第 9 章扩频技术 / Spread Spectrum

8.1 扩频技术概述

扩频通信（Spread Spectrum Communication）的核心思想是：将窄带信号的频谱扩展到远大于信息带宽的频带上传输，在接收端通过相同的扩频码进行解扩（Despreading），恢复原始信号。

这一技术最早诞生于二战时期的军事通信，目的是实现抗干扰（Anti-Jamming）和低截获概率（Low Probability of Intercept, LPI）。如今，扩频技术已深入民用领域——GPS、Bluetooth、WiFi（IEEE 802.11）、3G CDMA 等系统均以扩频为基石。

扩频系统的基本带宽关系：

$$B_{ss} \gg B_{info}$$

其中 $B_{ss}$ 为扩频后的射频带宽，$B_{info}$ 为原始信息带宽。两者之比定义为处理增益（Processing Gain），是扩频系统最核心的性能指标。

8.2 处理增益与干扰容限

8.2.1 处理增益

处理增益（Processing Gain）$G_p$ 量化了扩频操作带来的信噪比改善：

$$G_p = \frac{B_{ss}}{B_{info}} = \frac{T_{sym}}{T_{chip}}$$

其中 $T_{sym}$ 为符号周期，$T_{chip}$ 为码片（Chip）周期。

以 dB 表示：

$$G_p(\text{dB}) = 10 \log_{10}\left(\frac{B_{ss}}{B_{info}}\right)$$

工程直觉：处理增益本质上是"用带宽换取抗干扰能力"。扩频比越大，系统在强干扰环境下仍能可靠解调。

8.2.2 干扰容限

干扰容限（Jamming Margin）$M_J$ 表示系统在满足一定误码率条件下所能容忍的最大干扰功率：

$$M_J = G_p - \left(\frac{E_b}{N_0}\right){\min} - L{sys}$$

其中 $\left(\frac{E_b}{N_0}\right){\min}$ 为满足目标误码率所需的最小比特能量噪声比，$L{sys}$ 为系统实现损耗。

graph LR
    A["信息带宽
B_info"] -->|扩频| B["射频带宽
B_ss"]
    B -->|解扩| C["恢复信息"]
    D["干扰信号
带宽 B_ss"] -->|解扩| E["功率分散
至 B_info"]
    style A fill:#2d5aa0,color:#fff
    style B fill:#5a2d8a,color:#fff
    style C fill:#2d8a5a,color:#fff
    style D fill:#8a2d2d,color:#fff
    style E fill:#8a6a2d,color:#fff

关键机制：扩频码对期望信号做"压缩"（功率集中），对干扰信号做"扩展"（功率分散），从而实现信干比（SIR）的改善。

8.3 直接序列扩频（DSSS）

8.3.1 基本原理

直接序列扩频（Direct Sequence Spread Spectrum, DSSS）用一组高速伪随机噪声（Pseudo-random Noise, PN）序列与信息数据相乘，将窄带信号扩展为宽带信号。

发射信号可表示为：

$$s(t) = \sqrt{2P} \cdot d(t) \cdot c(t) \cdot \cos(2\pi f_c t)$$

其中：

$d(t)$ 为信息数据序列（±1）
$c(t)$ 为 PN 扩频码序列（±1）
$f_c$ 为载波频率
$P$ 为发射功率

graph TD
    A["数据 d(t)"] --> B["与 PN 码 c(t) 相乘"]
    C["PN 码发生器"] --> B
    B --> D["载波调制
BPSK/QPSK"]
    D --> E["扩频信号 s(t)"]
    E --> F["无线信道"]
    F --> G["接收端本地 PN 码
（同步）"]
    G --> H["解扩：相乘+积分"]
    H --> I["判决输出"]
    style A fill:#2d5aa0,color:#fff
    style C fill:#8a5a2d,color:#fff
    style E fill:#5a2d8a,color:#fff
    style I fill:#2d8a5a,color:#fff

8.3.2 PN 序列

理想的 PN 序列应具备以下特性：

良好的自相关性：峰值尖锐，旁瓣低，利于同步捕获
低互相关性：不同用户/码字之间干扰小
近似随机性：功率谱平坦，类白噪声

常用 PN 序列类型：

序列类型	长度	典型应用	特点
m 序列（最大长度序列）	$2^n - 1$	同步、测距	硬件实现简单
Gold 序列	$2^n - 1$	CDMA 下行	互相关可控
Kasami 序列	$2^{n/2} - 1$	CDMA 上行	互相关更低

m 序列的自相关函数：

$$R_{c}(\tau) = \begin{cases} N & \tau = 0 \ -1 & \tau \neq 0 \end{cases}$$

其中 $N = 2^n - 1$ 为序列周期。

8.3.3 Walsh 码

Walsh 码（Walsh-Hadamard Code）是一组完全正交的序列，由 Hadamard 矩阵递推生成：

$$H_{2N} = \begin{bmatrix} H_N & H_N \ H_N & -H_N \end{bmatrix}, \quad H_1 = [1]$$

正交性意味着：

$$\sum_{k=0}^{N-1} w_i(k) \cdot w_j(k) = \begin{cases} N & i = j \ 0 & i \neq j \end{cases}$$

Walsh 码在 IS-95/cdma2000 系统中用于**下行链路（前向信道）**的用户区分，因为基站到各用户的信道近似同步，正交性得以保持。

工程注意：上行链路（反向信道）中，各移动台异步到达基站，Walsh 码的正交性被破坏，因此上行链路通常采用 PN 偏移（长码）区分用户。

8.4 跳频扩频（FHSS）

8.4.1 基本原理

跳频扩频（Frequency Hopping Spread Spectrum, FHSS）在每一个跳频驻留时间（Dwell Time）$T_h$ 内占用一个窄带信道，然后按照伪随机跳频图案（Hopping Pattern）切换到另一个频率。

跳频速率 $R_h$ 与数据速率 $R_s$ 的关系决定了两种模式：

慢跳频（Slow FH）：$R_h < R_s$，每个跳频频率上传输多个符号
快跳频（Fast FH）：$R_h > R_s$，每个符号在多个频率上传输

graph TD
    A["数据调制"] --> B["跳频合成器"]
    C["PN 码发生器"] -->|"频率选择"| B
    B --> D["射频信号
频率随时间跳变"]
    D --> E["无线信道"]
    E --> F["接收端跳频合成器
（同步跟踪）"]
    G["PN 码发生器
（与发端相同）"] -->|"同步"| F
    F --> H["解跳"]
    H --> I["数据解调"]
    style A fill:#2d5aa0,color:#fff
    style C fill:#8a5a2d,color:#fff
    style D fill:#5a2d8a,color:#fff
    style I fill:#2d8a5a,color:#fff

8.4.2 跳频图案

跳频图案由 PN 序列决定，可用频率集合 ${f_1, f_2, \ldots, f_N}$ 中有 $N$ 个可用信道。处理增益为：

$$G_p = N$$

即可用信道数直接决定处理增益。

跳频系统的抗干扰能力来源于频率分集：干扰者无法预知下一跳的频率，只能选择宽带干扰（功率分散到所有频率）或窄带干扰（只干扰部分跳频时隙）。

8.4.3 跳频与直扩的比较

特性	DSSS	FHSS
扩频方式	时域相乘（码片化）	频域跳变
处理增益	$B_{ss}/B_{info}$	可用频率数 $N$
抗窄带干扰	通过相关运算抑制	通过跳频回避
同步要求	码片级同步（精度高）	跳频级同步（精度较低）
远近效应	敏感（需功率控制）	不敏感
典型应用	CDMA、GPS	Bluetooth、军事电台

8.5 码分多址（CDMA）

8.5.1 CDMA 基本原理

码分多址（Code Division Multiple Access, CDMA）允许多个用户同时、同频传输，通过分配不同的扩频码实现用户区分。

接收端的第 $k$ 个用户信号为：

$$r(t) = \sum_{i=1}^{K} \sqrt{P_i} \cdot d_i(t) \cdot c_i(t) \cdot \cos(2\pi f_c t + \phi_i) + n(t)$$

其中 $K$ 为用户数，$n(t)$ 为加性高斯白噪声（AWGN）。

第 $k$ 个用户的接收机用本地码 $c_k(t)$ 解扩：

$$\hat{d}_k = \int_0^{T_s} r(t) \cdot c_k(t) \cdot \cos(2\pi f_c t) , dt$$

当码字之间具有良好的互相关性时，其他用户的贡献被抑制为类噪声分量，实现多用户分离。

8.5.2 远近效应与功率控制

CDMA 系统面临的核心挑战是远近效应（Near-Far Effect）：距离基站近的用户信号远强于远端用户，即使码字不完全正交，强信号的旁瓣也会淹没弱信号。

解决方案是精确的功率控制（Power Control）：

开环功率控制：移动台根据接收到的导频信号强度估计路径损耗，初步设定发射功率
闭环功率控制：基站测量接收信号的 $E_b/N_0$，向移动台发送功率调整指令（TPC），典型步长 ±1 dB，速率 1500 Hz（WCDMA）

目标：使基站接收到的所有用户信号功率近似相等。

8.5.3 RAKE 接收机

RAKE 接收机（RAKE Receiver）是 CDMA 系统的关键组件，用于收集和合并多径信号能量，将多径干扰转化为分集增益。

graph TD
    A["接收信号 r(t)"] --> B["指峰 Finger 1
τ₁ 时延
c(t-τ₁) 解扩"]
    A --> C["指峰 Finger 2
τ₂ 时延
c(t-τ₂) 解扩"]
    A --> D["指峰 Finger 3
τ₃ 时延
c(t-τ₃) 解扩"]
    B --> E["信道估计
权重 α₁"]
    C --> F["信道估计
权重 α₂"]
    D --> G["信道估计
权重 α₃"]
    E --> H["最大比合并
MRC"]
    F --> H
    G --> H
    H --> I["判决输出"]
    style A fill:#2d5aa0,color:#fff
    style H fill:#5a2d8a,color:#fff
    style I fill:#2d8a5a,color:#fff

最大比合并（Maximal Ratio Combining, MRC）的合并权重为：

$$\alpha_i = \frac{h_i^*}{\sqrt{\sum_{j=1}^{L} |h_j|^2}}$$

其中 $h_i$ 为第 $i$ 条路径的信道复增益，$L$ 为 RAKE 指峰（Finger）数。

RAKE 接收机有效工作的前提是：多径时延扩展大于一个码片周期 $T_{chip}$，使多径分量在时间上可分辨。这正是扩频信号宽带特性带来的额外收益。

工程数据：IS-95 系统码片速率 1.2288 Mcps，码片周期约 0.814 μs，对应可分辨路径差约 244 m。WCDMA 码片速率 3.84 Mcps，分辨力约 78 m。WCDMA 典型配置 3~4 个 RAKE 指峰。

8.6 抗干扰与低截获概率特性

8.6.1 抗干扰（Anti-Jamming）

扩频系统对各类干扰的抑制机理不同：

窄带干扰：DSSS 解扩时，窄带干扰被扩频码扩展到整个 $B_{ss}$ 带宽，只有 $B_{info}$ 范围内的部分进入解调器。干扰功率被抑制 $G_p$ 倍。

宽带干扰（阻塞干扰）：干扰功率均匀分布在整个频带，扩频无额外增益，系统依靠编码增益（Forward Error Correction, FEC）抵抗。

脉冲干扰：干扰仅在部分时间存在。FHSS 通过跳频回避，DSSS 通过交织（Interleaving）配合编码抵抗。

接收机输出信干噪比（SINR）：

$$\text{SINR}_{out} = \frac{E_b}{N_0 + \frac{J_0}{G_p}}$$

其中 $J_0$ 为干扰功率谱密度。

8.6.2 低截获概率（LPI）

扩频信号的功率谱密度极低：

$$\text{PSD}{ss} = \frac{P}{B{ss}} \ll \frac{P}{B_{info}}$$

对于常规窄带接收机（扫描搜索），扩频信号淹没在噪声之下，难以检测。LPI 特性取决于：

处理增益 $G_p$：越大，信号越隐蔽
码序列复杂度：未知码序列时无法解扩
发射功率控制：仅在必要时发射，功率最小化

8.6.3 抗多径与多址能力

扩频信号天然具备多径分辨能力——宽的信号带宽意味着尖锐的自相关函数，使 RAKE 接收机能够分离并合并多径分量。

多址容量（CDMA 极点容量）的简化估算：

$$K_{\max} \approx \frac{G_p}{\left(E_b/N_0\right)_{\text{req}}} + 1$$

实际系统中，语音激活因子（Voice Activity Factor，约 3/8）、扇区化增益（Sectorization Gain，约 2.5× for 3 扇区）等因素可显著提升容量。

8.7 工程应用

8.7.1 GPS（全球定位系统）

GPS 是 DSSS 技术最经典的应用之一。每颗 GPS 卫星广播一个独特的 C/A 码（Coarse/Acquisition Code），码速率为 1.023 Mcps，码长 1023 码片（周期 1 ms）。

$$\text{GPS 处理增益} = 10 \log_{10}\left(\frac{1.023 \times 10^6}{50}\right) \approx 43 \text{ dB}$$

GPS 接收机的核心任务：

捕获（Acquisition）：搜索卫星信号的码相位和多普勒频移
跟踪（Tracking）：延迟锁相环（DLL）跟踪码相位，锁相环（PLL）跟踪载波相位
数据解调：以 50 bps 解调导航电文
伪距计算：利用传播时间计算接收机到卫星的距离

P(Y) 码（精密码）码速率 10.23 Mcps，处理增益约 53 dB，提供更强的抗干扰能力和更高的测距精度。

8.7.2 Bluetooth

Bluetooth（IEEE 802.15.1）采用 FHSS，工作在 2.4 GHz ISM 频段（2400~2483.5 MHz），将频段划分为 79 个 1 MHz 信道。

关键参数：

跳频速率：1600 跳/秒（经典 Bluetooth）
调制方式：GFSK（BT=0.5，调制指数 0.28~0.35）
自适应跳频（Adaptive Frequency Hopping, AFH）：检测并避开被 WiFi 占用的信道

graph LR
    A["ISM 频段
79 信道"] --> B["信道质量评估"]
    B --> C{"信道被占用？"}
    C -->|是| D["标记为坏信道"]
    C -->|否| E["标记为好信道"]
    D --> F["跳频图案更新
仅用好信道"]
    E --> F
    F --> G["AFH 跳频传输"]
    style A fill:#2d5aa0,color:#fff
    style C fill:#5a2d8a,color:#fff
    style G fill:#2d8a5a,color:#fff
    style D fill:#8a2d2d,color:#fff
    style E fill:#2d8a5a,color:#fff

AFH 是 Bluetooth 与 WiFi 在 ISM 频段共存（Coexistence）的关键机制，体现了工程实践中的频谱管理智慧。

8.7.3 WiFi（IEEE 802.11）

最初的 IEEE 802.11 标准支持 DSSS 和 FHSS 两种物理层：

802.11 DSSS（1~2 Mbps）：

码片速率：11 Mcps（Barker 码，11 位）
信道带宽：22 MHz
处理增益：$10 \log_{10}(11) \approx 10.4$ dB

802.11b HR-DSSS（5.5~11 Mbps）：

采用 CCK（Complementary Code Keying）取代 Barker 码
在保持 11 Mcps 码片速率的条件下提升数据速率

802.11g/n/ac/ax：

转向 OFDM 调制，不再使用传统 DSSS
但保留了 DSSS 的前导码用于向后兼容和信道预留（RTS/CTS 机制）

工程演进：从 DSSS 到 OFDM 的演进反映了一个重要趋势——当数据速率需求远高于扩频所能提供的处理增益时，OFDM 的频谱效率优势更为突出。扩频的价值在于抗干扰和多址，而非高速数据传输。

8.7.4 3G WCDMA / cdma2000

3G 移动通信是 CDMA 技术的巅峰应用：

参数	WCDMA	cdma2000
码片速率	3.84 Mcps	1.2288 / 3.6864 Mcps
信道带宽	5 MHz	1.25 / 3.75 MHz
帧长	10 ms	5/20 ms
功控速率	1500 Hz	800 Hz
RAKE 指峰数	3~4	3~4

WCDMA 采用正交可变扩频因子（OVSF, Orthogonal Variable Spreading Factor）码树实现多速率业务：

$$C_{2N} = \begin{bmatrix} C_N & C_N \ C_N & -C_N \end{bmatrix}$$

SF（Spreading Factor）从 4 到 512 可变，对应数据速率从 960 kbps 到 7.5 kbps，实现了同一 CDMA 载波上语音、数据、控制信道的灵活复用。

8.8 本章小结

关键概念	核心公式/参数	工程意义
处理增益	$G_p = B_{ss}/B_{info}$	带宽换取抗干扰能力
干扰容限	$M_J = G_p - (E_b/N_0){\min} - L{sys}$	系统可承受的最大干扰
PN 序列自相关	$R_c(0) = N, R_c(\tau \neq 0) = -1$	同步捕获与多径分辨
Walsh 正交性	$\sum w_i \cdot w_j = 0 \ (i \neq j)$	同步条件下用户区分
RAKE 合并	MRC 权重 $\alpha_i \propto h_i^*$	多径分集增益
CDMA 容量	$K \approx G_p/(E_b/N_0)_{\text{req}}$	软容量特性

扩频技术从军事走向民用，其核心思想——用带宽换取鲁棒性——依然是现代无线通信系统设计的基石。4G/5G 虽然转向 OFDMA，但扩频的影子依然存在：导频信道的设计、随机接入前导码（Preamble）、以及 GPS 辅助定位功能，无不继承着扩频技术的精髓。

参考文献

Goldsmith, A., Wireless Communications, 2nd Ed., Cambridge University Press, 2020.
Peterson, R. L., Ziemer, R. E., & Borth, D. E., Introduction to Spread Spectrum Communications, Prentice Hall, 1995.
Viterbi, A. J., CDMA: Principles of Spread Spectrum Communication, Addison-Wesley, 1995.
IEEE Std 802.11-2020, Wireless LAN Medium Access Control (MAC) and Physical Layer (PHY) Specifications.
Bluetooth SIG, Bluetooth Core Specification v5.4, 2023.
IS-95A, Mobile Station-Base Station Compatibility Standard for Dual-Mode Wideband Spread Spectrum Cellular Systems, TIA/EIA, 1995.

第 9 章 扩频技术 / Spread Spectrum#

8.1 扩频技术概述#

8.2 处理增益与干扰容限#

8.2.1 处理增益#

8.2.2 干扰容限#

8.3 直接序列扩频（DSSS）#

8.3.1 基本原理#

8.3.2 PN 序列#

8.3.3 Walsh 码#

8.4 跳频扩频（FHSS）#

8.4.1 基本原理#

8.4.2 跳频图案#

8.4.3 跳频与直扩的比较#

8.5 码分多址（CDMA）#

8.5.1 CDMA 基本原理#

8.5.2 远近效应与功率控制#

8.5.3 RAKE 接收机#

8.6 抗干扰与低截获概率特性#

8.6.1 抗干扰（Anti-Jamming）#

8.6.2 低截获概率（LPI）#

8.6.3 抗多径与多址能力#

8.7 工程应用#

8.7.1 GPS（全球定位系统）#

8.7.2 Bluetooth#

8.7.3 WiFi（IEEE 802.11）#

8.7.4 3G WCDMA / cdma2000#

8.8 本章小结#

参考文献#