 20 dB。这就是为什么毫米波（mmWave）的覆盖范围远小于 Sub-6 GHz。

2.2.2 远场条件与参考距离

Friis 公式仅在远场区（Fraunhofer Distance） 成立：

$$ d_f = \frac{2D^2}{\lambda} $$

其中 $D$ 为天线最大尺寸。在近距离（$d < d_f$），公式不再适用。工程上引入参考距离 $d_0$，在 $d_0$ 处测量或计算接收功率 $P_r(d_0)$，则任意距离 $d > d_0$ 处：

$$ P_r(d) = P_r(d_0) \left(\frac{d_0}{d}\right)^2 \quad \text{（自由空间，} n=2\text{）} $$

2.3 三种基本传播机制

实际环境中，电波主要通过三种机制从发射端到达接收端：

flowchart LR
    TX["发射端"] -->|直射| R1["反射 Reflection"]
    TX -->|绕过障碍| R2["衍射 Diffraction"]
    TX -->|碰到粗糙表面| R3["散射 Scattering"]
    R1 --> RX["接收端"]
    R2 --> RX
    R3 --> RX
    style TX fill:#1565C0,color:#fff
    style R1 fill:#0D47A1,color:#fff
    style R2 fill:#0D47A1,color:#fff
    style R3 fill:#0D47A1,color:#fff
    style RX fill:#1565C0,color:#fff

2.3.1 反射（Reflection）

当电磁波遇到尺寸远大于波长的平滑表面（地面、建筑墙面、水面），发生镜面反射。反射波与直射波在接收端叠加，可能相长（constructive）也可能相消（destructive），导致快速衰落。

反射系数取决于电磁波极化方式、入射角和介质参数（介电常数 $\varepsilon_r$、电导率 $\sigma$）。对于地面反射，常用简化的反射系数模型：

  • 垂直极化（Te TM case）：

$$ \Gamma_{|} = \frac{\varepsilon_r \sin\theta_i - \sqrt{\varepsilon_r - \cos^2\theta_i}}{\varepsilon_r \sin\theta_i + \sqrt{\varepsilon_r - \cos^2\theta_i}} $$

  • 水平极化（Te TE case）：

$$ \Gamma_{\perp} = \frac{\sin\theta_i - \sqrt{\varepsilon_r - \cos^2\theta_i}}{\sin\theta_i + \sqrt{\varepsilon_r - \cos^2\theta_i}} $$

2.3.2 衍射（Diffraction）

当电波遇到障碍物的尖锐边缘（如建筑屋顶、山脊），会"绕过"障碍物传播到阴影区。这正是为什么在视距（LOS, Line-of-Sight）路径被遮挡时，仍然可以接收到信号。

衍射损耗用 Fresnel-Kirchhoff 参数 $v$ 描述：

$$ v = h\sqrt{\frac{2(d_1 + d_2)}{\lambda , d_1 , d_2}} $$

其中 $h$ 为障碍物超出视距路径的高度，$d_1$、$d_2$ 分别为障碍物到发射端和接收端的距离。衍射增益近似为：

$$ G_d(v) \approx \begin{cases} 0 & v \le -1 \ 20\log_{10}(0.5 - 0.62v) & -1 < v \le 0 \ 20\log_{10}(0.5 e^{-0.95v}) & 0 < v \le 1 \ 20\log_{10}(0.4/\sqrt{v}) & v > 1 \end{cases} $$

工程经验：第一 Fresnel 区（First Fresnel Zone）应保持 60% 以上无遮挡，否则衍射损耗显著增大。Fresnel 区半径为：

$$ r_n = \sqrt{\frac{n\lambda , d_1 , d_2}{d_1 + d_2}} $$

2.3.3 散射（Scattering）

当电磁波遇到尺寸与波长相当或更小的粗糙表面或物体（树叶、路灯杆、路面碎石、雨滴），能量向多个方向散射。粗糙度判据用 Rayleigh 准则：

$$ h_c = \frac{\lambda}{8\sin\theta_i} $$

若表面高度起伏大于 $h_c$，则视为粗糙表面，发生散射而非镜面反射。

2.4 两径模型（Two-Ray Ground Reflection Model）

在室外开阔场景中，接收信号主要由两条路径组成：直射径和地面反射径。这就是两径模型（Two-Ray Ground Reflection Model）。

设发射天线高度 $h_t$，接收天线高度 $h_r$，水平距离 $d$，则：

直射路径长度：

$$ d_{\text{LOS}} = \sqrt{d^2 + (h_t - h_r)^2} $$

反射路径长度：

$$ d_{\text{ref}} = \sqrt{d^2 + (h_t + h_r)^2} $$

当距离较远（$d \gg h_t, h_r$）时，两条路径的相位差导致接收功率近似为：

$$ P_r \approx P_t G_t G_r \frac{(h_t h_r)^2}{d^4} $$

关键结论：在远距离处，两径模型的接收功率按 $d^{-4}$ 衰减——比自由空间的 $d^{-2}$ 快得多。这意味着路径损耗指数从 2 跳到 4，存在一个断点距离（Breakpoint Distance）：

$$ d_b = \frac{4 h_t h_r}{\lambda} $$

  • $d < d_b$：近似自由空间，$n \approx 2$
  • $d > d_b$：两径模型主导，$n \approx 4$

2.5 路径损耗指数与经验模型

2.5.1 对数距离路径损耗模型

将路径损耗指数（Path Loss Exponent）$n$ 推广为可调参数：

$$ PL(d) \text{ (dB)} = PL(d_0) + 10n \log_{10}!\left(\frac{d}{d_0}\right) $$

不同环境下的典型 $n$ 值：

环境路径损耗指数 $n$
自由空间2.0
市区宏蜂窝2.7 ~ 3.5
市区微蜂窝（阴影区）3.0 ~ 5.0
室内（视距）1.6 ~ 1.8
室内（非视距）4.0 ~ 6.0
工厂/仓库2.0 ~ 3.0

注意：室内视距场景 $n$ 可能小于 2——波导效应（waveguide effect）使信号沿走廊聚焦传播，衰减反而比自由空间慢。

2.5.2 Okumura-Hata 模型

Okumura 模型（1968）基于东京地区大量实测数据，是移动通信网络规划最常用的经验模型之一。Hata 模型（1980）将其拟合为解析公式。

城区准平坦地形：

$$ \begin{aligned} L_{50} \text{ (dB)} = &; 69.55 + 26.16\log_{10}(f_{\text{MHz}}) - 13.82\log_{10}(h_b) \ & - a(h_m) + (44.9 - 6.55\log_{10}(h_b))\log_{10}(d_{\text{km}}) \end{aligned} $$

其中 $h_b$ 为基站天线高度（30200 m），$h_m$ 为移动台天线高度（110 m），$a(h_m)$ 为移动台天线高度修正因子。

适用范围：频率 1501500 MHz，距离 120 km。

2.5.3 COST-231 Hata 模型

为扩展到 1.5~2 GHz 频段（覆盖 GSM-1800、LTE Band 3 等常用频段），COST-231 项目在 Hata 模型基础上添加修正项：

$$ L_{50} \text{ (dB)} = L_{\text{Hata,urban}} + C $$

其中修正项 $C$：

  • 中小城市/郊区：$C = 0$
  • 大城市密集区（metropolitan）：$C = 3$ dB

更完整的 COST-231 扩展公式：

$$ L = 46.3 + 33.9\log_{10}(f) - 13.82\log_{10}(h_b) - a(h_m) + (44.9 - 6.55\log_{10}(h_b))\log_{10}(d) + C $$

2.5.4 模型选择流程

flowchart TD
    Q1{"频率范围？"}
    Q1 -->|"150–1500 MHz"| Q2{"距离？"}
    Q1 -->|"1500–2000 MHz"| M3["COST-231 Hata"]
    Q2 -->|"1–20 km"| M1["Okumura-Hata"]
    Q2 -->|"< 1 km 或 > 20 km"| Q3{"环境？"}
    Q3 -->|"室内"| M4["ITU-R P.1238 / 对数距离模型"]
    Q3 -->|"室外微蜂窝"| M5["COST-231 Walfisch-Ikegami"]
    Q3 -->|"开阔乡村"| M2["两径模型 / 自由空间"]
    style Q1 fill:#0D47A1,color:#fff
    style Q2 fill:#0D47A1,color:#fff
    style Q3 fill:#0D47A1,color:#fff
    style M1 fill:#1565C0,color:#fff
    style M2 fill:#1565C0,color:#fff
    style M3 fill:#1565C0,color:#fff
    style M4 fill:#1565C0,color:#fff
    style M5 fill:#1565C0,color:#fff

2.6 阴影衰落（Shadow Fading）

2.6.1 对数正态分布模型

即使考虑了距离相关的路径损耗，实测接收功率仍围绕预测值随机波动。这种波动由大型障碍物（建筑物、山丘、树木）对信号的遮挡引起，称为阴影衰落（Shadow Fading） 或慢衰落（Slow Fading）。

大量实测表明，阴影衰落服从对数正态分布（Log-Normal Shadowing）：

$$ P_r(d) \text{ (dBm)} = \overline{P_r}(d) + X_\sigma $$

其中 $\overline{P_r}(d)$ 为路径损耗模型预测的均值功率，$X_\sigma \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)$ 为零均值高斯随机变量（单位 dB）。$\sigma$ 的典型值为 4~12 dB，取决于环境复杂度。

用 dB 表示的概率密度函数（PDF）：

$$ p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp!\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right) $$

2.6.2 阴影相关性与覆盖概率

阴影衰落具有空间相关性——相邻位置受到类似障碍物的影响。常用指数衰减模型：

$$ \rho(\Delta d) = e^{-\Delta d / d_c} $$

其中 $d_c$ 为解相关距离（decorrelation distance），市区典型值 50~100 m。

覆盖概率（Coverage Probability）定义为接收功率高于灵敏度 $P_{\min}$ 的概率：

$$ P_{\text{cov}} = P!\left[\overline{P_r}(d) + X_\sigma \ge P_{\min}\right] = Q!\left(\frac{P_{\min} - \overline{P_r}(d)}{\sigma}\right) $$

其中 $Q(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_x^{\infty} e^{-t^2/2},dt$ 为 Q 函数。

设计裕量（Shadow Margin）：为保证 95% 边缘覆盖概率，需预留约 $1.645\sigma$ dB 的阴影裕量。当 $\sigma = 8$ dB 时，裕量约 13.2 dB——这是一个不可忽视的系统开销。

2.7 链路预算实例

2.7.1 问题描述

某 LTE 基站工作于 2.1 GHz，发射功率 43 dBm，天线增益 15 dBi。用户终端天线增益 0 dBi，接收灵敏度 -100 dBm。城区环境，路径损耗指数 $n = 3.2$，阴影衰落标准差 $\sigma = 8$ dB，要求边缘覆盖概率 90%。参考距离 $d_0 = 100$ m，$PL(d_0) = 82$ dB。

求：最大小区半径 $d_{\max}$。

2.7.2 链路预算计算

伪代码：

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21

FUNCTION link_budget(Pt_dBm, Gt_dBi, Gr_dBi, sensitivity_dBm, 
                     PL_d0, d0, n, sigma, coverage_prob):
    
    // 1. 计算可用路径损耗（EIRP - 灵敏度）
    EIRP = Pt_dBm + Gt_dBi                    // 发射等效全向辐射功率
    MAPL = EIRP + Gr_dBi - sensitivity_dBm     // 最大允许路径损耗
    
    // 2. 计算阴影裕量
    margin = -inv_Q(1 - coverage_prob) * sigma  // Q 函数逆
    MAPL_effective = MAPL - margin              // 扣除阴影裕量
    
    // 3. 计算最大距离
    // PL(d) = PL(d0) + 10*n*log10(d/d0)
    // MAPL_effective = PL(d0) + 10*n*log10(d_max/d0)
    PL_budget = MAPL_effective - PL_d0
    d_max = d0 * 10^(PL_budget / (10 * n))
    
    RETURN d_max, MAPL, margin

RESULT = link_budget(43, 15, 0, -100, 82, 0.1, 3.2, 8, 0.90)
// d_max ≈ 1.33 km, margin ≈ 10.3 dB

逐步计算：

  1. EIRP = 43 + 15 = 58 dBm

  2. 最大允许路径损耗（MAPL）： $$\text{MAPL} = 58 + 0 - (-100) = 158 \text{ dB}$$

  3. 阴影裕量：90% 覆盖概率 → $Q^{-1}(0.10) = 1.28$ $$M_{\text{shadow}} = 1.28 \times 8 = 10.24 \text{ dB}$$

  4. 有效 MAPL： $$\text{MAPL}_{\text{eff}} = 158 - 10.24 = 147.76 \text{ dB}$$

  5. 求解最大距离： $$ 147.76 = 82 + 10 \times 3.2 \times \log_{10}!\left(\frac{d}{100}\right) $$ $$ \log_{10}!\left(\frac{d}{100}\right) = \frac{65.76}{32} = 2.055 $$ $$ d = 100 \times 10^{2.055} \approx 11,350 \text{ m} \approx 11.35 \text{ km} $$

验证：如换用 COST-231 模型（$f = 2100$ MHz, $h_b = 30$ m, $h_m = 1.5$ m），在相同 MAPL 下，小区半径通常缩小到 2~4 km，体现了经验模型中建筑物衍射损耗的显著影响。

2.7.3 链路预算汇总表

项目数值备注
发射功率 $P_t$+43 dBm20 W
发射天线增益 $G_t$+15 dBi扇区天线
EIRP+58 dBm
接收天线增益 $G_r$0 dBi手机内置天线
接收灵敏度 $P_{\min}$-100 dBm
最大允许路径损耗158 dB
阴影裕量（90%）-10.24 dB$\sigma=8$ dB
其他损耗（馈线/穿透）-5 dB估算
有效 MAPL142.76 dB
参考距离损耗 $PL(d_0)$82 dB$d_0=100$ m
最大距离~7.7 km理想平坦地形

说明：加上 5 dB 馈线和建筑穿透损耗后，距离从 11.35 km 缩减至约 7.7 km。实际网络规划中还需考虑干扰裕量、身体损耗等。

2.8 本章小结

flowchart TB
    subgraph S1["传播机制"]
        A1["自由空间衰减"]
        A2["反射"]
        A3["衍射"]
        A4["散射"]
    end
    subgraph S2["路径损耗模型"]
        B1["Friis 公式 n=2"]
        B2["两径模型 n=4"]
        B3["对数距离模型 可调 n"]
        B4["Okumura-Hata 经验公式"]
        B5["COST-231 高频扩展"]
    end
    subgraph S3["随机衰落"]
        C1["阴影衰落 对数正态"]
        C2["多径衰落 快衰落 第3章"]
    end
    S1 --> S2
    S2 --> S3
    S3 --> LB["链路预算 → 网络规划"]
    style S1 fill:#1565C0,color:#fff
    style S2 fill:#0D47A1,color:#fff
    style S3 fill:#0D47A1,color:#fff
    style LB fill:#2E7D32,color:#fff
  1. 自由空间传播是最简单的基准模型，功率按 $d^{-2}$ 衰减；加入地面反射后衰减变为 $d^{-4}$。
  2. 反射、衍射、散射三种机制共同决定了复杂环境中的信号覆盖。
  3. 路径损耗指数 $n$ 因环境而异，室内视距可低至 1.6，城市非视距可达 5 以上。
  4. 阴影衰落服从对数正态分布，工程设计需预留阴影裕量以保证覆盖概率。
  5. 实际网络规划使用 Okumura-Hata / COST-231 等经验模型，结合链路预算确定小区半径。

下一步：第 3 章将讨论多径信道的精细结构——小尺度衰落（Small-Scale Fading），包括 Rayleigh、Ricean 信道模型和时延扩展。

参考文献：

  • Goldsmith, A. Wireless Communications, 2nd Ed., Cambridge University Press.
  • Rappaport, T. S. Wireless Communications: Principles and Practice, 2nd Ed.
  • Hata, M. “Empirical Formula for Propagation Loss in Land Mobile Radio Services,” IEEE Trans. Veh. Technol., 1980.
  • COST 231, “Digital Mobile Radio Towards Future Generation Systems,” Final Report, 1999.