第 7 章 未编码系统性能 / Uncoded System Performance

6.1 概述

在研究信道编码、OFDM、MIMO 等高级技术之前，理解未编码系统（Uncoded System）在各种信道条件下的基线性能至关重要。未编码性能是系统设计的"地板"——编码与信号处理的一切努力都是在这个地板之上搭建的。

本章将从工程实践角度出发，系统分析 AWGN（加性高斯白噪声）、平坦衰落（Flat Fading）和频率选择性衰落（Frequency-Selective Fading）信道下，BPSK、QPSK、M-QAM 等调制方式的误比特率（BER, Bit Error Rate）性能，并讨论分集（Diversity）、中断概率（Outage Probability）和链路预算（Link Budget）等核心概念。

mindmap
  root((未编码系统性能))
    AWGN 信道
      BPSK / QPSK
      M-QAM
    衰落信道
      平坦 Rayleigh
      频率选择性
    性能改善
      分集技术
      链路预算
    工程指标
      BER 目标
      中断概率

6.2 AWGN 信道下的 BER 性能

6.2.1 信道模型

AWGN（Additive White Gaussian Noise）信道是最基本的信道模型，接收信号可表示为：

$$r(t) = s(t) + n(t)$$

其中 $s(t)$ 为发送信号，$n(t)$ 为零均值、双边功率谱密度 $N_0/2$ 的高斯白噪声。该模型适用于视距（LOS, Line-of-Sight）通信、卫星链路、深空通信等场景，是评估调制方案性能的理想基准。

6.2.2 BPSK 与 QPSK

BPSK（Binary Phase Shift Keying）是最简单的二维调制方式，星座点为 ${+\sqrt{E_b},, -\sqrt{E_b}}$，其 BER 为：

$$P_b = Q!\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right) = Q!\left(\sqrt{2\gamma_b}\right)$$

其中 $\gamma_b = E_b/N_0$ 为每比特信噪比（SNR per bit），$Q(\cdot)$ 为高斯 Q 函数：

$$Q(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_x^{\infty} e^{-t^2/2}, dt$$

QPSK（Quadrature Phase Shift Keying）可视为两路正交 BPSK 的叠加，每路承载 1 bit，因此：

$$P_b^{\text{QPSK}} = Q!\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right) = Q!\left(\sqrt{2\gamma_b}\right)$$

工程要点：BPSK 与 QPSK 在 AWGN 下具有相同的 BER-曲线，但 QPSK 的频谱效率是 BPSK 的两倍（2 bit/s/Hz vs. 1 bit/s/Hz）。这就是 QPSK 成为绝大多数无线系统默认调制方式的根本原因。

在工程估算中，高 SNR 区间常用 Q 函数的渐进上界：

$$Q(x) \approx \frac{1}{x\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}, \quad x \gg 1$$

因此 $\gamma_b \gg 1$ 时：

$$P_b \approx \frac{1}{2\sqrt{\pi\gamma_b}} , e^{-\gamma_b}$$

这表明 AWGN 下 BPSK/QPSK 的 BER 随 SNR 呈指数下降，非常高效。

6.2.3 M-QAM

M-QAM（M-ary Quadrature Amplitude Modulation）通过同时在同相（I）和正交（Q）分量上调制幅度和相位来提高频谱效率。对于方形 $M$-QAM（$M = 4^k$），BER 的近似闭式解为：

$$P_b \approx \frac{4}{\log_2 M}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{M}}\right) Q!\left(\sqrt{\frac{3\gamma_b \log_2 M}{M-1}}\right)$$

调制方式频谱效率 (bit/s/Hz)$\text{BER} = 10^{-3}$ 所需 $E_b/N_0$ (dB)$\text{BER} = 10^{-6}$ 所需 $E_b/N_0$ (dB)
BPSK16.810.5
QPSK26.810.5
16-QAM410.514.4
64-QAM614.718.8
256-QAM819.023.3

工程要点：从 QPSK 到 256-QAM，频谱效率每翻倍，所需 SNR 增加约 3-4 dB。这就是"频谱效率换功率"的定量体现——也是自适应调制编码（AMC, Adaptive Modulation and Coding）的理论基础。

xychart-beta
  title "AWGN 下各调制方式的 BER 曲线"
  x-axis "Eb/N0 (dB)" 0 --> 25
  y-axis "BER" 1e-7 --> 1
  line "BPSK/QPSK"
  line "16-QAM"
  line "64-QAM"
  line "256-QAM"

6.3 平坦 Rayleigh 衰落下的 BER

6.3.1 从 AWGN 到衰落：性能悬崖

实际无线信道中，多径（Multipath）传播导致接收信号幅度不再是恒定值，而是随机变量。当信道带宽远大于信号带宽（即平坦衰落，Flat Fading）且不存在显著视距路径时，信号包络服从 Rayleigh 分布：

$$f_R(r) = \frac{2r}{\Omega} e^{-r^2/\Omega}, \quad r \geq 0$$

其中 $\Omega = E[R^2]$ 为平均接收功率。

Rayleigh 衰落下，瞬时 SNR $\gamma$ 服从指数分布：

$$f_\gamma(\gamma) = \frac{1}{\bar\gamma} e^{-\gamma/\bar\gamma}, \quad \gamma \geq 0$$

其中 $\bar\gamma$ 为平均 SNR。

6.3.2 平均 BER 的推导

在衰落信道中，瞬时 BER 随信道状态变化，系统性能由平均 BER 度量：

$$\bar{P}b = \int_0^\infty P_b(\gamma) , f\gamma(\gamma) , d\gamma$$

对 BPSK，将 $P_b(\gamma) = Q(\sqrt{2\gamma})$ 代入 Rayleigh SNR 分布积分：

$$\bar{P}_b^{\text{BPSK}} = \frac{1}{2}\left(1 - \sqrt{\frac{\bar\gamma}{1+\bar\gamma}}\right) \approx \frac{1}{4\bar\gamma}, \quad \bar\gamma \gg 1$$

关键结论：AWGN 下 BER 随 SNR 指数下降，而 Rayleigh 衰落下仅以 $1/\bar\gamma$（反比） 下降。要达到 $\text{BER} = 10^{-3}$，BPSK 在 AWGN 下需约 6.8 dB，在 Rayleigh 下需约 24 dB——恶化超过 17 dB！这是无线通信系统设计面临的核心挑战。

6.3.3 各调制方式在 Rayleigh 衰落下的性能

调制方式Rayleigh 衰落下平均 BER（高 SNR 近似）分集阶数
BPSK/QPSK$\bar{P}_b \approx \dfrac{1}{4\bar\gamma}$1
M-QAM$\bar{P}_b \approx \dfrac{4}{\log_2 M}\left(1 - \dfrac{1}{\sqrt{M}}\right) \cdot \dfrac{1}{\bar\gamma}$1

所有未编码调制在 Rayleigh 衰落下分集阶数均为 1（diversity order = 1），即 BER-SNR 曲线的斜率为 −1（对数坐标下）。

flowchart TB
  A["AWGN: BER ≈ exp(−γ)"] -->|"加入多径衰落"| B["Rayleigh: BER ≈ 1/γ"]
  B -->|"性能恶化 17–30 dB"| C["解决方案: 分集 + 编码"]
  style A fill:#2d6a4f,color:#fff
  style B fill:#d62828,color:#fff
  style C fill:#457b9d,color:#fff

6.4 频率选择性衰落下的性能

6.4.1 ISI 与性能退化

当信道时延扩展（Delay Spread）$\sigma_\tau$ 与信号符号周期 $T_s$ 可比拟时（$\sigma_\tau \gtrsim 0.1,T_s$），信道呈现频率选择性衰落（Frequency-Selective Fading）。此时不同频率分量经历不同的增益和相位偏移，导致：

  1. 码间干扰（ISI, Inter-Symbol Interference）：前后符号的回波叠加
  2. 信号畸变：星座点严重散布
  3. 不可约错误平底（Error Floor）：即使 SNR 极高，BER 也无法低于某个下界

频率选择性衰落信道的冲激响应建模为：

$$h(t) = \sum_{l=0}^{L-1} \alpha_l , e^{j\phi_l} , \delta(t - \tau_l)$$

其中 $L$ 为多径数目，$\alpha_l$、$\phi_l$、$\tau_l$ 分别为第 $l$ 条路径的幅度、相位和时延。

6.4.2 性能特征

频率选择性衰落下的 BER 性能难以给出通用闭式解，但有如下工程规律：

  • 轻度 ISI（$\sigma_\tau \approx 0.1,T_s$）：BER 性能比 AWGN 恶化 3-6 dB
  • 中度 ISI（$\sigma_\tau \approx 0.3,T_s$）：恶化 10-15 dB，出现错误平底
  • 重度 ISI（$\sigma_\tau > T_s$）：BER 可能卡在 $10^{-2}$ 量级无法改善

工程对策：实际系统中通过均衡器（Equalizer，如线性 MMSE 均衡、DFE）、OFDM（将频率选择性衰落转化为多个并行平坦衰落子信道）、或扩频技术来对抗 ISI。这些技术将频率选择性衰落的挑战转化为可管理的平坦衰落问题。

6.5 分集技术对 BER 的改善

6.5.1 分集原理

分集（Diversity）是对抗衰落最根本的手段，其核心思想：让多个独立的衰落副本同时传输相同信息，则所有副本同时深衰落的概率极低。

分集增益用分集阶数（Diversity Order）$D$ 量化：

$$\bar{P}_b \propto \bar\gamma^{-D}, \quad \bar\gamma \to \infty$$

$D$ 越大，BER-SNR 曲线在对数坐标下的斜率越陡，性能越接近 AWGN。

6.5.2 分集类型

flowchart LR
  D[分集技术] --> T[时间分集
Time Diversity]
  D --> F[频率分集
Frequency Diversity]
  D --> S[空间分集
Space Diversity]
  T --> T1["交织 + FEC"]
  F --> F1["跳频 / OFDM"]
  S --> S1["多天线 / MIMO"]
  style D fill:#1d3557,color:#fff
  style T fill:#457b9d,color:#fff
  style F fill:#457b9d,color:#fff
  style S fill:#457b9d,color:#fff
  style T1 fill:#a8dadc,color:#000
  style F1 fill:#a8dadc,color:#000
  style S1 fill:#a8dadc,color:#000

6.5.3 $L$ 阶分集下的 BER

假设 $L$ 条独立 Rayleigh 衰落路径，采用最大比合并（MRC, Maximal Ratio Combining），合并后瞬时 SNR 为各支路之和：

$$\gamma_{\text{MRC}} = \sum_{i=1}^{L} \gamma_i$$

合并后等效 SNR 的 PDF 为：

$$f_{\gamma_{\text{MRC}}}(\gamma) = \frac{\gamma^{L-1}}{(L-1)!,\bar\gamma^L} , e^{-\gamma/\bar\gamma}$$

BPSK 的平均 BER 为：

$$\bar{P}b(L) = \left[\frac{1}{2}\left(1 - \sqrt{\frac{\bar\gamma}{1+\bar\gamma}}\right)\right]^L \sum{k=0}^{L-1} \binom{L-1+k}{k}\left[\frac{1}{2}\left(1 + \sqrt{\frac{\bar\gamma}{1+\bar\gamma}}\right)\right]^k$$

高 SNR 时简化为：

$$\bar{P}_b(L) \approx \binom{2L-1}{L} \frac{1}{(4\bar\gamma)^L}$$

分集阶数 $L$BER 近似（高 SNR）$\text{BER}=10^{-3}$ 所需 $\bar\gamma$ (dB)相对无分集的增益
1$\dfrac{1}{4\bar\gamma}$24.0—
2$\dfrac{3}{16\bar\gamma^2}$13.510.5 dB
4$\dfrac{35}{256\bar\gamma^4}$9.214.8 dB

工程要点：从 $L=1$ 到 $L=2$ 的增益最大（约 10.5 dB），此后边际收益递减。实际系统中，2 阶分集是性价比最高的选择——这正是 2×2 MIMO 在 4G/5G 中成为基本配置的原因。

6.6 中断概率分析

6.6.1 中断概率定义

在慢衰落信道中，信道在多个符号周期内保持不变。此时瞬时 SNR $\gamma$ 可能长期低于解调所需阈值 $\gamma_{\text{th}}$，导致通信中断。中断概率（Outage Probability）定义为：

$$P_{\text{out}} = \Pr(\gamma < \gamma_{\text{th}})$$

6.6.2 Rayleigh 衰落下的中断概率

对于单天线 Rayleigh 衰落信道：

$$P_{\text{out}} = 1 - e^{-\gamma_{\text{th}}/\bar\gamma} \approx \frac{\gamma_{\text{th}}}{\bar\gamma}, \quad \bar\gamma \gg \gamma_{\text{th}}$$

采用 $L$ 阶 MRC 分集后：

$$P_{\text{out}}(L) = 1 - e^{-\gamma_{\text{th}}/\bar\gamma} \sum_{k=0}^{L-1} \frac{(\gamma_{\text{th}}/\bar\gamma)^k}{k!} \approx \frac{1}{L!}\left(\frac{\gamma_{\text{th}}}{\bar\gamma}\right)^L$$

工程意义：$L$ 阶分集使中断概率从 $1/\bar\gamma$ 改善为 $1/\bar\gamma^L$——分集阶数同样体现在中断概率的斜率上。例如，5G URLLC（超可靠低时延通信）要求 $P_{\text{out}} < 10^{-5}$，仅靠提高功率几乎不可能实现，必须依靠多天线分集。

6.6.3 中断容量

中断概率与中断容量（Outage Capacity）直接关联。给定中断概率 $P_{\text{out}}$ 的约束，可求出对应的 $\gamma_{\text{th}}$，进而得到中断容量：

$$C_{\text{out}} = B \cdot \log_2(1 + \gamma_{\text{th}})$$

其中 $B$ 为信道带宽。实际系统（如 LTE/5G）的调度器正是基于此原理选择适当的调制编码方案（MCS）。

6.7 链路预算与 SNR 估算

6.7.1 链路预算基本框架

链路预算（Link Budget）是从发射功率出发，逐项计入增益与损耗，最终估算接收 SNR 的系统级分析工具。

$$P_{\text{rx}} = P_{\text{tx}} + G_{\text{tx}} + G_{\text{rx}} - L_{\text{path}} - L_{\text{other}} \quad \text{(dB)}$$

其中：

  • $P_{\text{tx}}$：发射功率（dBm）
  • $G_{\text{tx}}, G_{\text{rx}}$：发射/接收天线增益（dBi）
  • $L_{\text{path}}$：路径损耗（dB）
  • $L_{\text{other}}$：其他损耗（馈线、穿透、人体等）

接收 SNR：

$$\gamma = \frac{P_{\text{rx}}}{N} = \frac{P_{\text{rx}}}{kTB \cdot F}$$

其中 $k$ 为玻尔兹曼常数（$1.38 \times 10^{-23}$ J/K），$T$ 为等效噪声温度（K），$B$ 为接收带宽（Hz），$F$ 为接收机噪声系数（Noise Figure，线性值）。

6.7.2 路径损耗模型

模型适用场景公式
自由空间视距、卫星$L = 20\log(4\pi d/\lambda)$
Okumura-Hata宏蜂窝城区经验公式，含频率/高度修正
COST 231城区/郊区Hata 扩展，1500–2000 MHz
3GPP TR 38.9015G NR（0.5–100 GHz）含 LOS/NLOS 概率模型

6.7.3 链路预算示例

以典型 LTE 上行为例：

参数值
终端发射功率23 dBm (200 mW)
终端天线增益0 dBi
路径损耗（2 km 城区）−130 dB
基站天线增益+18 dBi
馈线/接头损耗−2 dB
接收功率−91 dBm
热噪声功率（180 kHz RB）−118.5 dBm
噪声系数3 dB
接收 SNR24.5 dB

该 SNR 在 AWGN 下足以支撑 64-QAM（需约 14.7 dB for BER=10⁻³），但若考虑 Rayleigh 衰落余量（约 15-20 dB），可能需降级至 QPSK 甚至 BPSK。

flowchart LR
  A["发射功率
23 dBm"] --> B["路径损耗
−130 dB"]
  B --> C["天线增益
+18 dBi"]
  C --> D["其他损耗
−2 dB"]
  D --> E["接收功率
−91 dBm"]
  E --> F["噪声功率
−115.5 dBm"]
  F --> G["SNR = 24.5 dB"]
  style A fill:#2a9d8f,color:#fff
  style B fill:#e76f51,color:#fff
  style C fill:#2a9d8f,color:#fff
  style D fill:#e76f51,color:#fff
  style E fill:#264653,color:#fff
  style F fill:#264653,color:#fff
  style G fill:#e9c46a,color:#000

6.7.4 衰落余量

链路预算中必须为衰落预留衰落余量（Fade Margin）：

$$\text{SNR}{\text{design}} = \text{SNR}{\text{target}} + \text{Fade Margin}$$

场景典型衰落余量
轻度衰落（近距 LOS）3–6 dB
城区宏蜂窝（NLOS）10–15 dB
室内深衰落15–25 dB

衰落余量的大小取决于所需覆盖可靠性。例如，要确保 95% 区域内 $\text{BER} \leq 10^{-3}$，需根据边缘覆盖率与衰落分布反推所需余量。

6.8 工程应用：实际系统 BER 目标

6.8.1 各系统的 BER 要求

系统/标准目标 BER对应 $E_b/N_0$ (dB, AWGN)说明
语音通信（GSM）$\leq 10^{-3}$~7人耳可容忍较低质量
数据传输（Wi-Fi）$\leq 10^{-5}$~10需重传机制保障
视频流媒体$\leq 10^{-6}$~10.5丢包影响用户体验
卫星遥控$\leq 10^{-7}$~12指令不可出错
深空通信$\leq 10^{-10}$~15+级联编码 + 交织

6.8.2 BER 与 FER/BLER 的关系

实际系统中常用误帧率（FER, Frame Error Rate）或误块率（BLER, Block Error Rate）替代 BER：

$$\text{FER} \approx 1 - (1 - P_b)^N$$

其中 $N$ 为每帧比特数。对于 $N = 1000$ bit 的帧：

  • $\text{BER} = 10^{-3}$ → $\text{FER} \approx 63%$（几乎每帧都错！）
  • $\text{BER} = 10^{-5}$ → $\text{FER} \approx 1%$
  • $\text{BER} = 10^{-6}$ → $\text{FER} \approx 0.1%$

工程要点：LTE/5G NR 中，HARQ（混合自动重传）的目标 BLER 通常设为 10%，远高于传统 BER 目标。这是因为 HARQ 可以高效重传，初始传输无需追求极低错误率，从而获得更高的有效吞吐量。这一设计哲学深刻体现了"未编码性能是基线，编码+重传才是实际手段"的理念。

6.8.3 BER 测量的工程方法

实际系统中 BER 的测量与验证方法包括：

  1. 伪随机比特序列（PRBS）：发送已知 PN 序列，接收端逐比特比较
  2. 循环冗余校验（CRC）：通过 CRC 校验失败率间接估计 BLER
  3. 信道质量指示符（CQI）：LTE/5G 中 UE 上报 CQI，基站据此选 MCS
  4. 置信度检验：为保证统计可靠，通常要求错误比特数 $\geq 100$，即：

$$N_{\text{total}} \geq \frac{100}{P_b}$$

测量 $\text{BER} = 10^{-6}$ 至少需要 $10^8$ bit（约 12.5 MB）的数据量。

6.9 本章小结

flowchart TB
  subgraph 信道模型
    A1["AWGN"] --> A2["BER ∝ exp(−γ)
指数下降"]
    B1["平坦 Rayleigh"] --> B2["BER ∝ 1/γ
反比下降"]
    C1["频率选择性"] --> C2["ISI + 错误平底
恶化严重"]
  end
  subgraph 改善手段
    D1["分集 (L 阶)"] --> D2["BER ∝ 1/γ^L
斜率提升 L 倍"]
    E1["均衡 / OFDM"] --> E2["将 ISI 转化为
平坦衰落"]
    F1["编码 + HARQ"] --> F2["编码增益 5–10 dB
+ 重传保障"]
  end
  A2 --> G["链路预算: SNR = Ptx − Lpath + G − N"]
  B2 --> G
  D2 --> G
  G --> H["实际 BER 目标
语音 10⁻³ / 数据 10⁻⁵ / 遥控 10⁻⁷"]
  style A2 fill:#2d6a4f,color:#fff
  style B2 fill:#d62828,color:#fff
  style C2 fill:#d62828,color:#fff
  style D2 fill:#457b9d,color:#fff
  style E2 fill:#457b9d,color:#fff
  style F2 fill:#457b9d,color:#fff
  style G fill:#f4a261,color:#000
  style H fill:#e9c46a,color:#000

核心要点回顾：

  1. AWGN 是理想基准：BPSK/QPSK 的 BER 以 $Q(\sqrt{2\gamma_b})$ 指数下降，是所有性能分析的起点。
  2. Rayleigh 衰落是最大敌人：BER 从指数下降退化为 $1/\bar\gamma$ 反比下降，同等 BER 要求恶化 17 dB 以上。
  3. 分集是抗衰落第一利器：$L$ 阶分集使 BER 以 $1/\bar\gamma^L$ 下降，2 阶分集即可获得约 10.5 dB 增益。
  4. 链路预算是系统设计的核心工具：从发射功率到接收 SNR 的全链路分析，结合衰落余量确定系统覆盖能力。
  5. 未编码性能是"地板"：编码、HARQ、MIMO 等技术在此基础上叠加增益，理解未编码性能是一切系统优化的前提。

参考文献

  1. Goldsmith, A. (2005). Wireless Communications. Cambridge University Press.
  2. Proakis, J. G. & Salehi, M. (2008). Digital Communications (5th ed.). McGraw-Hill.
  3. 3GPP TR 38.901. Study on channel model for frequencies from 0.5 to 100 GHz.
  4. Rappaport, T. S. (2002). Wireless Communications: Principles and Practice (2nd ed.). Prentice Hall.